向量问题的常见求解策略[文档资料]

向量问题的常见求解策略 本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。 一、利用平面向量的数量积运算求解参数值 平面向量数量积是平面向量中的一大有力武器 .利用向量的数量积及线性运算来建立参数的方程，进而求其参数，是求解与向量有关的参数取值的一种重要手段 . 例 1 （ 2013 年高考全国新课标 卷理科卷第 13题）已知两个单位向量 a， b 的夹角为 60 ， c=ta+（ 1-t） b.若bc=0 ，则 t=_. 解 由 bc=0 ，可知 b ta+（ 1-t） b=0，即 tab+（ 1-t） b2=0.又向量 a， b 均为单位向量，且夹角为 60 ，所以 ab=11cos 60= ， b2=|b|2=1.所以 t+1-t=0，解得t=2. 小结 本题主要考查平面向量数量积的定义及向量的线性运算 . 例 2 （ 2013 年高考山东理科卷第 15题）已知向量 与 的夹角为 120 ，且 | |=3， | |=2.若 = + ，且 ，则实数 的值为 _. 解 依题意可知 =0 ，又 = + ， = - ，从而有 = （ + ） （ - ） = 2+（ -1） - 2. 由于 | |=3， | |=2， =120 ，所以 2=| |2=4， 2=| |2=9， =32cos 120= -3.所以 4-3（ -1） -9=0 ，解得 = . 小结 用已知向量 ， （已知模、夹角）来线性表示 是求解本题的切入点，而随后利用 等价于 =0 及平面向量的线性运算来构建关于 的方程，使得问题的求解水到渠成 . 二、合理设置基底，利用平面向量的基本定理求解 由平面向量的基本定理可知：平面内的任一向量都可以 用同一平面内的不共线的两个向量（基底）唯一表示 .因此，若能合理设置基底，则利用平面向量基本定理即可将向量的线性运算转化到这组基上来，从而使问题的处理简单明了 . 例 3 （ 2013 年高考全国新课标 卷理科卷第 13题）已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 CD的中点，则 =_. 解 我们注意到 ABCD 为正方形，为此不妨选取向量的基底为 ， ，则 =0 ， | |= | |=2， = - ， = + ，从而有 = （ + ） （ - ） = 2- - 2 = 2. 小结 本题 也可通过建立平面直角坐标系，将相关向量坐标化，最后利用向量数量积的坐标表示来分析求解 . 例 4 （ 2013 年高考天津理科卷第 12题）在平行四边形 ABCD 中， AD=1， BAD=60 ， E 为 CD的中点 .若 =1 ，则 AB的长为 _. 解 如图 1 所示，选取向量的基底为 ， ，则有 = + ， = + = - ，从而 = （ + ） （ - ） = 2+ - 2.又 | |=1， =60 ，所以 2=| |2=1， =1 | |cos 60= | |. 所以 1+ | |- | |2=1，解得 | |= 或 | |=0（舍去），即 AB的长为 . 小结 结合题目条件，合理设置基底，将向量往基底上进行转化是求解本题的关键 .其中，对基底的选择可尽量选取一些特殊向量（如互相垂直的两个向量、夹角及模易知的两个不共线向量等） . 三、建立平面直角坐标系，利用向量坐标的代数运算进行求解 对于一些向量问题，许多时候是以其几何特性来呈现命题的 .此时，我们若能恰当地建立平面直角坐标系，构建几何与代数联系的桥梁，则解题往往会事半功倍 . 例 5 （ 2013 年高考浙江理科卷第 7 题 ）设 ABC ， P0是边 AB上一定点，满足 P0B= AB，且对于边 AB上任一点 P，恒有 ，则 A.ABC=90 B.BAC=90 C.AB=AC D.AC=BC 解 设 AB= 4，以 AB 所在的直线为 x 轴，以线段 AB的中垂线为 y 轴，建立如图 2 所示的平面直角坐标系 xOy，则有A（ -2， 0）， B（ 2， 0）， P0（ 1， 0） .设 C（ a， b）， P（ x，0）（其中 -2x2 ），从而有 =（ 2-x， 0）， =（ a-x，b）， =（ 1， 0）， =（ a-1， b） .于是 等价于（ 2-x） （ a-x） a -1，即 x2-（ 2+a） x+a+10 在 x -2， 2恒成立，从而有 = -（ 2+a） 2-4（ a+1） =0，解得a=0.所以，点 C 在线段 AB的中垂线上 .所以 AC=BC.选 D. 小结 本题通过建立平面直角坐标系后运用解析法，将问题等价转化到不等式恒成立问题上来，从而使得问题的求解简单明了 . 四、利用向量式的几何意义，运用数形结合进行求解 向量具有几何、代数的双重性，解题时若能抓住题目的条件及问题的几何特性，运用数形结合进行分析求解，往往能 起到巧妙求解的效果 . 例 6 （ 2013 年高考安徽理科卷第 9 题）在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，两定点 A， B 满足 | |=| |= =2 ，则点集 P| = + ， |+|1 ， ， R 所表示的区域的面积是 A.2 B.2 C.4 D.4 解 根据 | |=| |= = 2 ，可知 AOB= . 由于 A， B 是两个定点，于是可设 A（ ， 1）， B（ 0， 2）， P（ x， y），从而由 = + ，得 x= ， y =+2 ，解得 = x ， = - x.由于 | |+|1 ，所以 | x|+ | - x|1 ，从而当 x0 ，3y- x0 ， 3y+ x6 时，所得可行域如图 3 所示 . 由图 3