用DFT对连续信号谱分析的误差问题[文档资料]

用 DFT 对连续信号谱分析的误差问题 本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。 Xa（ jf） T?n=0M -1xa（ nT） e-j2fnT （ 3） 显然 Xa（ jf） 仍是 f的连续周期函数， xa（ nT） 和 Xa（ jf） 如图 1（ c），（ d）所示。 为了进行数值运算，频域上也要离散化，因此在频域的一个周期 0， fs内等间隔采样 N点，如图 1（ f）所示。由于间隔采样有可能漏掉重要的频域信息，成为误差产生之三。设频域采样 间隔为 F， 则 F=fsN=1（ NT）， 将 f=kF代入式（ 3）中可得对采样信号频谱 Xa（ j f） 的采样： Xa（ jkF） T?n=0M -1xa（ nT） e-j2Nkn （ 4） 根据频域采样定理 6，如果序列 x（ n） 的长度为M， 只有当频域采样点数 NM 时，才可由频域采样 X（ k） 恢复原序列 x（ n）， 否则会产生时域混叠。因此为简便计算，将序列也以 N点长度来截取，则式（ 4） 的求和上限为 N-1， 并令： Xa（ k） =Xa（ jkF）， x（ n） =xa（ nT） ，则： Xa（ k） T?n=0N -1x（ n） e-j2Nkn=T?DFTx（ n） N， k=0， 1， ， N-1 （ 5） 可见，对近似持续时间有限的带限连续信号，其频谱特性可以通过对连续信号采样 N点并进行 DFT 再乘以 T的近似方法得到。因此用 DFT 对模拟信号谱分析，产生误差是必然的。其具体分析过程是首先确定模拟信号的最高频率 fc和频率分辨率 F， 再选取参数，包括采样频率 fs， 采样点数 N， 记录时间 Tp等。其取值分别为： fs2fcN=fsF2 fcFTp=NT=Nfs1F （ 6） 然后根据计算的参数，通过采样得到信号序列 x（ n） ，即可根据式（ 5）进行运算分析。 图 1 DFT 对连续信号谱分析过程 下面具体分析误差的影响及其减小误差的措施。 2 误差分析 2.1 频谱混叠 在对模拟信号 xa（ t） 进行采样时，必须满足采样定理，即采样频率 fs2fc ， 而通过上面分析时域有限的信号不可能是锐截止的，并且信号中不可避免地有一些高频杂散信号，因此在采样之前，一般都要对模拟信号进行滤波， 滤除高频杂散信号。如本例中， fc取 2 kHz，当 fs=5 kHz时，采样信号的频谱混叠很小，见图 1（ d）；但当选 fs=1 kHz 时，其频谱如图 1（ h）所示，混叠严重。以折叠频率fs2处的频谱幅度来比较 T=0.2 ms 和 T=1 ms 时的混叠程度，此处 k=256， 键入 Matlab 语句，得到： abs（ X1（ k） /max（ abs（ X1） ans=0.009 4 abs（ X2（ k） /max（ abs（ X2） ans=0.212 6 而在 fc处，模拟信号的幅度比值为： abs（ Xa（ 2k） /max（ abs（ Xa） ans=0.006 6 可以看出，随着采样频率的减小，混叠现象加大。 因此，要减小混叠，必须满足乃奎斯特采样定理，并且在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率 fs2的频率成分，一般取采样频率 6fs （ 3 5） fc。 2.2 截断效应 对无限长的模拟信号，用 DFT 进行谱分析时，必须先进行截断，通过采样才能得到有限点的序列，这样必然产生误差。截断可以理解为 加窗，即： y（ n） =x（ n） w（ n） （ 7） 式中： x（ n） 为模拟信号经采样得到的时域离散信号； w（ n） 为窗函数序列。根据频域卷积定理，加窗后的信号频谱为： Y（ ej ） =12X （ ej ） *W（ ej ） （ 8） 显然与原序列的频谱是不同的。 文献 7对常用的五种窗函数的时频域波形有详细的对比，是对窗函数本身的性能做了说明。下面仅以矩形窗和hamming 窗为例来从加窗对信号频谱的影响方面来进行分析。图 2 所示为矩形窗和 hamming 窗的时域 和频域波形。由时域波形可见，矩形窗是对原信号的原样截取， hamming 窗是在截取的同时对信号做了加权。由频域波形可见，矩形窗的主瓣窄，其宽度 8为 4N ， 但旁瓣幅度也高； hamming 窗是以主瓣展宽为代价换取了旁瓣幅度的减小，其主瓣宽度 8为8N ， 而主瓣宽度影响的就是频率分辨率。可见，通过加窗对信号截断使得对模拟信号的谱分析产生误差，表现为原本离散的谱线展宽（高频泄漏）和谱间干扰等现象，即所谓截断效应。从而降低了谱的分辨率，使频率相近的两个信号不易分清。 图 2 矩形窗和 hamming 窗的时频曲线 因此，为了减小截断效应的影响，一种方法是增大截取长度，通过改变 N， 使窗函数的主瓣变窄，提高频率分辨率。另一种方法是改变截断窗函数的形状。 下面通过一个例子，来更清楚地展示泄漏和谱间干扰的影响，以及通过截取长度和加不同的窗函数对频谱的改善作用 9，设： x（ n） =cos（ 2f1n ） +sin（ 2f2n ） +cos（ 2f3n ） 其中 f1=25 Hz， f2=50 Hz， f3=100 Hz，可见其最高频率为 f3， 频率分辨率至少为 25 Hz，则根据式（ 6），截取长度 Tp1F=0.04 s ，取采样频率 fs=400 Hz，则最小采样点 N=Tp?fs=16 点，图 3 所示为其加矩形窗和 hamming 窗以 N， 4N， 8N点分别截断的频谱效果。由图可以清晰地看到，当截取长度太短的时候，泄漏和谱间干扰都非常严重， 25 Hz 和 50 Hz 的两条谱线已无法分辨，只有增加截取长度 N， 才使得主瓣变窄，提高了频率分辨率；而采用 hamming 窗又降低了旁瓣的影响，减小了谱间干扰。而且可以看出，当 N一定时，旁瓣越小的窗函数，其主瓣 就越宽。增加 N使主瓣变窄，但旁瓣的相对幅度并不减小。矩形窗的主瓣较窄，但是旁瓣幅度也较高。可见，当截取长度一定时，频率分辨率和谱间干扰是相互抵消的，只能以一种优势来换取另一种性能的降低。 综合上述，世界各国和其他地区关于劳动者预告辞职权的设置具有相同之处，即将劳动关系双方主体都纳入法律条文，同等授予权利，使双方在解除劳动合同方面地位平等；同时也存在不同之处，即部分国家关于劳动合同的解除，区分为固定期限合同和无固定期限合同，并做不同的规定。但是，无论合同期限是否固定，即使各国劳动法中关于劳动者行使预 告辞职权的条件都较为宽松，劳动者也不能够任意解除劳动合同，集中表现为在固定期限劳动合同中劳动者只有基于正当的法定事由才可以辞职。由此可见，世界各国就实现劳资双方利益平衡的问题上形成一致态度。 三、中国预告辞职法律保护的特征 根据现行劳动法第 31条的规定，中国给予劳动者预告辞职的法律保护具有如下特征：首先，预告辞职的程序是劳动者提前 30天以书面的方式通知用人单位；其次，提前30天即为劳动者预告辞职的行使条件，除此之外劳动者无需任何理由便可向用人单位提出解除劳动合同；第三，劳动者书面通知 用人单位 30天后，用人单位应配合劳动者办理解除劳动合同的相关手续，不得以工作交接、薪资结算、档案管理等事由拒绝。基于上述特征，中国预告辞职制度存有不足之处，具体表现在： 1.预告期限过于统一，不利于维护劳动关系的流动性与稳定性 中国现行劳动者单方解除劳动合同的预告期限统一设定为 30天，无论劳动合同的期限，也无论劳动者在用人单位供职的年限或重要程度。这样的规定在知识经济时代背景下具有明显缺陷。劳动关系的实质在于劳动者和生产资料的结合，在劳动关系中，流动性与稳定性同样重要，需要达到某种均衡。 在劳动者预告辞职权利的制度安排中，应当考虑到劳动关系这种相对的特性。对于用人单位而言，劳动者的素质和可替代程度是不一样的，因此他们行使预告辞职权对用人单位消耗的离职成本也是不同的。就普通岗位的劳动者而言，由于可替代性强，劳动者本身也希望尽快与原单位解除劳动合同，另行寻找新的工作， 30 天的预告期限略显过长。而对于案例中钱某这类特殊岗位的劳动者来说，属于具有专业知识技能以及掌握现代管理经验的高级人才，他们深度参与企业的经营管理事务，显然其涉及问题和工作交接会相对复杂，但是根据劳动法第 31条的规定，也仅需提前 30天书面通知即可解除劳动关系，在这种情况下用人单位就处于非常被动的地位。在现实情况中，由于关键岗位劳动者资源的稀缺性，在 30天的期限内很难找到替代者，但是他们在很大程度上又决定了企业的优势竞争地位，对企业的生存和发展至关重要。 2.行使条件尚不明确，缺乏对劳动者预告辞职权利的合理限制 中国劳动法第 31条规定劳动者提前 30天进行书面通知，既是预告辞职的程序也是行使权利的条件，导致劳动关系随时可能因为劳动者的预告辞职而消灭，且不需其他法定事由，对于用人单位而言其合法权益难以保障。在劳动立法的价值目标中，倾斜保护劳动者思想与追求劳资双方利益平衡并不矛盾。劳动关系具有既对立又统一的特性，双方权利主体之间具有不同的价值追求，劳动者追求经济收入的最大化，用人单位则追求单位利益的最大化。就根本利益而言，劳动者和用人单位之间具有对立性，但是从具体利益来看，二者之间又存在统一性。所以，在劳动者预告辞职法律制度的设计中，既要强调倾斜保护劳动者的价值取向，又要重视用人单位的合法权益。这种价值理念体现于具体的制度中，就需要对劳动者预告辞职权利作出合理的限制。中国劳动法第 31条关于预告辞职设置的行使条件界 限模糊，没有以法律的形式明确劳动者在怎样的条件下得以行使预告辞职的权利，也没有规定在怎样的条件下预告解除劳动合同要受到限制。一味地授予劳动者无条件的预告辞职权利不利于平衡劳资双方的合法利益，也有违世界各国劳动立法的通行惯例。 四、预告辞职法律保护与各方利益的冲突 权利与义务是对立统一的，法律则是各种权利义务关系的调节器。对预告辞职进行法律保护的同时，必然会影响多方主体的权利和义务。从发达国家和地区预告辞职的保护方式以及中国预告辞职的保护特征来看，预告辞职的法律关系中主要存在以下利益的冲突 ： 1.劳动者的利益 劳动是现代劳动者的重要谋生手段，不仅意味着健康和生存的权利，还体现了劳动者的价值、自我实现与个性发展 11。由于劳动关系带有社会经济制度的特征，所以宪法关于劳动法基本原则的问题也有细致的规定。在中国宪法公民的权利和义务一章中，规定了劳动权是公民的基本权利。劳动者在劳动过程中，其专业技能和个人爱好处于不断上升的过程中，而在同一个职业岗位上连续工作达到一定年限后，劳动者必然会进入职业倦怠期。马斯洛的需求层次理论把需求分成生理需求、安全需求、社交需求、尊重需求和自我 实现需求五个级别，依次由较低层次到较高层次排列。为追求更高层次的精神需求和心理满足，劳动者必定要不断选择职业。所以辞职权是劳动权的一项重要内容，劳动者可以自由选择与用人单位之间，通过依法解除劳动合同的方式消灭劳动关系。预告辞职制度则是辞职权的一种具体表现，为劳动者创造了平等的话语权，也从法律上保障劳动者获得充分的职业选择自由，以实现自身的全面发展。 2.用人单位的利益 在劳资双方的法律关系中，劳动者和用人单位拥有平等的法律人格，但由于用人单位更广泛的支配权和选择权，往往认为劳动者处于相对 弱势的地位。劳动合同具有一定的特殊性，但其成立和生效完全遵循合同法中的有关规定，是在平等条件下双方当事人形成合意的结果。合同成立生效后，在劳资双方之间就产生了法律效力，双方当事人都必须严格遵守，不得擅自解除。但是预告辞职制度赋予了劳动者无条件单方解除合同的权利，劳动者可以行使此权利使合同关系处于不稳定状态。此时用人单位将处于劳动关系的弱势方，其作为合同的另一方当