三角函数与解三角形、平面向量解答题.docx

三角函数与解三角形、平面向量解答题(1)(45分钟)1. 已知函数f（x）=2sin（x+）（其中xR，0，-）的部分图象如图所示如果对函数g（x）的图象进行如下变化：横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，也可得到f（x）函数的图象，则函数g（x）的解析式是_ 2. 已知函数f（x）=4sinxcos2（x2+4）-cos2x（1）将函数y=f（2x）的图象向右平移6个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在x12，2上的值域；（2）已知a，b，c分别为ABC中角A，B，C的对边，且满足b=2，f（A）=2-1，3a=2bsinA，B（0，2），求ABC的面积3. 已知向量a=(sinx，-1)，b=(3cosx，-12)，函数f(x)=(a+b)a-1（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，若f(A2)=32，a=2，求b+c的取值范围4. 图所示，四边形ABC，已知AC=6+2，D=22，D=23，DBCsnBAC+sinBC取得最大值时，求四边BC的面积5. 已知函数f（x）=sinxcos(x-6)+cos2x-12（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=12，b+c=3，求a的最小值6. 已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，MCN=23，在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c（）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2求c的值；（）若c=3，ABC=，试用表示ABC的周长，并求周长的最大值三角函数与解三角形、平面向量解答题答案和解析【答案】1. g（x）=2sin（4x+23）2. 解：(1)f(x)=4sinxcos2(x2+4)-cos2x=4sinx1+cos(x+2)2-cos2x1分=2sinx-2sin2x-cos2x=2sinx-1，2分函数f（2x）=2sin2x-1的图象向右平移6个单位得到函数g（x）=2sin2（x-6）-1=2sin（2x-3）-1的图象，4分x12，2，2x-3-6，23，当x=12时，g（x）min=-2；当x=512时，g（x）max=1，所求值域为-2，16分（2）由已知3a=2bsinA及正弦定理得：3sinA=2sinBsinA，7分sinB=32，0B2，B=3，8分由f（A）=2-1，得sinA=229分又a=23bb，A=4，10分由正弦定理得：a=263，11分SABC=12absinC=1226326+24=3+3312分3. 解：（）f(x)=(a+b)a-1=(sinx+3cosx)sinx+(-32)(-1)-1=sin2x+3sinxcosx+12=12(1-cos2x)+32sin2x+12=sin(2x-6)+1f(x)=sin(2x-6)+1由-2+2k2x-62+2k，kZ，得-3+2k2x23+2k，kZ，即-6+kx3+k，kZ，函数f（x）的单调递增区间为-6+k，3+k，kZ；（）由f(A2)=32，得sin(A-6)+1=32 sin(A-6)=12，A-6=6+2k，kZ或A-6=56+2k，kZ，即A=3+2k，kZ，或A=+2k，kZ，0A，A=3由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即4=b2+c2-bc，(b+c)2=4+3bc4+3(b+c2)2，即b+c4又b+ca=2，2b+c44. 解：AD中，由弦定理得：cosDA=AD2+AC2-CD22AAD=4+438+83=12DAC=3 当=3时inBACsiABC取得最大值BAC+BC=23 此时BACB=3BC等边三角形SAC=1222sin3=3SAD=12CAsinDAC=12(6+2)2232=3+3四边ACD的面积为S=SAC+SAC3+235. 解：（1）f（x）=sinxcos(x-6)+cos2x-12=sinx（32cosx+12sinx）+cos2x-12=34sin2x+1+cos2x4=12sin(2x+6)+14令：-2+2k2x+62+2k（kZ）解得：k-3xk+6即函数的单调递增区间为：k-3，k+6（kZ）令：2x+6=k 解得：x=k2-12（kZ）即函数的对称中心为：(k2-12，14)（kZ）（2）利用函数f（x）=12sin(2x+6)+14则：f（A）=12sin(2A+6)+14=12则：sin(2A+6)=12由于：0A 解得：A=3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b+c=3，所以利用余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc因为：bc(b+c2)2则：(b+c)2-3bc(b+c)2-3(b+c2)2=94进一步求得：a294则：a32或a-32（舍去）即：amin=326. 解：（）a、b、c成等差，且公差为2，a=c-4、b=c-2又MCN=23，cosC=-12，a2+b2-c22ab=-12，(c-4)2+(c-2)2-c22(c-4)(c-2)=-12，恒等变形得c2-9c+14=0，解得c=7，或c=2又c4，c=7（6分）（）在ABC中，由正弦定理可得ACsinABC=BCsinBAC=ABsinACB，ACsin=BCsin(3-)=3sin23=2，AC=2sin，BC=2sin(3-)ABC的周长f（）=|AC|+|BC|+|AB|=2sin+2sin(3-)+3=212sin+32cos+3=2sin(+3)+3，（10分）又(0，3)，3+323，当+3=2，即=6时，f（）取得最大值2+3（ 12分）【解析】1. 解：由图可知，T4=6+12=4，T=2=，解得=2，f（x）=2sin（2x+），又由五点作图法知，62+=，=23；f（x）=2sin（2x+23）；又将函数g（x）的图象的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，也可得到f（x）函数的图象，函数g（x）的解析式为：g（x）=2sin（4x+23）故答案为：g（x）=2sin（4x+23）由图可知T=2=，可求得=2，利用五点作图法可知62+=，从而可解得，于是可得函数f（x）的解析式，利用y=Asin（x+）的图象变换即可求得函数g（x）的解析式本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（x+）的图象变换，属于中档题2. （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=2sinx-1，由题意可求g（x）=2sin（2x-3）-1，由x12，2，可求2x-3-6，23，利用正弦函数的性质可求值域（2）由已知及正弦定理得：3sinA=2sinBsinA，可求sinB=32，结合范围0B2可求B=3，进而可求sinA，由正弦定理得a，利用三角形面积公式即可计算得解本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题3. （）由已知结合数量积的坐标运算得到f（x），降幂后利用辅助角公式化简，由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间；（）由f(A2)=32求得角A，再由余弦定理结合基本不等式求得求b+c的取值范围本题考查平面向量的数量积运算，考查y=Asin（x+）型函数的图象和性质，训练了三角形的解法，是中档题4. 在CD中使用余弦定解出cosDA；由知BC+ABC=23，利用两角和差的三函公式化简sBAC+sinABC，求其取最值时各角大小，别求出BC和AD的面本题考查了弦，三角函数恒等变换，正弦数性质，三角形的面积式，于中档题5. （1）首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间和对称中心（2）利用（1）的结论进一步计算出A的值，在利用余弦定理和基本不等式解出a的最小值本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求正弦型函数的单调区间，及函数的对称中心，及利用余弦定理和基本不等式解三角形知识属于基础题型6. （）由题意可得a=c-4、b=c-2又因MCN=23，cosC=-12，可得a2+b2-c2