陕西省石泉县高中数学 第四章 定积分 4.1.1 定积分的实际背景1教案 北师大版选修22.doc

1.1 定积分的实际背景面积和路程问题1课标要求了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。三维目标（一）知识与能力：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；（二）过程与方法：1.体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；2.感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。（三）情感态度与价值观：认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。教材分析本节的主要内容是展现定积分的实际背景，形成定积分的概念.教材设计了3个实例求曲边梯形面积、根据物体运动的速度求路程、求物体拉力做的功，通过这些问题的解决，总结这些问题的解决思路即通过分割求和、加细、减小误差，然后再研究提高精确度的过程，这个过程是定积分思想的核心，为定积分概念的引人奠定了背景和方法的基础。学情分析学生已经学过了求曲边梯形面积、根据物体运动的速度求路程、求物体拉力做的功，为定积分概念的引人奠定了背景和方法的基础。教学重难点重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）难点：过程的理解提炼的课题定积分的概念教学手段运用教学资源选择专家伴读教学过程1、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。一个概念：如果函数在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数（不加说明，下面研究的都是连续函数）2、新课探析问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形如何计算这个曲边梯形的面积？ 例题：求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积s。 思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积s的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段“以直代曲”的思想的应用xxx1 x1 xy1 xyy 把区间分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积s也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积解：（1）分割在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：， 记第个区间为，其长度为分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作： ，显然，（2）近似代替记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有 （3）求和：由，上图中阴影部分的面积为=，从而得到的近似值 （4）取极限：分别将区间等分8，16，20，等份（如图），可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有3求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割在区间中任意插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值第三步：求和第四步：取极限。说明：1归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和逼近2最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值