高中数学 第2章 平面向量 2.5 向量的应用达标训练 苏教版必修4.doc

高中数学 第2章 平面向量 2.5 向量的应用达标训练 苏教版必修4基础巩固1.一艘船从a点出发以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为2 km/h,则船实际航行速度的大小为_.思路解析:如图,设表示船向垂直于对岸行驶的速度表示水流速度,以ad、ab为邻边作平行四边形abcd,则就是船实际航行的速度.在直角三角形abc中,|=2,|=,所以|= =4.又tancab=.答案:2.在静水中划船的速度是每分钟40,水流的速度是每分钟20,如果船从岸边出发,径直沿垂直于水流的航线到达对岸,那么船行进的方向应该指向_.思路解析:如右图,船航行的方向是与河岸垂直方向成30夹角,即指向河的上游.答案:与河岸垂直方向成30夹角3.设e1、e2是两个不共线向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若三点a、b、d共线,则k的值为_.思路解析:=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.a、b、d共线,、共线.存在使=,即2e1+ke2=(e1-4e2).解得k=-8.答案:-84.已知:四点a(5,1)、b(3,4)、c(1,3)、d(5,-3),求证:四边形abcd是梯形.思路分析:利用向量的坐标运算证明.证明:=(-2,3),=(-4,6),.且|.四边形abcd是梯形.5.已知a(1,2)、b(2,3)、c(-2,5),求证:abc是直角三角形.思路解析:本题主要是利用向量垂直的条件解决有关问题.证明:=(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3),=1(-3)+13=0.abc是直角三角形.综合应用6.若o为平行四边形对角线的交点,=4e1,=6e2,则3e2-2e1等于( )a. b. c. d.思路解析:如右图,=6e2,则=6e2-4e1,所以,3e2-2e1=(6e2-4e1)=.答案:b7.已知平行四边形abcd,e、f分别是dc和ab的中点,求证:aecf.思路分析:利用向量的线性运算及向量在平面几何中的应用.证明:因为e、f为dc、ab的中点,=,=.由向量加法法则可知+,+.四边形abcd为平行四边形,.-=-(+)=-.aecf.8.如图2-5-7,p是正方形abcd的对角线bd上的任意一点,pecf是矩形,用向量证明pa=ef且paef.图2-5-7思路分析:把几何图形放在适当的坐标系中,赋予有关点与向量具体的坐标,进行相应的代数运算和向量运算.证明:(1)以点d为坐标原点,dc所在直线为x轴,建立如下图所示的坐标系,设正方形边长为1.又设p(,)(01),则a(0,1)、e(,0)、f(1,),|=,|=.|=|,即pa=ef.(2)由=(-,1-)(1-,)=(-)(1-)+(1-)=-+2+-2=0,即paef.9.abc中,a(5,-1),b(-1,7),c(1,2).求:(1)bc边上的中线am的长;(2)cab的平分线ad的长;(3)cosabc的值.思路分析:本题是平面几何中有关长度、夹角、垂直问题,可以用向量的坐标运算来解决.解:(1)由已知可知点m的坐标为(0,),=(0,)-(5,-1)=(-5,).|=.(2)|=10,|=5,d分的比为2.xd=,yd=.|=.(3)abc是与的夹角,而=(6,-8),=(2,-5),cosabc=.10.(2005上海高考)直角坐标平面xoy中,若定点a(1,2)与动点p(x,y)满足=4,则点p的轨迹方程是_.思路解析:利用向量数量积的坐标运算.由已知=(x,y),=(1,2),由=4可得x+2y-4=0.答案:x+2y-4=011.(2005湖南高考)p是abc所在平面上一点,若,则p是abc的( )a.外心 b.内心 c.重心 d.垂心思路解析:利用平面向量数量积的运算律.由=可得=0,即()=0,则有,即pb与ca垂直.同理可得pabc,pcab.则点p是abc的三条高的交点.答案:d12.(2005福建高考)在abc中,c=90,=(k,1),=(2,