高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.3 指数函数与对数函数的关系教案 新人教B版必修1.doc

3.2.3 指数函数与对数函数的关系教学分析教材通过函数y2x与ylog2x引入反函数的概念，值得注意的是在课程标准中，对反函数的要求仅仅局限于了解即可，防止过多的求反函数等练习，以免加重学生的负担三维目标了解反函数的概念，知道yax与ylogax(a0，a1)互为反函数，树立普遍联系的思想重点难点教学重点：yax与ylogax(a0，a1)的关系和反函数的概念教学难点：理解反函数的概念课时安排1课时导入新课思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数yax与函数ylogax到底还有什么关系呢？这就是本堂课我们要研究的新内容思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题因此，搞清yax和函数ylogax的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力推进新课用列表描点法在同一个直角坐标系中画出xlog2y与y2x与ylog2x的函数图象.通过图象探索在指数函数y2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.探索y2x与xlog2y的图象间的关系.探索y2x与ylog2x的图象间的关系.结合与推测函数yax与函数ylogax的关系.讨论结果：y2x与xlog2y.x3210123y1248ylog2x.y3210123x1248图象如下图所示在指数函数y2x中，x是自变量，y是x的函数，而且其在r上是单调递增函数过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y2x的图象有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数由指数式与对数式关系，y2x得xlog2y，即对于每一个y，在关系式xlog2y的作用之下，都有唯一的确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即xlog2y.这时我们把函数xlog2yy(0，)叫做函数y2x(xr)的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调xlog2y中的x、y写成ylog2x，这样ylog2xx(0，)是指数函数y2x(xr)的反函数由上述讨论可知，对数函数ylog2xx(0，)是指数函数y2x(xr)的反函数；同时，指数函数y2x(xr)也是对数函数ylog2xx(0，)的反函数因此，指数函数y2x(xr)与对数函数ylog2xx(0，)互为反函数以后，我们所说的反函数是x、y对调后的函数如ylog3x，x(0，)与y3x(xr)互为反函数，ylog0.5x与y0.5x(xr)互为反函数函数yf(x)的反函数通常用yf1(x)表示从我们的列表中知道，y2x与xlog2y是同一个函数图象通过观察图象可知，y2x与ylog2x的图象关于直线yx对称通过与类比，归纳知道，yax(a0，且a1)的反函数是ylogax(a0，且a1)，且它们的图象关于直线yx对称由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于直线yx对称思路1例写出下列函数的反函数：(1)y30x；(2)ylog0.7x.解：(1)f1(x)log30x；(2)f1(x)0.7x.点评：函数yax与函数ylogax(a0，且a1)互为反函数.变式训练本节练习a1.思路2 例 求下列函数的反函数：(1)y2x；(2)y2x1.解：(1)xy，则f1(x)x.(2)2xy1，则xlog2(y1)，f1(x)log2(x1)(x1)点评：求反函数的步骤：将yf(x)看成关于x的方程，解方程得x；x、y互换得f1(x).变式训练求证：函数y的图象关于直线yx对称证明：x，f1(x).则y的反函数是其本身y的图象关于直线yx对称.1函数ylgx的反函数是()aylgx by10xcylnx dy10x答案：b2函数y的图象关于()a直线yx对称 b直线y2x对称cx轴对称 dy轴对称答案：a3写出下列函数的反函数：(1)yx；(2)y2x1；(3)y6x.解：(1)f1(x)()x；(2)f1(x)x；(3)f1(x)log6x.若1x2，比较(log2x)2，log2x2，log2(log2x)的大小活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，学生有困难，教师可以提示并及时评价这是有条件的比较大小，几个对数式各不相同，应采取中间量法很明显，log2(log2x)小于0，只要比较(log2x)2与log2x2的大小即可解：log2(log2x)(log2x)2log2x2.解法一：因为log2x2(log2x)2log2x(2log2x)log2xlog2，又因为1x2，所以1x.所以log20，log2x0.所以log2x2(log2x)20.又因为log2x1，log2(log2x)0，所以log2(log2x)(log2x)2log2x2.解法二：因为(log2x)2log2x2(log2x)22log2x11(log2x1)21，又1x2，所以0log2x1，即0(log2x)21.因此(log2x1)210.又log2(log2x)0，故log2(log2x)(log2x)2log2x2.点评：比较数的大小方法：作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小计算出每个数的值，再比较大小若是两个以上的数，有时采用中间量比较利用图象法利用函数的单调性1互为反函数的概念及其图象间的关系2对数函数图象的平移变换规律3本节课又复习了对数函数的图象与性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中总结规律4指、对数函数图象性质对比课本本节练习b1、2.学生已经比较系统地掌握了对数函数的定义、图象和性质，因此本堂课首先组织学生回顾函数的通性，以及有关指数型函数的图象的变化规律以及与指数式有关的复合函数的奇偶性、单调性的讨论方法与步骤，为学生用类比法学习作好方法上的准备由于本节课是本单元的最后一节，内容比较综合，量也较大，所以应响应高考要求，抓住关键，强化细节，努力使学生掌握与高考相适应的知识与能力，做到与高考接轨备用习题1f(x23)loga(a0，a1)，判断f(x)的奇偶性活动：学生考虑，学生之间可以相互交流讨论判断函数的奇偶性，一般用定义法；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；学生回忆判断函数奇偶性的方法，利用定义判断函数奇偶性的格式步骤解：f(x23)loga，f(x)loga.由0，得f(x)的定义域为(3,3)又f(x)logaloga()1loga()f(x)，f(x)是奇函数点评：解指数不等式要注意底数的大小，必要时要分类讨论2已知常数a、b满足a1b0，若f(x)lg(axbx)，(1)求yf(x)的定义域；(2)证明yf(x)在其定义域内是增函数；(3)若f(x)恰在(1，)上恒取正值，且f(2)lg2，求a、b的值(1)解：由axbx0，得()x1.因为ab0，所以1.所以y()x是增函数而且由()x1得x0，即函数f(x)的定义域是(0，)(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，因为a1，所以g1(x)ax是增函数所以ax1ax20，(ax1ax2)(bx1bx2)0，即(ax1bx1)(ax2bx2)0.因此0ax1bx1ax2bx2，于是lg(ax1bx1)lg(ax2bx2)，故f(x)lg(axbx)在(0，)内是增函数(3)解：因为f(x)在(1，)内为增函数，所以对于x(1，)内每一个x值，都有f(x)