（新课标版）备战2018高考数学二轮复习 方法3.3 解答题的解法教学案.doc

方法3.3 解答题的解法数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容从历年高考看这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的大有人在，针对以上情况，本节就具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化【常见答题模板展示】模板一三角函数的图像与性质试题特点：通过升、降幂等恒等变形，将所给三角函数化为只含一种函数名的三角函数(一般化为，然后再研究三角函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等求解策略：观察三角函数中函数名称、角与结构上的差异，确定三角化简的方向例1已知函数. ()求函数的对称中心；()求在上的单调区间.思路分析：(1)由两角和差公式化简可得，然后再令，即可求出对称中心；(2)令，解得；又由于，所以，由此即可求出单调区间. (2)令，解得，又由于，所以，故所求单调区间为.【规律总结】答题模板第一步：三角函数式的化简，一般化成的形式或的形式如：.第二步：根据的表达式求其周期、最值第三步：由 的单调性，将“”看作一个整体，转化为解不等式问题第四步：明确规范表述结论第五步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范.【举一反三】1.已知函数.（）求函数的单调递减区间；（）求函数在区间上的最大值及最小值.模板二三角变换与解三角形试题特点：题中出现边与角的关系或者给定向量的关系式，利用正、余弦定理或利用向量的运算，将向量式转化为代数式，再进行有关的三角恒等变换解三角形求解策略：（1）利用数量积公式、垂直与平行的主要条件转化向量关系为三角问题来解决（2）利用正、余弦定理进行三角形边与角的互化例2在中，角所对的边分别为，的面积为，若.（）求角的大小；（）若，求的值.思路分析：（）由余弦定理及三角形面积公式得，因此，再根据三角形内角范围得（）将条件，代入得，再根据余弦定理得，所以，因此【规律总结】答题模板第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步：求结果第四步：回顾反思，在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形.【举一反三】在中，角所对的边分别为，且（1）求的值；（2）若，求的面积的值模板三离散型随机变量的分布列、期望与方差试题特点：主要考查古典概型、几何概型，等可能事件的概率计算公式，互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式，相互独立事件的概率乘法公式，事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率计算公式等五个基本公式的应用及离散型随机变量的分布列和数学期望、方差等内容求解策略：（1）搞清各类事件类型，并沟通所求事件与已知事件的联系（2）涉及“至多”、“至少”问题时要考虑是否可通过计算对立事件的概率求解（3）注意识别特殊的二项分布（4）在概率与统计的综合问题中，能利用统计的知识提取相关信息用于解题例3. 【2018河南名校联考】为了调查观众对某电视剧的喜爱程度，某电视台在甲乙两地随机抽取了8名观众做问卷调查，得分结果如图所示：（1）计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问卷得分的平均数；（2）用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行问卷调查，记问卷分数不低于80分的人数为，求的分布列与期望.思路分析：（1）根据茎叶图数据计算中位数及平均数；（2）由题意知随机事件服从二项分布，故可套用二项分布公式求解.试题解析：（1）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众问卷得分的中位数是，乙地被抽取的观众问卷得分的平均数是.【规律总结】答题模板第一步：确定离散型随机变量的所有可能值第二步：求出每个可能值的概率第三步：画出随机变量的分布列第四步：求期望和方差第五步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范如本题可重点查看随机变量的所有可能值是否正确；根据分布列性质检查概率是否正确.【举一反三】【2018云南昆明一中摸底】某市为了解本市万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）估算该校名学生成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）求这名学生成绩在内的人数；（3）现从该校名考生成绩在的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前名的人数记为，求的分布列和数学期望.参考数据：若，则， （3），则.所以该市前名的学生听写考试成绩在分以上.上述名考生成绩中分以上的有人.随机变量.于是，.的分布列：数学期望. 模板四立体几何中位置关系的证明及空间角的计算问题试题特点：立体几何解答题主要分两类：一类是空间线面关系的判定和推理证明，主要是证明平行和垂直；另一类是空间几何量(空间角、空间距离、几何体体积与面积)的计算求解策略：（1）利用“线线线面面面”三者之间的相互转化证明有关位置关系问题：由已知想未知，由求证想判定，即分析法与综合法相结合来找证题思路；利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一（2）空间几何量的计算，常用方法是依据公理、定理以及性质等经过推理论证，作出所求几何量并求之一般解题步骤是“作、证、求”例4如图，四棱锥中，为正三角形，为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.思路分析：（1）取中点，连接、，然后利用中位线定理推出为平行四边形，从而利用四边形与正三角形的性质推出平面，进而使问题得证；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标与向量，从而利用空间夹角公式求解即可（2）因为，所以，又，所以平面，所以平面，所以为与平面所成的角，即，从而.以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设，则，.所以，.设平面的法向量为，则，即，解得.令，得.由（1）可知平面，所以为平面的一个法向量.所以.所以二面角的余弦值为.【规律总结】答题模板第一步：根据条件合理转化第二步：写出推证平行或垂直所需的条件，条件要充分第三步：写出所证明的结论第四步：建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标第五步：求(或找)两个半平面的法向量第六步：求法向量 的夹角或 (若为锐二面角则求)第七步：将法向量的夹角转化为二面角的夹角第八步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范【举一反三】如图，在三棱柱中，为的重心，.（1）求证：平面；（2）若侧面底面，求直线与平面所成角的正弦值.（2）连结.因为,所以，所以,所以.因为侧面底面，侧面底面，所以平面.因为，所以是等边三角形，所以.以为原点，分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，所以.设平面的一个法向量为，则所以令，得，所以.所以.即直线与平面所成角的正弦值为.模板五数列通项公式及求和问题试题特点：数列解答题一般设两到三问，前面两问一般为容易题，主要考查数列的基本运算，最后一问为中等题或较难题，一般考查数列的通项和前项和的求法、最值等问题如果涉及递推数列，且与不等式证明相结合，那么试题难度大大加强求解策略：（1）利用数列的有关概念求特殊数列的通项与前项和（2）利用转化与化归思想(配凑、变形)将一般数列转化为等差、等比数列(主要解决递推数列问题)（3）利用错位相减、裂项相消等方法解决数列求和（4）利用函数与不等式处理范围和最值问题例5 已知数列的前项和为，且满足（）求；()设，数列的前项和为，求证：思路分析：（）由和项求数列通项，主要利用得，化简得，即得，也可利用叠乘法求： () 由于，所以利用放缩结合裂项相消法求证不等式：【规律总结】答题模板第一步：令，由求出.第二步：令，构造，用代换 (或用代换，这要结合题目特点)，由递推关系求通项第三步：验证当时的结论是否适合当时的结论如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示第四步：写出明确规范的答案第五步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范本题的易错点，易忽略对n1和n2分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合并.【举一反三】在公差不为零的等差数列中，已知，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，记，求数列的前项和模板六圆锥曲线中的探索性问题试题特点：主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、中点、轨迹、范围、定值、最值等问题与探索存在性问题本模板就探索性问题加以总结求解策略：突破解答题，应重点研究直线与曲线的位置关系，要充分运用一元二次方程根的判别式和韦达定理，注意运用“设而不求”的思想方法，灵活运用“点差法”解题，要善于运用数形结合思想分析问题，使数与形相互转化，根据具体特征选择相应方法例6 已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方），且.（1）求椭圆的方程；（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.思路分析：(1) 设,用坐标表示条件列出方程化简整理可得椭圆的标准方程；(2)由（1）可知，即可得，由得，写出直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，由两点式求直线的方程即可；(3)由，得，设直线方程为，与椭圆方程联立得，由根与系数关系计算得，从而得到直线方程为，从而得到直线过定点.【规律总结】答题模板第一步：假设结论存在第二步：以存在为条件，进行推理求解第三步：明确规范表述结论若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设第四步：反思回顾查看关键点，易错点及解题规范常常容易忽略这一隐含条件以及忽略直线与轴垂直的情况.【举一反三】如图，抛物线与双曲线有公共焦点，点是曲线在第一象限的交点，且.（）求双曲线的方程；（）以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切，圆.已知点，过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为.试探索是否为定值？请说明理由.（）为定值.下面给出说明：设圆的方程为：，双曲线的渐近线方程为：.圆与渐近线相切，圆的半径为.故圆.依题意的斜率存在且均不为零，所以设的方程为，即，设的方程为，即，点到直线的距离为，点到直线的距离为，直线被圆截得的弦长，直线被圆截得的弦长，故为定值.模板七函数的单调性、最值、极值问题试题特点：给定函数含有参数，常见的类型有，根据对函数求导，按参数进行分类讨论，求出单调性、极值、最值.求解策略：（1）求解定义域；（2）求导（含二次函数形式的导函数）；（3）对二次函数的二次项系数、判别式、根的大小进行讨论.例7【2018河北衡水二调】已知函数， （1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值思路分析：（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；（2）中可通过分离参数将问题转化成在区间内恒成立求解，令，结合函数零点存在定理可求得的最值。 在区间内恒成立令，则，令，则在区间内单调递增，又，所以存在唯一的，使得，且当时， ， 单调递增，当时， ， ，所以当时， 有极大值，也为最大值，且 ，所以，又，所以,所以，因为，故整数的最小值为2【规律总结】答题模板第一步：确定函数的定义域第二步：求函数的导数第三步：求方程的根第四步：利用的根和不可导点的的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格第五步：由在小开区间内的正、负值判断在小开区间内的单调性；求极值、最值第六步：明确规范地表述结论第七步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范常常容易易忽视定义域，对不能正确分类讨论.【举一反三】【2018河南名校联考】已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在，且，使得，求证： . 模板八含参不等式的恒成立问题试题特点：主要包括等式恒成立问题和不等式恒成立问题求解策略：(1)对于可化为二次函数型的等式与不等式恒成立问题，可借助图象列不等式(组)求解(2)通过移项，等式或不等式左右两边的函数图象易画，可画图求解(3)将等式或不等式转化为某含待求参数的函数的值域或最值问题求解例8 已知函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）若对任意及时，恒有成立，求实数的取值范围.思路分析：（）因为，所以不等式等价于，先利用导数研究函数单调性：在上是增函数，所以（）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，而对双变量问题，先确定一变量，本题先看作不等式恒成立问题，等价于，而利用导数易得在上是减函数，所以，即，最后根据恒成立得因此试题解析：（1），当时，恒有，则在上是增函数，又，化为，. （2）由题意知对任意及时，恒有成立，等价于，当时，由得，因为，所以，从而在上是减函数，所以，所以，即，因为，所以，所以实数的取值范围为. 点评：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数