辽宁省大连市高三数学二模试卷 理（含解析）.doc

辽宁省大连市2015届高考数学二模试卷（理科）一选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合a=2，3，b=x|x24x+3=0，则ab等于( )a2b3c1d1，32已知复数z的共轭复数为，若|=4，则z=( )a4b2c16d23对变量x、y有观测数据（xi，yi）（i=1，2，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i=1，2，10），得散点图2由这两个散点图可以判断( )a变量x与y正相关，u与v正相关b变量x与y正相关，u与v负相关c变量x与y负相关，u与v正相关d变量x与y负相关，u与v负相关4有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )aaabccccccdaaa5在abc中，d为bc边的中点，若=（2，0），=（1，4），则=( )a（2，4）b（0，4）c（2，4）d（0，4）6如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中oa与地面垂直，以oa为始边，逆时针转动（0）角到ob，设b点与地面距离为h，则h与的关系式为( )ah=5.6+4.8sinbh=5.6+4.8cosch=5.6+4.8cos（+）dh=5.6+4.8sin（）7如图所示的流程图，最后输出n的值是( )a3b4c5d68设f为抛物线c：y2=2px的焦点，过f且倾斜角为60的直线交曲线c于a，b两点（b点在第一象限，a点在第四象限），o为坐标原点，过a作c的准线的垂线，垂足为m，则|ob|与|om|的比为( )ab2c3d49用一个平面去截正四面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有( )a6个b7个c10个d无数个10已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为( )abcd11定义表示不超过x的最大整数设nn*，且m=（n+1）2+n2，则下列不等式恒成立的是( )am22n+1b当n2时，2m4n2cm22n+1d当n3时，2m2n+212对x（0，），下列四个命题：sinx+tanx2x；sinxtanxx2；sinx+tanxx；sinxtanx2x2，则正确命题的序号是( )a、b、c、d、二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13如图，设抛物线y=x2+1的顶点为a，与x轴正半轴的交点为b，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为m，随机往m内投一点，则点p落在aob内的概率是_14若（13x）2015=a0+a1x+a2x2+a2015x2015，则+的值为_15设点p在曲线y=x2+1（x0）上，点q在曲线y=（x1）上，则|pq|的最小值为_16已知双曲线c：=1（a0，b0）左右顶点为a1，a2，左右焦点为f1，f2，p为双曲线c上异于顶点的一动点，直线pa1斜率为k1，直线pa2斜率为k2，且k1k2=1，又pf1f2内切圆与x轴切于点（1，0），则双曲线方程为_三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知两个数列an，bn，其中an是等比数列，且a2=，a5=，bn=（1an）（）求bn的通项公式；（）设bn的前n项和为sn，求证：sn+18某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：甲厂：分组一选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合a=2，3，b=x|x24x+3=0，则ab等于( )a2b3c1d1，3考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出b中方程的解确定出b，找出a与b的交集即可解答：解：由b中方程变形得：（x1）（x3）=0，解得：x=1或x=3，即b=1，3，a=2，3，ab=3，故选：b点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知复数z的共轭复数为，若|=4，则z=( )a4b2c16d2考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：先设出复数z=a+bi（a、br），再求出共轭复数，由已知|=4，则z的答案可求解答：解：设则=abi，|=，z=（a+bi）（abi）=a2+b2=42=16故选：c点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念及共轭复数的求法，是基础题3对变量x、y有观测数据（xi，yi）（i=1，2，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i=1，2，10），得散点图2由这两个散点图可以判断( )a变量x与y正相关，u与v正相关b变量x与y正相关，u与v负相关c变量x与y负相关，u与v正相关d变量x与y负相关，u与v负相关考点：散点图 专题：数形结合法分析：通过观察散点图可以知道，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关解答：解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关故选c点评：本题考查散点图，是通过读图来解决问题，考查读图能力，是一个基础题，本题可以粗略的反应两个变量之间的关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关4有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )aaabccccccdaaa考点：排列、组合的实际应用 专题：排列组合分析：根据题意，分2步分析，先从4名男医生中选2人，再从3名女医生中选出1人，由分步计数原理计算可得答案解答：解：根据题意，先从4名男医生中选2人，有c42种选法，再从3名女医生中选出1人，有c31种选法，则不同的选法共有c42c31种；故选：b点评：本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同5在abc中，d为bc边的中点，若=（2，0），=（1，4），则=( )a（2，4）b（0，4）c（2，4）d（0，4）考点：平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：根据向量的几何意义和向量的坐标运算计算即可解答：解：=（1，4）（2，0）=（1，4）（1，0）=（0，4），故选：d点评：本题考查了向量的坐标运算，属于基础题6如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中oa与地面垂直，以oa为始边，逆时针转动（0）角到ob，设b点与地面距离为h，则h与的关系式为( )ah=5.6+4.8sinbh=5.6+4.8cosch=5.6+4.8cos（+）dh=5.6+4.8sin（）考点：在实际问题中建立三角函数模型 专题：三角函数的求值分析：本题需要过点o作平行与地面的直线l，过点b作l的垂线，根据三角函数来求解解答：解：过点o作平行于地面的直线l，再过点b作l的垂线，垂足为p，则bop=，根据三角函数的定义得：bp=obsin（）=4.8sin（）h=4.8+0.8+bp=5.6+4.8sin（）故选：d点评：本题考查了在实际问题中建立三角函数模型的能力7如图所示的流程图，最后输出n的值是( )a3b4c5d6考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n的值，当n=5时，满足条件2n=32n2=25，退出循环，输出n的值为5解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1，n=2不满足条件2nn2，n=3不满足条件2nn2，n=4不满足条件2nn2，n=5满足条件2n=32n2=25，退出循环，输出n的值为5故选：c点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的n的值是解题的关键，属于基础题8设f为抛物线c：y2=2px的焦点，过f且倾斜角为60的直线交曲线c于a，b两点（b点在第一象限，a点在第四象限），o为坐标原点，过a作c的准线的垂线，垂足为m，则|ob|与|om|的比为( )ab2c3d4考点：直线与圆锥曲线的关系 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求得抛物线的焦点和准线方程，设出直线ab的方程，代入抛物线方程，消去x，求得y1=p，y2=p，运用两点的距离公式，计算即可得到结论解答：解：抛物线c：y2=2px的焦点f（，0），准线为x=，设直线ab：y=（x），联立抛物线方程，消去x，可得y22pyp2=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则y1=p，y2=p，由m（，y1），则|om|=p，|ob|=p，即有|ob|=3|om|故选c点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点和准线方程的运用，同时考查直线和抛物线联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题9用一个平面去截正四面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有( )a6个b7个c10个d无数个考点：棱锥的结构特征 专题：空间位置关系与距离分析：根据几何体的性质判断正四面体是中心对称几何体，利用中心对称几何体的性质判断即可解答：解：正四面体是中心对称图形，平面过正四面体的中心，则分成为形状，大小都相同的两个几何体，可判断这样的平面有无数个，故选；d点评：本题考查了常见的几何体的性质，关键是确定几何体的性质为中心对称，难度不大，属于中档题10已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为( )abcd考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥，画出该三棱锥的直观图，求出它的体积解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为1的正方体中一三棱锥pabc，如图所示；该三棱锥的体积为121=故选：a点评：本题考查了几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出该几何体的结构特征，是基础题目11定义表示不超过x的最大整数设nn*，且m=（n+1）2+n2，则下列不等式恒成立的是( )am22n+1b当n2时，2m4n2cm22n+1d当n3时，2m2n+2考点：基本不等式 专题：不等式分析：分析：首先理解所表示的含义，然后把2（进行化简，得到m=n0，再分别判断各选项是否正确，问题得以解决解答：解：则n是正整数，2=2=（n+1）2等式成立，m=（n+1）2+n（n+1）2=n0，对于选项a：m2=n22n+1当n=1不成立，对于选项b：2m=2n4n2，当n=3时，不成立对于选项c：m2=n22n+1当n=1不成立，对于选项d：2m=2n2n+2，分别画出y=2x与y=2x+1的图象，如图所示，由图象可知，当n3时，2m2n+2恒成立，故选：d点评：本题主要考查取整函数的知识点，解答本题的关键之处是把2进化简成（n+1）2，只要此步有思路了，本题就迎刃而解了12对x（0，），下列四个命题：sinx+tanx2x；sinxtanxx2；sinx+tanxx；sinxtanx2x2，则正确命题的序号是( )a、b、c、d、考点：同角三角函数基本关系的运用 专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用分析：令f（x）=sinx+tanx2x，求得导数，判断单调性，即可判断；令f（x）=sinxtanxx2，求得导数，再令g（x）=sinx+2x，求得导数，判断单调性，即可判断f（x）的单调性，进而得到结论；令x=，求出不等式左右两边的数值，即可判断；令x=，求出不等式左右两边的数值，即可判断解答：解：令f（x）=sinx+tanx2x，求导f（x）=cosx+sec2x2=，x（0，），0cosx1，f（x）0，即函数单调递增，又f（0）=0，f（x）0，sinx+tanx2x0，即sinx+tanx2x，故正确；令f（x）=sinxtanxx2，f（x）=cosxtanx+sinxsec2x2x=sinx+2x，g（x）=sinx+2x，g（x）=cosx+2=cosx+2+，由0x，则cosx（0，1），cosx+2，则g（x）0，g（x）在（0，）递增，即有g（x）g（0）=0，即f（x）0，f（x）在（0，）递增，即有f（x）f（0）=0，故正确；令x=，则sinx+tanx=sin+tan=，x=，由，故错误；令x=，则sinxtanx=，2x2=，故错误故选a点评：此题考查了三角不等式的恒成立问题，主要考查三角函数的图象和性质，运用导数判断单调性，进而得到大小和特殊值法判断，是解题的关键二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13如图，设抛物线y=x2+1的顶点为a，与x轴正半轴的交点为b，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为m，随机往m内投一点，则点p落在aob内的概率是考点：几何概型；二次函数的性质 专题：概率与统计分析：首先分别求出区域m和aob的面积，利用几何概型公式解答解答：解：由已知区域m的面积为=，aob的面积为=，由几何概型可得点p落在aob内的概率是；故答案为：点评：本题考查了定积分以及几何概型公式的运用；关键是分别求出两个区域的面积，利用定积分解答14若（13x）2015=a0+a1x+a2x2+a2015x2015，则+的值为1考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：分别在已知的二项式中取x=0和，得到a0=1，则答案可求解答：由（13x）2015=a0+a1x+a2x2+a2015x2015，取x=0，得a0=1，再取x=，得，故答案为：1点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是在已知的二项式中对x值的选取，是基础题15设点p在曲线y=x2+1（x0）上，点q在曲线y=（x1）上，则|pq|的最小值为考点：两点间距离公式的应用；二次函数的性质 专题：计算题；函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：曲线y=的图象在第一象限，要使曲线y=x2+1上的点与曲线y=上的点取得最小值，点p应在曲线y=x2+1的第一象限内的图象上，分析可知y=x2+1（x0）与y=互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，所以，求出y=上点q到直线y=x的最小值，乘以2即可得到|pq|的最小值解答：解：由y=x2+1，得：x2=y1，x=所以，y=x2+1（x0）与y=互为反函数它们的图象关于y=x对称p在曲线y=x2+1上，点q在曲线y=上，设p（x，1+x2），q（x，）要使|pq|的距离最小，则p应在y=x2+1（x0）上，又p，q的距离为p或q中一个点到y=x的最短距离的两倍以q点为例，q点到直线y=x的最短距离d=所以当=，即x=时，d取得最小值，则|pq|的最小值等于2=故答案为：点评：本题考查了反函数，考查了互为反函数图象之间的关系，考查了数学转化思想，解答此题的关键是把求两曲线上点的最小距离问题，转化为求一支曲线上的动点到定直线的最小距离问题，此题是中档题16已知双曲线c：=1（a0，b0）左右顶点为a1，a2，左右焦点为f1，f2，p为双曲线c上异于顶点的一动点，直线pa1斜率为k1，直线pa2斜率为k2，且k1k2=1，又pf1f2内切圆与x轴切于点（1，0），则双曲线方程为x2y2=1考点：双曲线的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设点p是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，|pf1|pf2|=2a，设三角形pf1f2的内切圆心在横轴上的投影为a（x，0），b、c分别为内切圆与pf1、pf2的切点由同一点向圆引得两条切线相等知|pf1|pf2|=（pb+bf1）（pc+cf2），由此得到pf1f2的内切圆的圆心横坐标即为a=1，再由直线的斜率公式和点p满足双曲线方程，化简整理，即可得到b=1，进而得到双曲线方程解答：解：设点p是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，|pf1|pf2|=2a，若设三角形pf1f2的内切圆心在横轴上的投影为a（x，0），该点也是内切圆与横轴的切点设b、c分别为内切圆与pf1、pf2的切点考虑到同一点向圆引的两条切线相等：则有：pf1pf2=（pb+bf1）（pc+cf2）=bf1cf2=af1f2a=（c+x）（cx）=2x=2a，即x=a所以内切圆的圆心横坐标为a由题意可得a=1，顶点a1（1，0），a2（1，0），设p（m，n），则m2=1，即n2=b2（m21），k1k2=1，可得=1，即有=b2=1，即有双曲线的方程为x2y2=1故答案为：x2y2=1点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及直线的斜率公式的运用，切线的性质，考查运算能力，属于中档题三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知两个数列an，bn，其中an是等比数列，且a2=，a5=，bn=（1an）（）求bn的通项公式；（）设bn的前n项和为sn，求证：sn+考点：数列的求和；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（）利用a3=可得公比q，进而可得an的表达式，计算可得结论；（）通过计算可得sn=+，对n分奇、偶数讨论即可解答：（）解：a3=，q=，an=a2qn2=，bn=；（）证明：sn=b1+b2+bn=+，当n为奇数时，sn=+（1+）+；当n为偶数时，sn=+（1）+=+；综上：sn+点评：本题考查等比数列的性质，通项公式及求和公式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题18某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：甲厂：分组在acd中，m为ac中点，dmac，ad=cdadc=120，在等腰直角pab中，pa=ab=4，pb=，mnpd又mn平面pdc，pd平面pdc，mn平面pdc（）bad=bac+cad=90，abad，分别以ab，ad，ap为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，b（4，0，0），c，p（0，0，4）由（）可知，为平面pac的法向量，设平面pbc的一个法向量为，则，即，令z=3，得x=3，则平面pbc的一个法向量为，设二面角apcb的大小为，则所以二面角apcb余弦值为点评：熟练掌握正三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、平行线分线段成比例在三角形中的逆定理应用、通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的平面角是解题的关键20如图，已知椭圆c中心在原点，焦点在x轴上，f1，f2分别为左右焦点，椭圆的短轴长为2，过f2的直线与椭圆c交于a，b两点，三角形f1bf2面积的最大值为（a1）（）求椭圆c的方程（用a表示）；（）求三角形f1ab面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）确定c=，即可求椭圆c的方程（用a表示）；（）设直线方程，代入椭圆方程，求出三角形f1ab面积，分类讨论，即可求出最大值解答：解：（）由题意，椭圆的上顶点为（0，1），下顶点为（0，1），当b与上（或下）顶点重合时，三角形f1bf2面积最大s=，c=，椭圆c的方程为；（）三角形f1ab面积s=cabsin（为f2b与x轴正向所成的角）设f2（c，0），a（x1，y1），b（x2，y2），ab：y=k（xc），代入椭圆方程可得（1+a2k2）x22a2k2cx+a2k2c2a2=0，x1+x2=，x1x2=ab=|x1x2|=，s=cabsin=，a时，s=a；1a时，s=点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查求最值，属于中档题21已知函数f（x）=exax2+（ae+1）x1，（e=2.71828是自然对数的底数，a为常数）（） 当a=0时，求f（x）的单调区间；（）若函数g（x）=f（x）xf（x）在区间；（）假设函数f（x）在区间（0，1）上有零点；即存在x（0，1），使得exax2+（ae+1）x1=0；即，记；若h（x）1，即：；由于x（0，1），有x2x0；即证exx2+（2e）x10在x（0，1）恒成立；令h（x）=exx2+（2e）x1，x（0，1）；h（x）=ex2x+2e，h=ex2；当x（0，ln2），h（x）0，当x（ln2，1），h（x）0；当x（0，ln2），h（x）单调递减，x（ln2，1），h（x）单调递增；而h（0）=10+2e0，h（1）=e2+2e=0，h（ln2）=eln22ln2+2e=4e2ln20；故在（0，ln2）上存在唯一的实数x0使得h（x0）=0；所以，在（0，x0）上h（x）单调递增，在（x0，1）上h（x）单调递减；而h（0）=0，h（1）=0；故h（x）0在（0，1）成立；即成立；若h（x）e2；，即；由于x（0，1），有x2x0；即证ex+（e2）x2x10在x（0，1）恒成立；令h（x）=ex（e2）x2x1，h（x）=ex2（e2）x1，h（x）=ex2（e2）；当x（0，ln2（e2），h（x）0，h（x）单调递减；当x（ln2（e2），1），h（x）0，h（x）单调递增；而h（0）=0，h（1）=3e0；在（ln2（e2），1）上存在唯一的实数x0使得h（x0）=0；所以，在（0，x0）上h（x）单调递减，在（x0，1）上h（x）单调递增；又h（0）=0，h（1）=0；故h（x）0在（0，1）成立，即成立由可得，a（e2，1）时，h（x）存在零点点评：考查根据函数导数符号求函数单调区间的方法，函数导数符号和函数单调性的关系，函数单调性定义的运用，会正确求导，会求二阶导数并能运用二阶导数，函数零点的概念，以及掌握本题在证明函数存在零点时用到的方法请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修4-1：几何证明选讲22如图，o内切于abc的边于d，e，f，ab=ac，连接ad交o于点h，直线hf交bc的延长线于点g（1）求证：圆心o在直线ad上（2）求证：点c是线段gd的中点考点：圆的切线的性质定理的证明 专题：证明题分析：（1）根据题意，易得cd=bd，又由abc是等腰三角形，即ad是cab的角分线，即可证明；（2）连接df，由（i）知，dh是o的直径，结合圆切线的性质，易得cg=cf=cd，即可证明解答：证明：（1）ab=ac，af=aecd=be又cf=cd，bd=becf=bd又abc是等腰三角形，ad是cab的角分线圆心o在直线ad上（ii）连接df，由（i）知，dh是o的直径，hfd=90，fdh+fhd=90又g+fhd=90fdh=go与ac相切于点fafh=gfc=fdhgfc=gcg=cf=cd点c是线段gd的中点点评：本题利用了切线的性质，四边形的内角和为3