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文档简介
最高考系列 高考总复习2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算考情分析考点新知 了解向量的实际背景;理解平面向量的基本概念和几何表示;理解向量相等的含义. 掌握向量加、减法和数乘运算,理解其几何意义;理解向量共线定理. 了解向量的线性运算性质及其几何意义掌握向量加、减法、数乘的运算,以及两个向量共线的充要条件.1. (必修4p63练习第1题改编)如图在平行四边形abcd中,e为dc边的中点,且a,b,则_答案:ba解析:ababa.2. (必修4p65例4改编)在abc中,c,b.若点d满足2,则_(用b、c表示)答案:bc解析:因为2,所以2(),即32c2b,故bc.3. (必修4p63练习第6题改编)设四边形abcd中,有且|,则这个四边形是_答案:等腰梯形解析:,且|, abcd为梯形又|, 四边形abcd的形状为等腰梯形4. (必修4p66练习第2题改编)设a、b是两个不共线向量,2apb,ab,a2b.若a、b、d三点共线,则实数p_答案:1解析: 2ab,又a、b、d三点共线, 存在实数,使.即 p1.1. 向量的有关概念(1) 向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模),记作|.(2) 零向量:长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的(3) 单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量(4) 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量又称为共线向量,任一组平行向量都可以移到同一直线上规定:0与任一向量平行(5) 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(6) 相反向量:与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量规定零向量的相反向量仍是零向量2. 向量加法与减法运算(1) 向量的加法 定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法 法则:三角形法则;平行四边形法则 运算律:abba;(ab)ca(bc)(2) 向量的减法 定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法 法则:三角形法则3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数与向量a的积是一个向量,记作a,它的长度与方向规定如下: |a|a|; 当0时,a与a的方向相同;当0时,a与a的方向相反;当0时,a0.(2) 运算律:设、r,则: (a)()a; ()aaa; (ab)ab4. 向量共线定理向量b与a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数,使得ba备课札记题型1平面向量的基本概念例1给出下列六个命题: 两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; 若|a|b|,则ab; 若,则a、b、c、d四点构成平行四边形; 在abcd中,一定有; 若mn,np,则mp; 若ab,bc,则ac.其中错误的命题有_(填序号)答案:解析:两向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两相等向量,不一定有相同的起点和终点,故不正确;|a|b|,由于a与b方向不确定,所以a、b不一定相等,故不正确;,可能有a、b、c、d在一条直线上的情况,所以不正确;零向量与任一向量平行,故ab,bc时,若b0,则a与c不一定平行,故不正确设a0为单位向量,若a为平面内的某个向量,则a|a|a0;若a与a0平行,则a|a|a0;若a与a0平行且|a|1,则aa0.上述命题中,假命题个数是_答案:3解析:向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0模相同,但方向不一定相同,故是假命题;若a与a0平行,则a与a0方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a|a|a0,故、也是假命题,填3.题型2向量的线性表示例2平行四边形oadb的对角线交点为c,a,b,用a、b表示、.解:ab,ab,ab.ab,ab.ab.在abc中,e、f分别为ac、ab的中点,be与cf相交于g点,设a,b,试用a,b表示.解:()()(1)(1)ab.又m()(1m)a(1m)b, 解得m, ab.题型3共线向量例3设两个非零向量a与b不共线(1) 若ab,2a8b,3(ab)求证:a、b、d三点共线;(2) 试确定实数k,使kab和akb共线(1) 证明: ab,2a8b,3(ab), 2a8b3(ab)5(ab)5. ,共线又它们有公共点b, a、b、d三点共线(2) 解: kab与akb共线, 存在实数,使kab(akb),即(k)a(k1)b.又a、b是两不共线的非零向量, kk10. k210. k1.已知a、b是不共线的向量,ab,ab(、r),当a、b、c三点共线时、满足的条件为_答案:1解析:由ab,ab(、r)及a、b、c三点共线得t,所以abt(ab)tatb,即可得所以1.题型4向量共线的应用例4如图所示,设o是abc内部一点,且2,则aob与aoc的面积之比为_答案:解析:如图所示,设m是ac的中点,则2.又2, ,即o是bm的中点, saobsaomsaoc,即.如图,abc中,在ac上取一点n,使anac;在ab上取一点m,使得amab;在bn的延长线上取点p,使得npbn;在cm的延长线上取点q,使得时,试确定的值解:()(),又,即,.1. 如图,在四边形abcd中,ac和bd相交于点o,设a,b,若2,则_(用向量a和b表示)答案:ab解析:因为ab,又2,所以ab.2. (2013四川)如图,在平行四边形abcd中,对角线ac与bd交于点o,则_答案:2解析:2,则2.3. (2013江苏)设d、e分别是abc的边ab、bc上的点,adab,bedc,若12(1、2为实数),则12_答案:解析:()12,故1,2,则12.4. 已知点p在abc所在的平面内,若2343,则pab与pbc的面积的比值为_答案:解析:由2343,得2433, 243,即45. ,.1. 在平行四边形abcd中,对角线ac与bd交于点o,则_答案:2 解析:因为四边形abcd为平行四边形,对角线ac与bd交于点o,所以,又o为ac的中点,所以2,所以2,因为,所以2. 2. 已知平面内o,a,b,c四点,其中a,b,c三点共线,且xy,则xy_答案:1解析: a,b,c三点共线, ,即, (1),即x1,y, xy1.3. 设d,e分别是abc的边ab,bc上的点,adab,bebc,若12(1,2为实数),则12_答案: 解析:易知de(),所以12.4. 已知点g是abo的重心,m是ab边的中点(1) 求;(2) 若pq过abo的重心g,且a,b,ma,nb,求证:3.(1) 解:因为2,又2,所以0.(2) 证明:因为(ab),且g是abo的重心,所以(ab)由p、g、q三点共线,得,所以有且只有一个实数,使.又(ab)maab,nb(ab)ab,所以ab.又a、b不共线,所以消去,整理得3mnmn,故3.1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题,其关键在于透彻理解平面向量的概念,还应注意零向量的特殊性,以及两个向量相等必须满足:模相等;方向相同2. 在进行向量线性运算时要尽可能转
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