甘肃省张掖市高三数学下学期二诊考试试题 理（含解析）.doc

2017年甘肃省张掖市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1设集合a=xz|x22x30，b=0，1，则ab=（）a3，2，1b1，2，3c1，0，1，2，3d0，12已知（3+i）z=2i（i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3执行如图的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）asbscsds4已知等比数列an，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）a2b42c82d1625一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）abcd6已知函数f（x）（xr）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f（x），则f（x）+的解集为（）ax|1x1bx|1cx|x1或x1dx|x17已知函数f（x）=asin（x+）（a0，0，0）的部分图象如图所示，且f（）=1，（0，），则cos（2）=（）abcd8已知向量，满足，|+|=t|，若+与的夹角为，则t的值为（）a1bc2d39如图所示，已知二面角l的平面角为，pa，pb，a、b为垂足，且pa=4，pb=5，设a、b到棱l的距离分别为x、y，当变化时，点（x，y）的轨迹是下列图形中的（）abcd10若变量x、y、z满足约束条件，且m（7，3），则z=仅在点a（1，）处取得最大值的概率为（）abcd11已知点a（2，3）在抛物线c：y2=2px的准线上，过点a的直线与c在第一象限相切于点b，记c的焦点为f，则直线bf的斜率为（）abcd12已知定义在r上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2x）=0，（2）f（x2）=f（x），（3）在1，1上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象区间3，3上的交点个数为（）a5b6c7d8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13等比数列an的公比q0已知a2=1，an+2+an+1=6an，则an的前4项和s4= 14设a0，b1，若a+b=2，则的最小值为 15若随机变量服从正态分布n（，2），p（+）=0.6826，p（2+2）=0.9544，设n（1，2），且p（3）=0.1587，则= 16已知数列an的首项a1=m，其前n项和为sn，且满足sn+sn+1=3n2+2n，若对nn+，anan+1恒成立，则m的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域abcde，其中三角形区域abe为主题游乐区，四边形区域为bcde为休闲游乐区，ab、bc，cd，de，ea，be为游乐园的主要道路（不考虑宽度）bcd=cde=120，bae=60，de=3bc=3cd=3km（i）求道路be的长度；（）求道路ab，ae长度之和的最大值18一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球，分别标有不同的数字2，3，4，x，现从袋中随机摸出2个球，并计算摸出的这2个球上的数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验记a事件为“数字之和为7”试验数据如下表：摸球总次数1020306090120180240330450“和为7”出现的频数19142426375882109150“和为7”出现的频率0.100.450.470.400.290.310.320.340.330.33（参考数据：0.33）（）如果试验继续下去，根据上表数据，出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附近试估计“出现数字之和为7”的概率，并求x的值；（）在（）的条件下，设定一种游戏规则：每次摸2球，若数字和为7，则可获得奖金7元，否则需交5元某人摸球3次，设其获利金额为随机变量元，求的数学期望和方差19如图，在四棱锥pabcd中，abc=acd=90，bac=cad=60，pa平面abcd，pa=2，ab=1（1）设点e为pd的中点，求证：ce平面pab；（2）线段pd上是否存在一点n，使得直线cn与平面pac所成的角的正弦值为？若存在，试确定点n的位置，若不存在，请说明理由20如图，设椭圆+=1（ab0）的左右焦点分别为f1，f2，点d在椭圆上，df1f1f2， =2，df1f2的面积为（）求该椭圆的标准方程；（）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由21若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）kx+b和g（x）kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”已知h（x）=x2，（x）=2elnx（e为自然对数的底数）（1）求f（x）=h（x）（x）的极值；（2）函数h（x）和（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由选考部分请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xoy中，已知圆c：（为参数），点p在直线l：x+y4=0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（ i）求圆c和直线l的极坐标方程；（ ii）射线op交圆c于r，点q在射线op上，且满足|op|2=|or|oq|，求q点轨迹的极坐标方程选修4-5不等式选讲23若函数f（x）=|x1|+|2xa|（a0）的最小值为2（1）求实数a的值；（2）若u，v，wr+，且u+v+w=a，证明：u2+v2+w22a2017年甘肃省张掖市民乐一中高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1设集合a=xz|x22x30，b=0，1，则ab=（）a3，2，1b1，2，3c1，0，1，2，3d0，1【考点】1h：交、并、补集的混合运算【分析】列举出全集a，即可确定出b的补集【解答】解：合a=xz|x22x30=1，0，1，2，3，b=0，1，ua=1，2，3故选b2已知（3+i）z=2i（i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】a4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】首先表示出复数z，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成复数的标准形式，写出点的坐标，根据点的坐标的符号，看出点所在的象限【解答】解：z=，对应的点的坐标是（）对应的点在第三象限，故选c3执行如图的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）asbscsds【考点】ef：程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当k=9，s=1时，不满足输出条件，故s值应满足条件，执行循环体后：s=，k=8；当k=8，s=时，不满足输出条件，故s值应满足条件，执行循环体后：s=，k=7；当k=7，s=时，不满足输出条件，故s值应满足条件，执行循环体后：s=，k=6；当k=6，s=1时，满足输出条件，故s值应不满足条件，故判断框内可填入的条件是s，故选：b4已知等比数列an，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）a2b42c82d162【考点】67：定积分【分析】先根据定积分的几何意义求出a6+a8=4，再根据等比数列的性质即可求出【解答】解：表示以原点为圆心以4为半径的圆的面积的四分之一，故a6+a8=4，a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82=a62+2a8a6+a82=（a6+a8）2=162故选：d5一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）abcd【考点】l!：由三视图求面积、体积【分析】由已知中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心o在高线pd上，且是等边三角形pac的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案【解答】解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面pac垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图则这个几何体的外接球的球心o在高线pd上，且是等边三角形pac的中心，这个几何体的外接球的半径r=pd=则这个几何体的外接球的表面积为s=4r2=4（）2=故选：a6已知函数f（x）（xr）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f（x），则f（x）+的解集为（）ax|1x1bx|1cx|x1或x1dx|x1【考点】6b：利用导数研究函数的单调性【分析】根据条件，构造函数g（x）=f（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论【解答】解：设g（x）=f（x），则函数的g（x）的导数g（x）=f（x），f（x）的导函数f（x），g（x）=f（x）0，则函数g（x）单调递减，f（1）=1，g（1）=f（1）=11=0，则不等式f（x）+，等价为g（x）0，即g（x）g（1），则x1，即f（x）+的解集x|x1，故选：d7已知函数f（x）=asin（x+）（a0，0，0）的部分图象如图所示，且f（）=1，（0，），则cos（2）=（）abcd【考点】h2：正弦函数的图象【分析】由图象可得a值和周期，由周期公式可得，代入点（，3）可得值，可得解析式，再由f（）=1和同角三角函数基本关系可得【解答】解：由图象可得a=3， =4（），解得=2，故f（x）=3sin（2x+），代入点（，3）可得3sin（+）=3，故sin（+）=1， +=2k，=2k，kz结合0可得当k=1时，=，故f（x）=3sin（2x+），f（）=3sin（2+）=1，sin（2+）=，（0，），2+（，），cos（2）=，故选：c8已知向量，满足，|+|=t|，若+与的夹角为，则t的值为（）a1bc2d3【考点】9r：平面向量数量积的运算【分析】由题意可得，利用两个向量的夹角公式求得|，再利用勾股定理求得t的值【解答】解：，|+|=t|，则cos=，化简可得22=（2+t2）， |，再由，t0，解得t=2故选：c9如图所示，已知二面角l的平面角为，pa，pb，a、b为垂足，且pa=4，pb=5，设a、b到棱l的距离分别为x、y，当变化时，点（x，y）的轨迹是下列图形中的（）abcd【考点】mj：与二面角有关的立体几何综合题【分析】在平面内过a作aml，垂足为m，连结bm，分别在rtpam和rtpbm中使用勾股定理计算pm即可得出轨迹方程【解答】解：在平面内过a作aml，垂足为m，连结bm，pa，am，paam，pm=，同理pm=，16+x2=25+y2，即x2y2=9，又x0，y0，（x，y）的轨迹是双曲线在第一象限内的部分故选：d10若变量x、y、z满足约束条件，且m（7，3），则z=仅在点a（1，）处取得最大值的概率为（）abcd【考点】7c：简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，再由z=的几何意义，即可行域内动点与定点（m，0）连线的斜率求得m的范围，由几何概型概率计算公式得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=的几何意义为可行域内动点与定点（m，0）连线的斜率，z=仅在点a（1，）处取得最大值，由图可知2m1又m（7，3），z=仅在点a（1，）处取得最大值的概率为p=故选：c11已知点a（2，3）在抛物线c：y2=2px的准线上，过点a的直线与c在第一象限相切于点b，记c的焦点为f，则直线bf的斜率为（）abcd【考点】kg：直线与圆锥曲线的关系【分析】由题意先求出准线方程x=2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线ab的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出bf的斜率【解答】解：点a（2，3）在抛物线c：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=2，p0， =2即p=4，抛物线c：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点b（m，n），则n=2，又导数y=2，则在切点处的斜率为，即m=2m，解得=2（舍去），切点b（8，8），又f（2，0），直线bf的斜率为，故选d12已知定义在r上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2x）=0，（2）f（x2）=f（x），（3）在1，1上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象区间3，3上的交点个数为（）a5b6c7d8【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于点m（1，0）对称，又关于直线x=1对称；再结合g（x）的解析式画出这2个函数区间3，3上的图象，数形结合可得它们的图象区间3，3上的交点个数【解答】解：由f（x）+f（2x）=0，可得函数f（x）的图象关于点m（1，0）对称由f（x2）=f（x），可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称又f（x）在1，1上表达式为f（x）=，可得函数f（x）在3，3上的图象以及函数g（x）=在3，3上的图象，数形结合可得函数f（x）的图象与函数g（x）的图象区间3，3上的交点个数为6，故选：b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13等比数列an的公比q0已知a2=1，an+2+an+1=6an，则an的前4项和s4=【考点】89：等比数列的前n项和【分析】先根据：an是等比数列把an+2+an+1=6an整成理q2+q6=0求得q，进而根据a2求得a1，最后跟等比数列前n项的和求得s4【解答】解：an是等比数列，an+2+an+1=6an可化为a1qn+1+a1qn=6a1qn1，q2+q6=0q0，q=2a2=a1q=1，a1=s4=故答案为14设a0，b1，若a+b=2，则的最小值为4+2【考点】7f：基本不等式【分析】=（）（a+b1）=3+1=4+【解答】解： =（）（a+b1）=3+1=4+当时，取等号故答案为：4+215若随机变量服从正态分布n（，2），p（+）=0.6826，p（2+2）=0.9544，设n（1，2），且p（3）=0.1587，则=2【考点】cp：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据正态分布的概率公式可知p（+）=（10.6826）=0.1587，故而1+=3【解答】解：p（+）=0.6826，p（+）=（10.6826）=0.1587，n（1，2），p（1+）=0.1587，1+=3，即=2故答案为：216已知数列an的首项a1=m，其前n项和为sn，且满足sn+sn+1=3n2+2n，若对nn+，anan+1恒成立，则m的取值范围是（2，）【考点】8e：数列的求和【分析】sn+sn+1=3n2+2n，n=1时，2a1+a2=5，解得a2n2时，利用递推关系可得：an+1+an=6n1，于是an+1an1=6，因此数列an的奇数项与偶数项分别成等差数列，对n分类讨论即可得出【解答】解：sn+sn+1=3n2+2n，n=1时，2a1+a2=5，解得a2=52mn2时，sn1+sn=3（n1）2+2（n1），an+1+an=6n1，an+an1=6n7，an+1an1=6，数列an的奇数项与偶数项分别成等差数列，a2k=52m+6（k1）=6k12m，a2k1=m+6（k1）=6k+m6对nn*，anan+1恒成立，n=2k1时，6k+m66k12m，解得mn=2k时，6k12m6（k+1）+m6，解得：m2综上可得m的取值范围是：2m故答案为：（2，）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域abcde，其中三角形区域abe为主题游乐区，四边形区域为bcde为休闲游乐区，ab、bc，cd，de，ea，be为游乐园的主要道路（不考虑宽度）bcd=cde=120，bae=60，de=3bc=3cd=3km（i）求道路be的长度；（）求道路ab，ae长度之和的最大值【考点】hr：余弦定理；hp：正弦定理【分析】（i）连接bd，由余弦定理可得bd，由已知可求cdb=cbd=30，cde=120，可得bde=90，利用勾股定理即可得解be的值（）设abe=，由正弦定理，可得ab=4sin，ae=4sin，利用三角函数恒等变换的应用化简可得ab+ae=4sin（+30），结合范围30+30150，利用正弦函数的性质可求ab+ae的最大值，从而得解【解答】（本题满分为13分）解：（i）如图，连接bd，在bcd中，由余弦定理可得：bd2=bd2+cd22bccdcosbcd=1+1211（）=3，bd=，bc=cd，cdb=cbd=30，又cde=120，bde=90，在rtbde中，be=25分（）设abe=，bae=60，aeb=120，在abe中，由正弦定理，可得：，=4，ab=4sin，ae=4sin，ab+ae=4sin+4sin=4（）+4sin=2cos+6sin=4sin（+30），0120，30+30150，当+30=90，即=60时，ab+ae取得最大值4km，即道路ab，ae长度之和的最大值为4km13分18一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球，分别标有不同的数字2，3，4，x，现从袋中随机摸出2个球，并计算摸出的这2个球上的数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验记a事件为“数字之和为7”试验数据如下表：摸球总次数1020306090120180240330450“和为7”出现的频数19142426375882109150“和为7”出现的频率0.100.450.470.400.290.310.320.340.330.33（参考数据：0.33）（）如果试验继续下去，根据上表数据，出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附近试估计“出现数字之和为7”的概率，并求x的值；（）在（）的条件下，设定一种游戏规则：每次摸2球，若数字和为7，则可获得奖金7元，否则需交5元某人摸球3次，设其获利金额为随机变量元，求的数学期望和方差【考点】ch：离散型随机变量的期望与方差；cg：离散型随机变量及其分布列【分析】（）由数据表，利用频率估计概率，列方程求出x的值；（）根据题意，（3，），计算e、d，和e、d的值【解答】解：（）由数据表可知，当试验次数增加时，频率稳定在0.33附近，所以可以估计“出现数字之和为7”的概率为； p（a）=，a事件包含两种结果，则有3+4=2+x=7，解得x=5； （）设表示3次摸球中a事件发生的次数，则（3，），e=3=1，d=3=； 则=75（3）=1215，e=e（1215）=12e15=1215=3，d=d（1215）=144d=144=96； （注：（2）问也可以利用分布列去计算数学期望和方差）19如图，在四棱锥pabcd中，abc=acd=90，bac=cad=60，pa平面abcd，pa=2，ab=1（1）设点e为pd的中点，求证：ce平面pab；（2）线段pd上是否存在一点n，使得直线cn与平面pac所成的角的正弦值为？若存在，试确定点n的位置，若不存在，请说明理由【考点】mi：直线与平面所成的角；ls：直线与平面平行的判定【分析】（1）取ad中点m，利用三角形的中位线证明em平面pab，利用同位角相等证明mcab，得到平面emc平面pab，证得ec平面pab；（2）建立坐标系，求出平面pac的法向量，利用直线cn与平面pac所成的角的正弦值为，可得结论【解答】（1）证明：取ad中点m，连em，cm，则empaem平面pab，pa平面pab，em平面pab在rtacd中，cad=60，ac=am=2，acm=60而bac=60，mcabmc平面pab，ab平面pab，mc平面pabemmc=m，平面emc平面pabec平面emc，ec平面pab（2）解：过a作afad，交bc于f，建立如图所示的坐标系，则a（0，0，0），b（，0），c（，1，0），d（0，4，0），p（0，0，2），设平面pac的法向量为=（x，y，z），则，取=（，3，0），设=（01），则=（0，4，2），=（1，22），|cos，|=，n为pd的中点，使得直线cn与平面pac所成的角的正弦值为20如图，设椭圆+=1（ab0）的左右焦点分别为f1，f2，点d在椭圆上，df1f1f2， =2，df1f2的面积为（）求该椭圆的标准方程；（）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由【考点】kh：直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）设f1（c，0），f2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|df1|=，|df2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（）设圆心在y轴上的圆c与椭圆+y2=1相交，p1（x1，y1），p2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=x1，y1=y2，|p1p2|=2|x1|，由f1p1f2p2，得x1=或x1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程【解答】解：（）设f1（c，0），f2（c，0），其中c2=a2b2，由=2，得|df1|=c，从而=|df1|f1f2|=c2=，故c=1从而|df1|=，由df1f1f2，得=+=，因此|df2|=，所以2a=|df1|+|df2|=2，故a=，b2=a2c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（）设圆心在y轴上的圆c与椭圆+y2=1相交，p1（x1，y1），p2（x2，y2）是两个交点，y10，y20，f1p1，f2p2是圆c的切线，且f1p1f2p2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=x1，y1=y2，|p1p2|=2|x1|，由（）知f1（1，0），f2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（x11，y1），再由f1p1f2p2，得+=0，由椭圆方程得1=，即3+4x1=0，解得x1=或x1=0当x1=0时，p1，p2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=时，过p1，p2，分别与f1p1，f2p2垂直的直线的交点即为圆心c，设c（0，y0）由f1p1，f2p2是圆c的切线，知cp1f1p1，得=1，而|y1|=|x1+1|=，故y0=，故圆c的半径|cp1|=综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=21若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）kx+b和g（x）kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”已知h（x）=x2，（x）=2elnx（e为自然对数的底数）（1）求f（x）=h（x）（x）的极值；（2）函数h（x）和（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由【考点】6e：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）由已知中函数f（x）和（x）的解析式，求出函数f（x）的解析式，根据求导公式，求出函数的导数，根据导数判断函数的单调性并求极值（2）由（1）可知，函数f（x）和（x）的图象在（，e）处相交，即f（x）和（x）若存在隔离直线，那么该直线必过这个公共点，设隔离直线的斜率为k则隔离直线方程为ye=k（x），即y=kxk+e，根据隔离直线的定义，构造方程，可求出k值，进而得到隔离直线方程【解答】解：（1）f（x）=f（x）（x）=x22elnx（x0），f（x）=2x=令f（x）=0，得x=，当0x时，f（x）0，x时，f（x）0故当x=时，f（x）取到最小值，最小值是0（2）由（1）可知，函数f（x）和（x）的图象在（，e）处相交，因此存在f（x）和（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k则隔离直