（临门一脚 山东专用）高考数学 热点专题复习热点九 概率与统计 文 (2).doc

热点九 概率与统计【考点精要】考点一. 概率的有关概念及等可能事件的概率。如：从1，2，3，4，5中随机选取一个数a，从1，2，3中随机选取一个数b,则ba的概率是 。考点二. 几何概型问题。主要考查几何概型的长度。如：在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( a ).a. b. c. d. 考点三. 用样本的平均数、方差或标准差来估计总体的平均数、方差或标准差。如：样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若样本的平均值为1，则样本方差为 。考点四. 分层抽样、随机抽样、系统抽样等，掌握各种抽样的特征与方法。如：一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）a. 12,24,15,9 b. 9,12,12,7 c. 8,15,12,5 d. 8,16,10,6考点五. 中位数、茎叶图的相关知识及频率分布直方图。在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量.频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率。如：将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 。巧点妙拨1. 计算几何概型时应把实际问题转化为事件对应的区域的几何度量(长度、面积、体积、角度等)，并能正确计算，若直接计算较困难时，可从对立区域入手考虑，然后应用对立事件的概率公式). 来解决问题. 2. 解决概率问题时，要反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意，正确判断各个事件之间的关系，并分析应用所学概率模型的公式进行解答. 3. 运用相关系数刻画两个相关变量的强弱，用相关指数来刻画回归的效果及比较两个模型的拟合效果，相关指数越大。模型的拟合效果越好. 【典题对应】例1. (2014山东文8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kpa）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )a. 6 b. 8 c. 12 d. 18命题意图：本题主要考查频率分布直方图。解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4200.4=50 500.36=1818-6=12答案：c名师坐堂：在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示。各小长方形的面积和等于1。读图时看好长方形的高与组距的数值。例2. (2014山东文16) 海关对同时从a，b，c三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区abc数量50150100（）求这6件样品中来自a，b，c各地区商品的数量；（ii）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.命题意图：本题考查随机事件的概率。解析：（i）因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：。所以，三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.（ii）设件来自a,b,c三个地区的样品分别为：则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：,共15个。每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的。记事件d：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件d包含的基本事件有,共4个。 所以，即这2件商品来自相同地区的概率为.名师坐堂：能将随机事件的各种情况进行罗列，做到不重不漏，计算概率才能确保正确。例3. (2013山东文10)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为(). a. b. c. 36 d. 命题意图：本题考查平均数、茎叶图、方差的基本知识，属基础知识的常规应用。解析：模糊的数为x，则：90x879491909091917，所以7个数分别为90,90,91,91,94,94,87，方差为s2.答案：b名师坐堂：若取值的频率分别为，则其平均值为；若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为.例4. (2013山东文17)某小组共有a,b,c,d,e五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：abcde身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率. 命题意图：本题考查学生对基本事件的组成以及每一个事件的概率。解析：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6个. 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个. 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p.(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个. 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的事件有：(c，d)，(c，e)，(d，e)，共3个. 因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率为p.名师坐堂：对等可能事件学生应能够应用穷举法列出所有可能情况，并能够知道每一个事件发生的可能性的大小。在列举时切忌不能漏掉任何一种情况。例5.（2012山东4）在某次测量中得到的样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若样本数据恰好是样本数据都加2后所得数据，则，b两样本的下列数字特征对应相同的是( )a. 众数b. 平均数c. 中位数d. 标准差命题意图：本题是一道基础知识考查题，主要考查平均值及方差的公式。解析：设样本的数据为变量为，样本的数据为变量为，则满足，根据方差公式可得，所以方差相同，标准差也相同，选d. 名师坐堂：注意众数与中位数的区别，标准差与方差的区别，对于同样的两组数仅凭平均数有时难以考证其是否符合要求，采用方差后，方差越小说明样本数据的波动性越小。例6.（2012山东14）如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是20.5，26.5，样本数据的分组为，.已知样本中平均气温低于22.5的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5的城市个数为.命题意图：本题主要考查频率分布直方图、频率分布表的相关知识，考查学生实际问题的阅读处理能力。解析： 最左边两个矩形面积之和为0.101+0.1210.22，总城市数为110.2250，最右面矩形面积为0.1810.18，500.189. 名师坐堂：在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示。各小长方形的面积和等于1。读图时一定要看好长方形的高与组距的数值。例7.（2012山东18）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.()从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；()现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.命题意图：本题主要考查古典概型，考查学生对两个原理的理解与应用。解析：(i)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.(ii)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.名师坐堂：事件的互斥性、相互独立性是概率中两个重要的概念，是高考考查的重点，解题时首先要把一个大事件拆成若干个“小的互斥的独立事件的和”，再把每个“小的随机事件”分成若干个相互独立事件的乘积。分类时做到不重不漏，分步时过程完整。【命题趋向】1.三种抽样方法的区别应用，计算。特别是分层抽样是近几年的考查热点. 2.考查样本的频率分布(分布表、直方图、茎叶图)中的有关计算，样本特征数(众数、中位数、平均数、标准差)的计算. 主要以选择题、填空题为主. 3.考查以样本的分布估计总体的分布(以样本的频率估计总体的频率、以样本的特征数估计总体的特征数). 4.考查回归分析、独立性检验的基本思想和简单应用. 将注重基础性考察由于计算复杂，出现选择题和填空题的可能性较大. 5.统计与概率知识的综合应用，在解答题中与概率有关的问题结合进行考查. 考察解决实际问题的阅读处理能力. 【直击高考】1. 下图是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎 叶图，则得分的中位数与众数分别为( )a3与3 b23与3 c3与23 d23与232. 甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为( )a. b. c. d. 3. 为了庆祝十一国庆节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为( )a. b. c. d. 4. abcd为长方形，ab2，bc1，o为ab的中点，在长方形abcd内随机取一点，取到的点到o的距离大于1的概率为( )a. b. c. d. 5. 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成 三角形的概率是_。6. 点a为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点b，则劣弧ab的长度小于1的概率为 。7. 现有7名数理化成绩优秀者，其中数学成绩优秀，物理成绩优秀， 化学成绩优秀从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛（）求被选中的概率；（）求和不全被选中的概率8. 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率. 9. 为了了解2015年某校高三学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2，（4.2，4.5， ，（5.1，5.4.经过数据处理，得到如下频率分布表：分组频数频率（3.9，4.230.06（4.2，4.560.12（4.5，4.825x（4.8，5.1yz（5.1，5.420.04合计n1.00（i）求频率分布表中未知量n,x,y,z的值；（ii）从样本中视力在（3.9，4.2和（5.1，5.4的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率10. 由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持保留不支持20岁以下80045020020岁以上（含20岁）100150300（）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求的值；（）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率；（）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.热点九 概率与统计【直击高考】1.解析：答案d2.解析：所有可能的比赛分组情况共有种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选.3.解析：故选d.4.解析：长方形面积为2,以o为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到o的距离小于1的概率为2，取到的点到o的距离大于1的概率为 答案：d.5.解析：依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4. 5，故=0.75。6.解析：如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是。7. 解析：（）从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件， 由12个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用表示“恰被选中”这一事件，则， ，.事件由6个基本事件组成，因而 （）用表示“不全被选中”这一事件， 则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于，事件有2个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得 8.解析：（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件a，因为事件a等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件