（基础数学专业论文）kam定理及其应用.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 本文首先利用m o s e r 扭转定理证明了一类d u 最n g 方程i + 9 ( z ) = e ( t ) 的l a g r a n g e 稳定 性，其中e ( t ) 以1 为周期，g ：r _ r 具有下列性质：当。d o 时，9 ( z ) 是超线性的；当 zs d o 时，9 ( z ) 是次线性的，d o 是一正常数然后又利用k a m 迭代的方法证明了对大 多数的频率值线性系统j = ( a + e 0 ( t ) ) z 是可约化的，其中a 是一常值矩阵，其特征值不 必是简单的，q 是一有限次可微的拟周期函数矩阵 第一章，绪论 第二章，一类非对称d u m n g 方程的l a g r a n g e 稳定性 第三章，有限次可微拟周期系数的线性微分方程的约化问题 关键词：拟周期运动d u f l l n g 方程m o s e r 小扭转定理l a g r a n g e 稳定性 篡旦盔堂亟主堂焦堡塞 2 a b s t r a c t f i r s t l y ，w ep r o v et h el a g r a n g es t a b i l i t yo fs o l u t i o n sf o rac l a s so fd u f f i n ge q u a t i o n si + g ( 。) = e ( t ) ，w h e r ee ( ) i so fp e r i o dl ：a n dg ：r _ r p o s s e s s e st h ec h a r a c t e r s ：9 ( 。) i ss u p e r l i n e a rw h e n z d o ，d oi s ap o s i t i v ec o n s t a n ta n d9 ( x ) i ss u b l i n e a rw h e n 。一d o s e c o n d l y 、s h o w st h a t ，f o r m o s tv a l u e so ft h ef r e q u e n c i e s ，t h es y s t e mi = f a + e q ( t ) ) zi sr e d u c i b l e w h e r ea i sac o s t a n t m a t r i xw h o s ee i g e n v a l u e sa r en o tn e c e s s a r i l ys i m p l ea n dqi saq u a s i p e r i o d i c f i n i t e l yd i f f e r e n t i a b l e m a t r i x c h a p e t ri ，i n t r o d u c t i o n c h a p t e ri i 、o nl i t t l e w o o d sb o u n d e d n e s sp r o b l e mf o ra s y m m e t r i cd u f f i n ge q u a t i o n s c h a p t e ri i i ，o nt h er e d u c i b i l i t yo fl i n e a a d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 8w i t hq u a s i p e r i o d i c t o e m c i e n t sw h i c hi s f i n i t e l yd i f i e r e n t i a b l e k e y w o r d s ：q u a s i p e r i o d i cm o t i o n d u f l = i n ge q u a t i o n m o s e r 8s m a l lt w i s tt h e o r e m b o u n d e d n e s so fs o l u t i o n s l a g r a n g es t a b i l i t y 第一章绪论 作为2 0 世纪最重要的数学成就之一，k a m 理论对其他学科，如物理学、天文学和力学 的影响是深远的例如，运动稳定性一直是动力学的一个重要问题李雅普诺夫( l v 。p 。) 运动稳定性理论主要是针对耗散系统的由于哈密顿( h a m i l t o n ) 系统具有的特征值一正一 负或成对出现，故此系统具有运动稳定性的必要条件是所有的特征根为纯虚数这恰恰是 李雅普诺夫稳定性理论中难以处理的临界情形太阳系中特罗央( n o j a n ) 小行星群，希腊 ( g r e e k ) 小行星群位于与太阳、木星成等边三角形的顶点，它正好是太阳、木星、小行星限 制性三体问题运动方程的平衡解位置关于这种小行星群的运动稳定性，涉及到哈密顿系 统平衡解的稳定性问题由于李雅普诺夫运动稳定性理论不适用于这类问题，而关于哈密 顿系统的稳定性的结果甚少，致使这一问题长期不能得到解决，直到k a m 理论的建立 我们在第二章中就是用k a m 理论的有关方法研究d u f f i n g 方程的l a g t g e 稳定性问 题d u r i n g 方程是常微分方程的三个基本模型之一，是一个简单而又非平凡的哈密顿系 统，历来是许多学者关注的对象在6 0 年代早期，l i t t l e w o o d ，m o s e r 就提出d u m n g 方程 。+ g ( xj2 p ( t j ，f 10 1 1 其中p ( t + 1 ) = p ( ) ，的解是否有界的问题众所周知以下形式的方程 + ( t ，z ) = 0 ，门02 ) 的解在长时间内的行为是很复杂的，其中，是t 的周期函数例如，有的方程有无限多个 零解却也有无界解，有的方程零解个数可以随机描述但也有几乎无界的解，还有有的方程 具有周期解，详细情形可以参考vm ，a l e k s e e vf 1 j k s i t n i k o v 2 a n dj m 。 3 与这些无 界现象比较，我们可以对非线性项，( ，。) 除了施加以下条件外 ：，( t ，z ) _ + o 。当_ + o 。时， 再寻找其他条件使得方程的所有解都是有界的例如在 4 】中， g rm 0 r r i s 证明t ；f i l + z 3 = p ( t ) ，f l0 3 ) 在p ( t + 1 ) = p ( ) 的条件下所有解都是有界的接下来又有许多学者在对f ( t ，z ) 进行适当 的假设下得出了同样的结论，参考陬吼吼m 【1 0 ，i n 以及里面的参考文献综合起 一堡里盔堂堡主堂垡鲨塞 5 来，若令 n ：i i m 型、b ：l i m 型 z _ + o 。zz _ 一o o z + 则下列情形： ( i ) n = b = - - o c 3 ( i i ) a = b = 0 系统的解是有界的 以上情形要求系统有一定的对称性，即n = b ，所以很自然的一个问题 就是a 6 时系统的解是否有界 1 9 9 6 年，r o r t e g af 1 2 证明了方程 苗+ 口z + 如一= 1 + p i t ) ：n o4 1 的所有解都是有界的，其中z + = m a x z ，o ) ，。一= m “卜z ，o ，n 和6 是正常数( 。b ) 并且 p ( t ) 是一很小的以1 为周期的函数这个方程描述的是一个粒子在一非对称回力下的运动 接下来又有几个人研究了系统( 1 0 1 ) 在非对称条件下的性质，比如，在 1 3 中，xy u a n 已 经得到了系统1 1 01 ) 的l a g r a n g e 稳定性，当9 ( 。) 满足下列条件时： ( 1 ) 9 ( z ) 是超线性的， 当z d o 时，其中如是正常数；( 2 ) g ( z ) = 2 7 z ，当z 0 时，且常数1 0 在f 1 4 中， d q i a n 研究了以下形式的平面系统f e ) ： i = 一f ( t ，“) ，o = 9 ( t ，i t ) 其中只口：r r - r 是连续函数并且关于变量t 是2 周期的当我们取f ( t ，u ) ：9 ( ，u ) + 毋( t ，“) 时这一系统与系统( l o 2 ) 是等价的他证明了f 和9 在满足下列条件时存在以2 ” 为周期的解： o o 并且 。扑。旦i n r 掣。4 - s u 。掣 6 ，口一o 。 uu i 。 一 以上不等式对确定的常数p ，q ，s ，。t ，6 士，以及t o ，2 ” 一致成立下面我们将在第二章中证 明在对9 有下列假设条件下，系统1 1 0 1 ) 具有l a g r a n g e 稳定性：( 1 ) g ( 。) 是超线性的，当 z2 d o 时；( 2 ) g ( z ) 是次线性的，当z 一d o 时，其中d o 是一正常数，也就是。：+ o 。，b ：0 的情形 复旦大学硕士学位论文 6 方程( 1 01 ) 解的有界性的证明思路是：在( z ，) 平面上的一个大的圆盘_ d = ( z ，i ) r 2 ：z 2 + i 2sr 2 ) 外面，通过坐标变换的理论，将( 1 01 ) 化成一个可积哈密顿系统的扰动 变换所得系统的庞卡莱( p o i n c a r 自) 映射在r 2 口上接近于所谓的扭转映射，然后按照m o s e r 扭转定理1 5 ，得到在( z ，i ) 平面上存在围绕原点的，微分同胚于圆的任意大的不变曲线， 每一个这样的曲线就是推广的相平面上关于时间是周期的，关于流不变的圆柱体的底，从 不变曲线内部出发的解被限制在这个圆柱体内部，从而导致解的有界性 在第三章中我们考虑如下变系数方程 i = a ( t ) z ，。r ，。( 1o5 ) 其中a ( t ) 关于t 是连续可微的n n 函数矩阵若a ( t ) 关于b e e s 7t 是2 ”周期的，则由著 名的f l o q u e t 理论，此系统可约化为常系数的线性系统一个自然的问题是：若a ( t ) 关于 时间t 为拟周期的，系统是否可以约化此问题在数学天体力学，量子力学中都有重要意 义从l y a p u n o v 提出此问题开始，有许多知名学者，如b o g o l j u b o v ，m o s e r ，e l i a s s o n 等研究过 此问题一般来说此问题的答案是否定的，见e l i a s s o n 1 6 于是人们首先考虑局部约化问 题，即假设 a ( t ) = a + e q ( t ) ， 其中a 是一n 阶常值矩阵，e 是小参数 这类约化问题最初是由l y a p u n o v 2 5 】提出的在2 0 世纪6 0 年代，前苏联科学院院士 b o g o l j u b o v 等 1 7 深入细致的研究了这类约化问题，利用k a m 理论证明了就大多数矩阵a ， 系统是可约化的，接下来又有几位学者从不同的角度出发对此问题进行了研究，例如 1 8 ， 2 6 ， 2 r t 9 9 2 年，j o r b a 和s i m 6 1 1 8 】利用k a m 理论证明对于指定的a ，就大多数的小参数 e 系统是可约的后来e l i a s s o n 等人利用可约性理论研究了有拟周期系数的s c h r s d i n g e r 算 子具有纯点谱的条件，因此，e l i a s s o n 在9 8 年数学家大会上作4 5 分钟报告 为了把系统 i = ( a + e q ( t ) ) x( 1 0 6 ) 约化为常系数线性系统i = b y ，其中b 为常值矩阵，基本的思想方法就是通过k a m 迭代 把小扰动e q ( t ) 消去因为在k a m 迭代中的众所周知的频率漂移，所以在( 1 , 0 6 ) 中必须引 入某个参数在 1 7 中是把矩阵j 4 作为参数来研究的，与 1 7 不同，在【1 8 中是把e 作为 参数而不是以a 为参数，所以当假设a 的所有特征值都是简单的时可以证明( 1 06 ) 是可 复旦大学硕士学位论又 7 约化的，而当a 具有重特征根时【1 8 中的方法就失效了，受b o u r g a i n 【1 9 和y o u 【2 0 研究 法向频率具有重根的哈密顿系统的启发，y u & n 和n u n e s 2 1 把切向频率u 作为参数，而不 是矩阵a 或者s 作为参数，得到( 1 06 ) 是可约化的，这样就避免了对矩阵a 的特征值都是 简单的限制以上所有结果都需假设系统对所有的变量都是解析的由于研究局部可约性 的主要工具是k a m 理论，由a r n o l d 证明的k a m 定理是假定系统解析的，而m o s e r 所证 明的k a m 定理只要系统是有限次可微即可m o s e r 之所以能在有限次可微条件下证明他 的扭转定理，是因为他发明了现被称为的m o s e r 光滑化算子，以及m o s e r 迭代在此我们 仔细研究了m o s e r 扭转定理的证明，仿照其对光滑化算子的应用，采用解析逼近的方法证 明了有限次光滑系统的可约性 本文的证明思路就是首先引入一个解析逼近把系统( 1 0 6 ) 分为两部分：解析部分和有 限次可微部分；接下来仿照 1 8 运用k a m 迭代把扰动e q ( t ) 消去在迭代过程中，仅利用 解析部分建立一系列的坐标变换，所以定理中的坐标变换是解析的，尽管系统本身是有限 次可微的 第二章一类非对称d u f f i n g 方程的l a g r a n g e 稳定性 2 1主要结论 本文的安排如下：首先我们介绍主要结果，引入方程( 21 ，1 ) 的作用角变量；接下来在 3 , 4 节证明对我们主要结果的证明非常重要的技术性引理；最后在第5 节给出主要结果的证 明以及关于拟周期解的存在性的定理，a u b r y m a t h e r 集，u n l i n k e d 周期解 我们考虑d u f f i n g 方程 一d 2 x + g ( z ) ：e ( t ) ， ( 21 1)dt2 + g ( 。) 28 ( t ) ，( 2l 1 ) 其中e ( t ) 以l 为周期，s g n ( z ) - 9 ( z ) _ + o 。a s 。_ 土。 令 e ( x ) = 9 ( s ) d s ， 脚) = 鬻当z 。时 下面我们总是分别用0 c 1 表示两个不关心其大小的一般常数 对g ( x ) 的假设：设。- ，卢- ，。2 ，卢2 ，d o ，为正常数，我们有下列假设： ( a 1 )c z m l 一。( d k d z ) 9 ( 墨) 茎c x m l 一2 ，z d o ，m 1 1 ，0s 庇s6 ； ( a 2 )c zm 2 一。si ( d d z 2 ) 9 ( z ) e i z j m 2 一。，z d o ， n 1 2 l ，0 k 6 ： ( a 3 ) 0 o l s ( d d z ) 阢7 ( 卫) 卢l ，z 兰d o ； n 2 ( d d x ) w ( x ) 卢2 o 是 围绕原点( 0 ，0 ) 的一条简单闭曲线为了建立映射( z ，y ) 卜( 日，巩我们令h o ( ) 表示闭曲线 h ( 。，9 ) = k 。y 2 + g ( z ) 在( z ，) 平砸上所围面积为，时的值，即通过下式定义凰( n 舷炉删啦叫( z 2 3 ) 9 复旦大学硕士学位论文 现在我们定义生成函数s ( z ，) ， s ( z ，) = 、y d 。， ( 224 ) j l 其中r 表示闭曲线h ( x ，y ) = h o ( i ) 沿顺时针方向连接y 轴与点( 。，y ) 的部分通过下式 s 。( 。，) = y ，毋( 。，) = 口 定义映射o ：( 0 ，j ) 时( z ，9 ) 显然o 是一辛变换，因为 d xad y = d x a ( 瓯。d x - f 民z d i ) = & ；d xad i d oa d i = ( s s t d x + s r l d i ) a d i = s z ：d x ad i ( 2 25 ) 可以看出口是被定义成模l 的现在方程( 2 21 ) 在新的变量( 目，) 下仍然保持其哈密顿的 性质，新的哈密顿函数为 h ( o ，i ，t ) = h o ( ，) + h 1 ( 0 ，i ，t )( 2 2 6 ) 其中日1 ( 日，t ) = y ( e ，j ) e ( t ) ，y = y ( e ，i ) 是由( 2 2 5 ) 所定义的 生成函数更加明显的表达式为 s ( z ，i ) 以以可可可万蟛 j 一以以斫万j 丽d 。：oo ，+ 以撕顼万面d j 一以棚顼万j 丽 z 0 ，y 0 ， t 0 ，y 0 ， ( 22 7 ) o 0 y 0 、 z 0 ，y 0 ， 其中x = z ( 目，ny = u ( e ，j ) 是由( 225 ) 所定义从s ，( z ，i ) = 口以及( 2 2 7 ) ，我们得到 臼= z 0 ，0 ， z 兰0 ， 0 ， ( 22 8 ) z 0 ，y 0 ， z d o 和z 一d o 当h l 时，其中d o 是对9 ( 。) 假设中的常数由( 2 33 ) 知 一 郴) _ 2 以佰上幽 ，一警蚶。以佰z ：+ - 一警武， ( 2s ，) 设 p z 以佰z 勘 ，一掣a ( 2ss ) 复旦大学硕士学位论文 耳= 。以循 - 一警武， ( 2 。) 那么就有 4 ( h ) = e ( h ) + e + ( h ) ，( 2 31 0 ) 因为g ( ) 在【o ，d o 】是有界的，所以当h 足够大时对 【o ，d o 有下式成立： ； - 一警 z 犯s 对( 231 1 ) 式中的每一项从0 到d o 积分，再注意到( 2 3 8 ) 我们就得到 ( j d 0 ) 日1 25 茸( h ) ( 4 以d o ) h 1 2 ，日l ( 23 i 2 ) 因为当日_ + 。时有百编斗o ，所以 h 1 2 茎c h ( 1 2 ) + 1 ( m l 十1 )当 日1 时( 2 31 3 ) 剩下的就是要证明 c h ( 1 2 ) + 1 ( m 1 + 1 ) s 口? ( 丑) sc h ( 1 2 ) + 1 ( m 1 + ，h 1( 231 4 ) 由( a ，) 知g ( f ) 在 d o ，z + 上是单调递增的，选取a = g ( f ) 日作为( 2 39 ) 式中的新的积分 变量得 耳( h ) = 2 以铲门历熹出，( 2 3 1 5 ) 其中c o = g ( d o ) h 位于( o ， ) 中当日1 时并且= ( 吼日) 是由g ( ) = 一日决定的从 ( a 1 ) 知c 。+ 1 g ( z ) c z ”，+ 1 和c ”- 9 ( ) sg p r 成立，所以有 如盯“八”“) c h ( 1 ，2 ) + l m 1 + 1 ) 复旦大学硕士学位论又 在上述不等式中利用，( 23 1 6 ) 中的第一个不等式类似的利片j ( 2 31 5 ) 以及( 2 31 6 ) 中的 第二个不等式得 i u ( h ) 2 v f h 3 ，2 詹以= i 焘 曼2 以日3 2 詹c ( o - h ) - - m 1 ( m l + 1 ) , z t - d a sc h ( 1 2 ) + 1 ( “1 + “， 所以有 c 日1 2 + 1 ( m + 1 ) s ，+ ( 日) c h l 2 + 1 ( ”i + ，h 1 成立 注意到当zs d o 时9 ( z ) r r t 2 就可以得到引理的证明这种证明技巧可以参考 1 3 ，l e m m a 31 口 引理2 32 如果9 ( z ) 满足假设( a 3 ) 并且h 1 ，那么有下列不等式成立： o c h - i s o ( h ) s 啬h - r o ( h ) c h 1 j 。( 日)( 2 3 ，1 7 ) i 面d 乒2 如( h ) i c 日一2 s d h ) ( 2 3 1 8 ) l i d 百k i 如( 日) f 曼e 日一2 s o ( h ) ，。曼忌6 ( 23l g ) 证明：从i o ( h ) 的定义可知 s o ( h ) = 4 ( 日) + j 一( 日) = 2 v 2 f 孑+ 川确嘶十2 姐卫订丽 令g ( f ) = s h ，那么h d f d h = g ( ) 9 ( ) 并且 4 ( 日) = 2 1 h 可2 x j 币矿- s 一) h d s ，y 、， 因此 杀) ：吾o ；州) 厕心 1 3 复旦大学硕士学位论文 类似的可以证明 告l ) = 百2 上f 。一( i 1 + ( 钏玎百= 丽d 据定理21 中的条件( a 3 ) 我们有 c h 一1 4 ( 日) ( h ) g 日一1 4 ( 日) 类似的可以证明 c 日叫j 一( 日) j 二( 日) sc h 一。j 一( h ) 因此 c h 一1 s o ( h ) f o ( h ) c h i o ( h ) 利用与计算( 日) 同样的技巧可以得到 石( 日) = 吾z ! + ( 一j 1 + w ( ) ) 了志a f ， 另一方面 取驴z z ：+ 而1 軎- 1 丽心z 一、z 【一“( ” 所以根据条件( a 3 ) 、我们有 i f o ( h ) l c h 一2 如( 日) 至此( 2 3 1 7 ) ，( 2 3 1 8 ) 得证利用( 2 3 1 7 ) ，( 231 8 ) 容易证明( 2 3t 9 ) 式详细的证明过程可以 参考 7 , t h e o r e m s 6 , 2 a n d6 3 口 引理2 33 设g ( z ) 满足假设( a 1 ) 一( a 4 ) 并且h o ( i ) 由( 2 23 ) 式所定义那么有下列不等式 成立 c 1 1 h o ( i ) sc 7 1( 232 0 ) 其中1 = l ( + 杂玎) ， 刍日o ( j ) 三d h o ( i ) ， ( 2 32 1 ) f 历d k 凰( 驯s e 厂。h o ( i ) ，0 6( 2 3 2 2 ) 证明：因为h o ( r ) 是，= 而( 日) 的反函数，所以如( 矾( 功= i 在等式s o ( h o ( s ) ) = i 两边对j 求导再利用引理2 3 2 的估计就可得到本定理的证明细节可以参考n 口 1 4 复旦大学硕士学位论文 引理2 3 ，4 令g ( z ) 满足假设( 4 1 ) 一( 山) 并且z = z ( p ，n y = ( p ，) 由( 2 2 5 ) 定义那么 i 羔则，驯0 1 5 d z 砘 c 一 熹蛳 一 中其 复旦大学硕士学位论文 这表明我们可以从f ，( 目，t ) = h 解出，= ，( ，h 日) ，在此我们把日和t 当作参数处理因为 典范l 形式仅相差一个符号 l d o h ( o ，t ) d t = 一( h d t 一( t ，h ，o ) d o ) 所以，( ，h ，0 ) 是( t ，h ，p ) 空间中的哈密顿函数，其中t ，h 和口分别是角变量，作用量变量 和时间变量这种技巧曾在 7 , 6 】用过 引理24 1 当日足够大时我们有不等式 c h l 2 + 1 ( m a + 1 ) ( t ，h ，目) c h l 2 + 1 ( ”2 + ，( 24 2 ) 证明：为了方便我们将，( t ，h ，口) 和历( 口，t ) 分别简写为( 日) 和h 1 ( n 根据，( ，h ，的定 义我们有 h o ( ( ) ) + h i ( ，( 甘) ) = h ，( 2 43 ) 在此我们把h 作为独立的变量，日，t 作为参数根据( 2 43 ) 就有 h o ( ，( 日) ) = h h 1 ( ( 日) ) 因为如( h ) 是凰( ，) 的反函数，所以 ( 日) = i o ( h h i ( ，( 日) ) ) ( 24 4 ) 据引理233 和2 3 ，5 ，我们有 i h l ( ，圳sg 2 至；h o ( 2 4 5 ) 因此 h 1 ( ，( 日) ) 5 ；h o u ( 日) ) = ；( h h l ( ，( 日) ) ) ， ( 24 6 ) 在此我们利用了h o ( i ( h ) ) = h 一日l ( i ( 日) ) 又根据( 2 4 ，6 ) 有 一( 日一日l ( ，( 日) ) ) 日l ( ( h ) ) 寻( 日一日l ( ，( 甘) ) ) ， uu 所以 一1 2 h - ( ，( 日) ) i h ， 1 6 墓里盔堂塑堂垡造塞 1 7 曼h 4日一日l ( ，( h ) ) 兰h 2 l 、 注意到根据( 2 31 7 ) 而( 日) 关于日是单调递增的，所以 如( ；日) 如( 日一日( ，( h ) ) ) 曼而( ；日) 利用引理23 1 可以得出 如( ；日) c 删2 州( 咐l 和而( ；日) 0 ，用a h 。表示圆环 a h a ：= ( 日，t ，0 ) i h h oa n d ( t ，0 ) t 2 ) 为了应用m o s e r 扭转定理我们需要下面的引理 引理2 51 ( 2 5 1 ) 的p o i n c a r 6 映射7 9 在a 凰上具有相交性质，即如果r 是a h 。上同胚于 a 上的圆日= 常数的嵌入，那么就有p ( 【、) nr 曲 证明：本引理的证明见 5 在a 芹。上的微分同胚皿1 p = ) ( h ) ，t = t ，0 = 0 口 ( 2 5 2 ) 星里盔堂翌圭堂焦堡塞1 9 等- ，1 舻) ，荔= 肛+ 加m 既 其中 ，l ( t ，弘，目) = 一石( 日) - 酉0 1 1 l ，日， 掷删= 嘉刚， h = 月( 卢) 由( 2 52 ) 所定义 瑚在我们估计函数 和f 2 根据引理23 1 ，2 32 以及引理2 43 我们有 所以有 c h l ( ”2 + 1 ) 一1 2 曼o ( h ) 茎c h l ( ”2 + 1 ) 一1 2 c 肛2 ( 伽十1 ) ( 1 - m 2 ) s1 日( 肛) i 茎g 肛2 ( m 2 + 1 ) ( 1 一m 2 ) ( 25 3 ) ( 2 5 4 ) ( 255 ) 很明显，h 1 甘p 1 另外，根据引理2 3 1 ，23 2 我们有 j 篓日( p ) i c # - k h ( # - k hp ) ( 256 ) j 赤日( p ) i p ) ( 256 ) 从引理2 3 1 2 32 以及引理2 43 和( 2 5 6 ) 得到，对于+ f 4 有 匀+ i i 蠹丽，l ( t ，p ，日) c 兰g j 上一日如( h ) 日一7 2 s o ( 日) c h _ 5 2 靖( 日) c h 一5 2 + l + 2 ( m 2 + 1 ) c h ( 1 3 m 2 ) ( 2 ”2 + 2 j g “( 1 3 m 2 ) ( 1 一m 2 ) 和 1 祟，2 ( ，p ) l g t o ( h ) t z - k h - l - u 2 s o ( 1 赫，2 ( 。舶8 ) l g c h 一3 2 + 1 2 + 1 ( ”2 + 1 ) c h 一”2 ( ”2 + 1 ) ，c h ( 1 3 m 2 ) ( 2 m 2 + 2 ) g 坤( 1 3 “) ( 1 - m 2 ) 复旦大学硕士学位论文 现在我们可以证明定理21 的结论了 定理2l 的证明因为如果肛l 时函数 和，2 足够小，所以很容易就可证明当初值 肛( o ) = p 充分大时( 2 53 ) 的解的确在0 0 使得： ( 1 ) 对任意的有理数p 脂( 0 ，e o ) ，方程( 2 11 ) 存在b i r k l o f f 类型的以口为周期的u n l i n k e d 的 周期解； ( 2 ) 对任意的无理数u ( o ，印) ，方程( 2 1 1 ) 存在以( 1 ，u ) 为频率的推广的拟周期解，其中u 对应于m a t h e r 集2 , 4 。； ( 3 ) 对任意的无理数u ( o ，o ) 并且1 加满足条件( 2 57 ) ，系统( 211 ) 存在以( 1 ，u ) 为频率 的拟周期解 第三章有限次可微拟周期系数的线性微分方程的约化问题 本章考虑的是拟周期线性系统 3 1主要结论 = f a + e q ( t ) ) x 的约化问题，其中z 为一n 维向量，a 为一n 阶常值矩阵，q 为关于时间t 以u = ( 呐，u ，) 为频率的，i 阶拟周期函数矩阵我们称变换z = p ( t ) 为l y a p u n o v p e r r m l 变换如果p ( t ) 是 非奇异的并且p i t ) ，p 一1 ( t ) ，和p ( t ) 对所有的t r 都是有界的，简称为l p 变换另外如 果p ( t ) ，p 一1 ( t ) ，和户( t ) 都是时间t 的拟周期函数，我们就称变换。= p ( t ) y 为拟周期l p 变 换如果存在拟周期l p 变换z = p ( t ) 使得y 满足方程 9 = b y( 3 12 ) 其中_ b 是一常值矩阵，那么我们就说( 31 1 ) 是可约化的 为了叙述清楚，我们先介绍文中将要用到的一些记号和定义 我们称函数f 是以u = ( u h，u ，) 为频率的时间t 的拟周期函数，如果存在一个函 数，( o h，郎) 使得f ( t ) = f ( w l t ，u ，t ) ，f 关于所有的变量岛，j = 1 ，r 都是2 ”周期 的，且称，为f ( t ) 的壳( h u l l ) 拟周期函数f ( t ) 称为是s 次连续可微的，如果它的壳厂在 r 上是s 次连续可微的如果，是复带形区域助= p c ii m 易i d ，= 1 ，2 ，一，r ) 上 的解析函数，我们就称f ( t ) 是岛上的解析拟周期函数，在岛上的最大值模记为 l i f l l 6 = s u p 例 0 e 岛 n n 矩阵q ( t ) = ( ) l 。称为是e 5 上的以u = ( a 2 1 ，畸) 为频率的解析拟周期函数 矩阵，如果它的每一矩阵元素q i j ( i ，j = l ，2 ，7 2 ) 都是岛上的以u 为频率的解析拟周期函 数类似的可以给出s 次连续可微的拟周期函数矩阵的定义 定理31 设n ocr 2 是一具有正l e b e s g u e 测度的紧集，假设0 ( t ) 是以u f 2 0 为频率的拟 周期函数矩阵，其壳q ( 日) c 5 ( ) ，其中正整数s 满足： s m a x 8 2 ( ( r + 2 ) n 2 + r 1 ) ，4 7 1 4 ( r 十2 ) ) 2 1 复旦大学硕士学位沦又 那么对充分小的正数1 存在子集qcq 。，其测度满足 m e a 5 ( n o n ) 2m e a s ( g g o ) ( 1 一d ( 1 1 “2 ) ) 以及充分小的常数e + = s + ( 7 ) 0 使得对任意的e ( 0 ，e + ) 和u q 0 旺系统( 3 11 ) 是可约 化的更确切的说就是存在解析的拟周期坐标变换z = p ( ) g 使得( 3 1 1 ) 变为 其中b 是一常值矩阵 雪= b 本文的证明思路就是首先引入一个解析逼近把系统( 31 1 ) 分为两部分：解析部分和有 限次可微部分；接下来仿照【1 8 运用k a m 迭代把扰动q ( t ) 消去在迭代过程中，仅利用 解析部分建立一系列的坐标变换，所以定理中的坐标变换是解析的，尽管系统本身是有限 次可微的 3 2定理3 1 的证明 定理3 1 证明的基本思想来源于n e w t o n 迭代在证明主要的迭代引理之前，f 戈 f j 先介 绍一些记号和引理 下面我们总是用c ，c + ，o ，q ，岛，表示在估计中出现的正常数，用q 表示拟周期函 数q ( t ) 的壳，用龟表示q 在r 维环面上的平均值对于矩阵值函数q ( t ) ，定义： 恻j d ：= s u pi i q ( t ) | | “! d 其中”l l 是矩阵的最大值模 为了证明有限次可微条件下的可约化结论，我们必须引入下面的逼近引理 引理3 21 设q g 5 ( r 7 ) ，u ncr ；为参数令0 是n 的复q 邻域 q 在口上是实解 析的， lq u ：r 7_r ( 日1 ， - ，啡) 时 q 。( 0 1 ，-，界) = q 。( 臼l + 2 丌，臼2 ，一，啡) = 1= q 。( 目1 ，如，-，啡+ 2 ”) 2 2 复旦大学硕士学位论文 那么对任意的d o ，存在在。上仍是实解析的解析函数 p ? 。蒜蕊( 刎0 1 砌，= 2 3 证明：当函数q 不含有参数u 时，证明与ez e h n d e r 2 3 ，p 1 0 8 1 1 3 一样