（江苏专用）高考数学大一轮复习 第七章 数列、推理与证明 第38课 数列的概念 文.doc

第38课 数列的概念(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5p33练习3改编)已知数列an的通项公式是an=3n-2，那么a4=.【答案】102.(必修5p33习题4改编)32是数列n2+4n的第 项.【答案】4【解析】令32=n2+4n，解得n=4，所以32是数列n2+4n中的第4项.3.(必修5p33习题2改编)已知数列an的通项公式是an=(-1)n，那么数列an的前5项和为.【答案】-【解析】由题意，数列的前5项分别为-，-，-，所以前5项和为+=-.4.(必修5p34习题7改编)下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为. (1) (2) (3) (4)(第4题)【答案】an=3n-1【解析】由图可知前4个图中着色三角形的个数分别为1，3，32，33，猜想第n个图的着色三角形的个数为3n-1，所以这个数列的通项公式为an=3n-1.5.(必修5p34练习9改编)若对于任意正整数n都有f(n)=n2-8n+5，则f(n)的最小值为.【答案】-111.数列的概念：按照一定次序排列的一列数称为数列；数列中的每个数都叫作这个数列的项.2.数列的分类：项数有限的数列叫作有穷数列；项数 无限的数列叫作无穷数列.3.数列的通项公式：如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.4.sn与an的关系：sn=a1+a2+a3+an，an=.5.数列是特殊的函数：在数列an中，对于每一个正整数n都有一个数an与之对应，因此，数列可以看成定义域为自然数集或自然数集的子集，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的是一列函数值.6.数列单调性的判断(1)数列是一个特殊的函数，数列的单调性可以借助于函数的单调性来判断，判断时要注意函数的定义域为正整数.(2)当an+1an恒成立时，数列an是单调递增数列；当an+10.当n为奇数时，f(n)=1+单调递减，则当n=1时，f(n)max=1；当n为偶数时，f(n)=1-单调递增，则当n=2时，f(n)min=.又p，所以2p3.【精要点评】(1)本题的本质是研究数列的最值问题，因此，需要通过研究数列的单调性解决问题.(2)需要注意的是，由于本题是离散型的函数问题，所以要注意解题过程的特殊性，如果写成“当n为奇数时，f(n)=，单调递减，此时f(n)；当n为偶数时，f(n)=，单调递增，此时f(n)”是不正确的，因为f(n)并不能取到=内的所有值.(3)除了单调性，本题还涉及分段数列及分奇偶项讨论问题，此外数列的周期性也是常考的知识点.变式已知数列an的通项公式是an=n2-12n+34.(1)试求n的取值集合，使得anan+1.(2)试问：该数列中是否存在最小的项?若存在，是第几项?若不存在，请说明理由.【思维引导】数列的通项公式对应的是一个二次函数模型，可以用函数的观点来解决.【解答】设函数f(n)=n2-12n+34=(n-6)2-2.当1n6时，f(n)单调递减；当n6时，f(n)单调递增.所以当n=6时，函数f(n)取得最小值f(6)=-2.(1)当n1，2，3，4，5时，有anan+1；(2)该数列中存在最小的项，是第6项，即a6=-2.【精要点评】数列是特殊的函数，对于数列中的大小关系以及递增、递减等问题我们常常可以用函数的观点去分析，运用函数的方法使问题获解.1.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第25项为.【答案】7【解析】因为1+2+3+4+5+6=21，1+2+3+4+5+6+7=28，所以第25项为7.2.已知数列an的前n项和为sn=3n-1，那么该数列的通项公式为an=.【答案】23n-1【解析】当n=1时，a1=s1=31-1=2；当n2时，an=sn-sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=23n-1，将n=1代入上式可得a1=231-1=2.综上可得an=23n-1.3.(2014安阳模拟)在数列an中，已知an=n2-kn(nn*)，且an单调递增，则k的取值范围是.【答案】(-，3)【解析】因为在数列an中，an=n2-kn(nn*)，且an单调递增，所以an+1-an0对于nn*恒成立，即(n+1)2-k(n+1)-(n2-kn)=2n+1-k0对于nn*恒成立，所以k2n+1对于nn*恒成立，即k3.4.已知数列an的通项公式an=(nn*)，那么数列an的第项最大.【答案】10【解析】因为an=1+，所以当n9时，an随着n的增大越来越小且都小于1；当n10时，an随着n的增大越来越小且都大于1，所以数列an的最大项为a10.5.已知数列an的首项a1=a，sn是数列an的前n项和，且满足=3n2an+，an0，n2，nn*.确定a的取值集合m，使am时，数列an是递增数列.【解答】由=3n2an+，得-=3n2an，即(sn+sn-1)(sn-sn-1)=3n2an，即(sn+sn-1)an=3n2an.因为an0，所以sn+sn-1=3n2(n2)，所以sn+1+sn=3(n+1)2，-得an+1+an=6n+3(n2).所以an+2+an+1=6n+9.-得an+2-an=6(n2)，即数列a2，a4，a6，及数列a3，a5，a7，都是公差为6的等差数列.因为a2=12-2a，a3=3+2a，所以an=要使数列an是递增数列，则需a1a2，且当n为大于或等于3的奇数时，anan+1，且当n为偶数时，anan+1，即解得a.所以m=，当am时，数列an是递增数列.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第7576页.【检测与评估】第七章数列、推理与证明第38课数列的概念一、 填空题1.已知数列an的通项公式为an=log2(3+n2)-2，那么这个数列的首项为.2.若数列an的前4项为1，3，7，15，则数列an的一个通项公式为an=.3.在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为.4.已知数列an的前n项和sn=n2-9n，若它的第k项满足5ak8，则k=.5.已知数列an满足a1=0，an+1=(nn*)，那么a20=.6.若单调递增数列an满足an+an+1+an+2=3n-6，且a2=a1，则a1的取值范围是.7.(2015长春二模)在数列an中，已知a1=2，a2=7，且an+2是anan+1的个位数字，sn是an的前n项和，则s242-7a7=.8.已知数列an满足an=nkn(nn*，0 k 1)，那么下列说法中正确的是.(填序号)当k=时，数列an为递减数列；当k1时，数列an不一定有最大项；当0ka1，|an+1-an|=2n(nn*)，若数列a2n-1单调递减，数列a2n单调递增，求数列an的通项公式.11.(2015上海卷)已知数列an与bn满足an+1-an=2(bn+1-bn)，nn*.(1)若bn=3n+5，且a1=1，求数列an的通项公式；(2)设数列an的第n0项是最大项，即an(nn*)，求证：数列bn的第n0项是最大项.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015南昌二模)已知数列an满足a1=1，|an-an-1|=(nn，n2)，且a2n-1是递减数列，a2n是递增数列，求12a10.【检测与评估答案】第七章数列、推理与证明第38课数列的概念1. 0【解析】由题意知a1=log24-2=0.2. 2n-1【解析】由a1=1=21-1，a2=3=22-1，a3=7=23-1，a4=15=24-1，所以an=2n-1.3.3+4【解析】设组成的等比数列的公比为q(q0)，所以q4=9，即q=，中间三个数的和为q+q2+q3=+3+3=3+4.4. 8【解析】a1=s1=-8；当n2时，an=sn-sn-1=2n-10.由52k-108，得7.5ka3a2a1，即a1+3-3-a1a1a1，解得-a1-.7.955【解析】由题意得a3是a1a2=14的个位数字，所以a3=4，而a2=7，再由题意可得a4=8，依此类推，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，a11=2，所以我们可以根据以上的规律看出除前面两项外，从第3项开始，数列是一个周期为6的数列，从而a3+ a4+ a8=4+8+2+6+2+2=24，所以s242=a1+a2+40(a3+a4+a8)=2+7+4024=969，从而s242-7a7=969-14=955.8.【解析】当k=时，an=n，有a1=，a2=2=，则a1=a2，即数列an不是递减数列，故错误.当k1时，令f(x)=xkx，则f(x)=kx(1+xln k).当x0；当x-时，f(x)0.故当n-时，an单调递减.显然an一定有最大项.当0k时，=1，所以an+1k.当k=时，a1=a2a3a4；当ka1，a1=-1，得a2=1.当n=2时，|a3-a2|=4，得a3=-3或a3=5.因为a2n-1单调递减，所以a3=-3.当n=3时，|a4-a3|=8，得a4=5或a4=-11.因为a2n单调递增，所以a4=5.同理得a5=-11，a6=21.因为a2n-1单调递减，a1=-10，所以a2n-10.所以当n为奇数时，有an-an-1=-2n-1，an-1-an-2=2n-2，两式相加得an-an-2=-2n-2.那么a3-a1=-2，a5-a3=-23，；an-an-2=-2n-2，以上各式相加得an-a1=-(2+23+25+2n-2)，所以an=a1-=-.同理，当n为偶数时，an=.所以an=也可以写成an=.11. (1) 由bn+1-bn=3，得an+1-an=6，所以an是首项为1，公差为6的等差数列，故an的通项公式为an=6n-5，nn*.(2) 由an+1-an=2(bn+1-bn)，得an+1-2bn+1=an-2bn.所以an-2bn为常数列，an-2bn=a1-2b1，即an=2bn+a1-2b1.因为an，nn*，所以2+a1-2b12bn+a1-2b1，即bn.故bn的第n0项是最大项.12. 由|an-an-1|=，得|a2n-a2n-1|=，又a2n-1是递减数列，a2n是递增数列，所以a2n