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9.7 双曲线一、选择题1已知f1,f2是双曲线1(a0,b0)的两焦点,以线段f1f2为边作正三角形mf1f2,若边mf1的中点p在双曲线上,则双曲线的离心率为( )a42 b.1c. d.1解析(数形结合法)因为mf1的中点p在双曲线上,|pf2|pf1|2a,mf1f2为正三角形,边长都是2c,所以cc2a,所以e1,故选d.答案d2. 已知双曲线c :-=1的焦距为10 ,点p (2,1)在c 的渐近线上,则c的方程为( )a-=1 b.-=1 c.-=1 d.-=1答案a3设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0,则a的值为()a4 b3 c2 d1解析双曲线1的渐近线方程为3xay0与已知方程比较系数得a2.答案c4设直线l过双曲线c的一个焦点,且与c的一条对称轴垂直,l与c交于a,b两点,|ab|为c的实轴长的2倍,则c的离心率为()a. b. c2 d3解析设双曲线c的方程为1,焦点f(c,0),将xc代入1可得y2,所以|ab|222a,b22a2,c2a2b23a2,e.答案b5设f1、f2是双曲线y21的两个焦点,p在双曲线上,当f1pf2的面积为2时,的值为()a2 b3c4 d6解析 设点p(x0,y0),依题意得,|f1f2|24,spf1f2|f1f2|y0|2|y0|2,|y0|1,y1,x3(y1)6,(2x0,y0)(2x0,y0)xy43.答案 b6已知双曲线1(a0,b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1),则双曲线的焦距为()a2 b2 c4 d4解析由题意得c.双曲线的焦距2c2.答案b7如图,已知点p为双曲线1右支上一点,f1、f2分别为双曲线的左、右焦点,i为pf1f2的内心,若sipf1sipf2sif1f2成立,则的值为()a. b. c. d.解析 根据sipf1sipf2sif1f2,即|pf1|pf2|f1f2|,即2a2c,即.答案 b二、填空题8双曲线1的右焦点到渐近线的距离是_解析 由题意得:双曲线1的渐近线为yx.焦点(3,0)到直线yx的距离为.答案 9已知双曲线1左、右焦点分别为f1、f2,过点f2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为p,且pf1f2,则双曲线的渐近线方程为_解析 根据已知|pf1|且|pf2|,故2a,所以2,.答案 yx10.已知双曲线的两条渐近线均和圆:相切,且双曲线的右焦点为圆c的圆心,则该双曲线的方程为_c=3,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为.答案 11如图,已知双曲线以长方形abcd的顶点a、b为左、右焦点,且双曲线过c、d两顶点若ab4,bc3,则此双曲线的标准方程为_解析设双曲线的标准方程为1(a0,b0)由题意得b(2,0),c(2,3),解得双曲线的标准方程为x21.答案x2112已知点(2,3)在双曲线c:1(a0,b0)上,c的焦距为4,则它的离心率为_解析根据点(2,3)在双曲线上,可以很容易建立一个关于a,b的等式,即1,考虑到焦距为4,这也是一个关于c的等式,2c4,即c2.再有双曲线自身的一个等式a2b2c2,这样,三个方程,三个未知量,可以解出a1,b,c2,所以,离心率e2.答案2三、解答题13已知双曲线e的中心为原点,f(3,0)是e的焦点,过f的直线l与e相交于a,b两点,且ab的中点为n(12,15),则e的方程解析 设双曲线的标准方程为1(a0,b0),由题意知c3,a2b29,设a(x1,y1),b(x2,y2),则有:两式作差得:,又ab的斜率是1,所以将4b25a2代入a2b29得a24,b25.所以双曲线的标准方程是1.14求适合下列条件的双曲线方程(1)焦点在y轴上,且过点(3,4)、.(2)已知双曲线的渐近线方程为2x3y0,且双曲线经过点p(,2)解析(1)设所求双曲线方程为1(a0,b0),则因为点(3,4),在双曲线上,所以点的坐标满足方程,由此得令m,n,则方程组化为解方程组得a216,b29.所求双曲线方程为1.(2)由双曲线的渐近线方程yx,可设双曲线方程为(0)双曲线过点p(,2),故所求双曲线方程为y2x21.15设a,b分别为双曲线1(a0,b0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于m、n两点,且在双曲线的右支上存在点d,使t,求t的值及点d的坐标解析(1)由题意知a2,一条渐近线为yx,即bx2y0,b23,双曲线的方程为1.(2)设m(x1,y1),n(x2,y2),d(x0,y0),则x1x2tx0,y1y2ty0,将直线方程代入双曲线方程得x216x840,则x1x216,y1y212,t4,点d的坐标为(4,3)16已知双曲线的中心在原点,焦点f1,f2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,)(1)求双曲线方程;(2)若点m(3,m)在双曲线上,求证:0;(3)求f1mf2的面积解析 (1) e,设双曲线方程为x2y2.又双曲线过(4,)点,16106,双曲线方程为x2y26.(2)证明法一由(1)知ab,c2,f1(2,0),f2(2,0),kmf1,kmf2,kmf1kmf2,又点(3,m)在双曲
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