福建省福州八中高考数学三模试卷 文（含解析）.doc

福建省福州八中2015届高 考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知复数z=（a1）+i，若z是纯虚数，则实数a等于（）a1b2c0d12（5分）已知命题p：xr，cosx1，则（）ap：xr，cosx1bp：xr，cosx1cp：xr，cosx1dp：xr，cosx13（5分）已知m、n为两条不同直线，、为两个不同平面，则下列命题中正确的是（）amn，mnb，m，nmncm，mnndm，n，m，n4（5分）如图，三棱柱abca1b1c1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱aa1底面abc，其正视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为（）abcd45（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数其中为互斥事件的是（）abcd6（5分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）a2+bcd1+7（5分）等差数列an中，a5+a6=4，则log2（）=（）a10b20c40d2+log258（5分）已知正四棱锥sabcd的侧棱长与底面边长都相等，e是sb的中点，则ae、sd所成的角的余弦值为（）abcd9（5分）已知数列an，如果a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为1，公比为的等比数列，则an=（）a（1）b（1）c（1）d（1）10（5分）已经函数，则f（x）在上的零点个数为（）a1b2c3d411（5分）已知o是abc所在平面内一定点，动点p满足，（0，+），则动点p的轨迹一定通过abc的（）a内心b垂心c外心d重心12（5分）在实数集r中定义一种运算“*”，对任意a，br，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意ar，a*0=a；（2）对任意a，br，a*b=ab+（a*0）+（b*0）则函数f（x）=（ex）*的最小值为（）a2b3c6d8二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题纸上13（4分）设实数x，y满足条件则z=2xy的最大值是14（4分）abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，若2acosc+ccosa=b，则sina+sinb的最大值为15（4分）已知四面体abcd的所有棱长均为，顶点a、b、c在半球的底面内，顶点d在半球球面上，且在半球底面上的射影为半球球心，则此半球的体积是16（4分）若函数f（x）为定义域d上单调函数，且存在区间d（其中ab），使得当x时，f（x）的值域恰为，则称函数f（x）是d上的正函数，区间叫做等域区间如果函数g（x）=x2+m是（，0）上的正函数，则实数m的取值范围三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）在等差数列an和等比数列bn中，a1=b1=1，b4=8，an的前10项和s10=55（）求an和bn；（）现分别从an和bn的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率18（12分）已知平面向量=（，），=（sinx，cosx），函数f（x）=（）求函数f（x）的最小正周期；（）将函数f（x）的图象上的所有的点向左平移1个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）+k在（2，4）上有两个零点，求实数k的取值范围19（12分）数列an满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），nn*（）证明：数列是等差数列；（）设bn=3n，求数列bn的前n项和sn20（12分）在如图所示的几何体中，面cdef为正方形，面abcd为等腰梯形，abcd，ab=2bc=2，acfb（）求证：ac平面fbc；（）求四面体fbcd的体积；（）线段ac上是否存在点m，使ea平面fdm？证明你的结论21（12分）杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元请你根据以上数据，解决下列问题：（1）引进该设备多少年后，开始盈利？（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出问哪种方案较为合算？并说明理由22（14分）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）kx+b和g（x）kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”已知h（x）=x2，（x）=2elnx（e为自然对数的底数）（1）求f（x）=h（x）（x）的极值；（2）函数h（x）和（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由福建省福州八中2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知复数z=（a1）+i，若z是纯虚数，则实数a等于（）a1b2c0d1考点：复数的基本概念 专题：计算题分析：利用纯虚数的定义可得，复数的实部等于0，即a1=0，即得 a=1解答：解：复数z=（a1）+i，若z是纯虚数，a1=0，a=1，故选 d点评：本题考查纯虚数的定义，属于容易题2（5分）已知命题p：xr，cosx1，则（）ap：xr，cosx1bp：xr，cosx1cp：xr，cosx1dp：xr，cosx1考点：命题的否定 专题：阅读型分析：本题中所给的命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，将量词改为存在量词，否定结论即可解答：解：命题p：xr，cosx1，是一个全称命题p：xr，cosx1，故选d点评：本题考查了“含有量词的命题的否定”，属于基础题解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写3（5分）已知m、n为两条不同直线，、为两个不同平面，则下列命题中正确的是（）amn，mnb，m，nmncm，mnndm，n，m，n考点：命题的真假判断与应用 专题：证明题分析：由线面垂直的几何特征，及线面垂直的第二判定定理，可判断a的真假；根据面面平行的几何特征及线线位置关系的定义，可判断b的真假；根据线面垂直及线线垂直的几何特征，及线面平行的判定方法，可判断c的真假；根据面面平行的判定定理，可以判断d的真假解答：解：若mn，m根据线面垂直的第二判定定理可得n，故a正确；若，m，n，则mn或m，n异面，故b错误；若m，mn，则n或n，故c错误；由m，n，m，n，若a，b相交，则可得，若ab，则与可能平行也可能相交，故d错误；故选a点评：本题以命题的真假判定为载体考查了空间线面关系的判定，熟练掌握空间线面位置关系的判定，性质及几何特征是解答的关键4（5分）如图，三棱柱abca1b1c1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱aa1底面abc，其正视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为（）abcd4考点：由三视图求面积、体积 专题：图表型分析：先分析得等边三角形的高，那么侧视图的面积=等边三角形的高侧棱长，把相关数值代入即可求解解答：解：易得三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高后，组成直角三角形，底边的一半为1，等边三角形的高为 ，侧视图的面积为2=2 ，故选a点评：本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等5（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数其中为互斥事件的是（）abcd考点：互斥事件与对立事件 专题：概率与统计分析：根据互斥事件的定义，逐一分析四个答案中的两个事件的关系，可得答案解答：解：恰有一个偶数和恰有一个奇数是相同的事件，故不是互斥事件；至少有一个是奇数包含两个数都是奇数的情况，故不是互斥事件；至少有一个是奇数和两个都是偶数不能同时发生，故是互斥事件；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数可以同时发生，故不是互斥事件故选：c点评：本题考查互斥事件的判断，是基础题，解题时要认真审题6（5分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）a2+bcd1+考点：斜二测法画直观图 专题：计算题；作图题分析：原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可也可利用原图和直观图的面积关系求解解答：解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，s=（1+1）2=2+故选a点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查7（5分）等差数列an中，a5+a6=4，则log2（）=（）a10b20c40d2+log25考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：由等差数列an中，a5+a6=4，利用等差数列的性质得到其项数之和为11的两项之和为4，可得出a1+a2+a10的值，将所求式子的真数利用同底数幂的乘法法则计算，再利用对数的运算性质计算后，将a1+a2+a10的值代入即可求出值解答：解：等差数列an中，a5+a6=4，a1+a11=a2+a10=a3+a9=a4+a8=a5+a6=20，a1+a2+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a5+a6）=20，则log2（）=log22a1+a2+a10=a1+a2+a10=20故选b点评：此题考查了等差数列的性质，以及对数的运算法则，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键8（5分）已知正四棱锥sabcd的侧棱长与底面边长都相等，e是sb的中点，则ae、sd所成的角的余弦值为（）abcd考点：异面直线及其所成的角 专题：计算题；转化思想分析：由于是正方体，又是求角问题，所以易选用向量量，所以建立如图所示坐标系，先求得相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解解答：解：建立如图所示坐标系，令正四棱锥的棱长为2，则a（1，1，0），d（1，1，0），s（0，0，），e，=，=（1，1，）cos=故选c点评：本题主要考查多面体的结构特征和空间角的求法，同时，还考查了转化思想和运算能力，属中档题9（5分）已知数列an，如果a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为1，公比为的等比数列，则an=（）a（1）b（1）c（1）d（1）考点：等比数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：因为数列a1，（a2a1），（a3a2），（anan1），此数列是首项为1，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式可得数列an的通项解答：解：由题意an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=故选：a点评：考查学生对等比数列性质的掌握能力，属于基础题10（5分）已经函数，则f（x）在上的零点个数为（）a1b2c3d4考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：由于a2+2a+3=（a+1）2+22，可得分别画出y=，y=sinx的图象由图象可得，函数y=，y=sinx的图象交点的个数，进而得到函数f（x）零点的个数解答：解：a2+2a+3=（a+1）2+22，分别画出y=，y=sinx的图象由图象看出，函数y=，y=sinx的图象有且仅有两个交点因此函数，在上的零点个数为2故选b点评：本题考查了指数函数与正弦函数的图象、函数零点的意义，属于基础题11（5分）已知o是abc所在平面内一定点，动点p满足，（0，+），则动点p的轨迹一定通过abc的（）a内心b垂心c外心d重心考点：三角形五心；向量在几何中的应用；轨迹方程 专题：计算题分析：可先根据数量积为零得出 与（ +）垂直，可得点p在bc的高线上，从而得到结论解答：解：即又（ +）=|+|=0与（ +）垂直，即，点p在bc的高线上，即p的轨迹过abc的垂心故选b点评：本题主要考查了向量在几何中的应用、空间向量的加减法、轨迹方程、以及三角形的五心等知识，解答关键是得出出 与（ +）垂直，属于基础题12（5分）在实数集r中定义一种运算“*”，对任意a，br，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意ar，a*0=a；（2）对任意a，br，a*b=ab+（a*0）+（b*0）则函数f（x）=（ex）*的最小值为（）a2b3c6d8考点：进行简单的合情推理 专题：计算题；推理和证明分析：根据性质，f（x）=（ex）*=1+ex+，利用基本不等式，即可得出结论解答：解：根据性质，f（x）=（ex）*=1+ex+1+2=3，当且仅当ex=时，f（x）=（ex）*的最小值为3故选：b点评：本题考查新定义，考查基本不等式的运用，正确理解新定义是关键二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题纸上13（4分）设实数x，y满足条件则z=2xy的最大值是1考点：简单线性规划 专题：计算题；数形结合分析：画出对应的平面区域，求出可行域中各个角点的坐标，分析代入后即可得到答案解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：联立可得即a（1，1）由图可知：当过点a（1，1）时，2xy取最大值1故答案为：1点评：本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据约束条件，画出满足约束条件的可行域并求出各角点的坐标，是解答此类问题的关键14（4分）abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，若2acosc+ccosa=b，则sina+sinb的最大值为考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值 专题：解三角形分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到cosc=0，确定出c为直角，进而利用诱导公式得到sinb=cosa，原式变形后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域即可确定出最大值解答：解：把2acosc+ccosa=b，利用正弦定理化简得：2sinacosc+sinccosa=sinb，整理得：2sinacosc+sinccosa=sinb=sin（a+c）=sinacosc+cosasinc，即sinacosc=0，sina0，cosc=0，c=90，sinb=cosa，sina+sinb=sina+cosa=sin（a+45），sin（a+45）1，sina+sinb，则sina+sinb的最大值为故答案为：点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键15（4分）已知四面体abcd的所有棱长均为，顶点a、b、c在半球的底面内，顶点d在半球球面上，且在半球底面上的射影为半球球心，则此半球的体积是考点：球的体积和表面积 专题：空间位置关系与距离分析：由题意求出正四面体的高，就是球的半径，然后求出球的体积解答：解：由题意正四面体abcd的所有棱长均为，顶点a、b、c在半球的底面内，顶点d在半球面上，且d点在半球底面上的射影为半球的球心，可知正四面体的高就是球的半径，所以底面abc的中心到顶点a的距离：，所以球的半径为：所以半球的体积为：故答案为：点评：本题考查球的内接体，球的半径与球的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力16（4分）若函数f（x）为定义域d上单调函数，且存在区间d（其中ab），使得当x时，f（x）的值域恰为，则称函数f（x）是d上的正函数，区间叫做等域区间如果函数g（x）=x2+m是（，0）上的正函数，则实数m的取值范围考点：二次函数的性质 专题：新定义分析：根据函数g（x）=x2+m是（，0）上的正函数建立方程组，消去b，求出a的取值范围，转化成关于a的方程a2+a+m+1=0在区间（1，）内有实数解进行求解解答：解：因为函数g（x）=x2+m是（，0）上的正函数，所以当x时， g（a）=b g（b）=a 即a2+m=b，b2+m=a，两式相减得a2b2=ba，即b=（a+1），代入a2+m=b得a2+a+m+1=0，由ab0，且b=（a+1）得1a，故关于a的方程a2+a+m+1=0在区间（1，）内有实数解，记h（a）=a2+a+m+1，则 h（1）0，h（）0，且0，解得m（1，）故答案为：（1，）点评：本题主要考查了新的定义，以及函数的值域，同时考查了等价转化的数学思想，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）在等差数列an和等比数列bn中，a1=b1=1，b4=8，an的前10项和s10=55（）求an和bn；（）现分别从an和bn的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率考点：等差数列与等比数列的综合；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：计算题；转化思想分析：（）先根据条件求出公差和公比，即可求出通项；（）先根据第一问的结果把基本事件都写出来，再找到满足要求的即可求出结论解答：解：（）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q由题得：s10=10+d=55；b4=q3=8；解得：d=1，q=2所以：an=n，bn=2n1（）分别从从an和bn的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，2），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4）两项的值相等的有（1，1），（2，2）这两项的值相等的概率：点评：本题主要考察等差数列等比数列，古典概型等基础知识，考察运算能力，化归与转化思想是对基础知识的综合考察，属于中档题目18（12分）已知平面向量=（，），=（sinx，cosx），函数f（x）=（）求函数f（x）的最小正周期；（）将函数f（x）的图象上的所有的点向左平移1个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）+k在（2，4）上有两个零点，求实数k的取值范围考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：（i）利用数量积和两角和的正弦公式可得f（x），再利用周期公式即可得出周期t（ii）依题意将函数f（x）的图象向左平移1个单位后得到函数y=g（x）=2=，函数y=g（x）+k在（2，4）上有两个零点，即函数y=g（x）与y=k在x（2，4）有两个交点，即可得出解答：解：（）=2，=8函数f（x）的最小正周期为8（）依题意将函数f（x）的图象向左平移1个单位后得到函数y=g（x）=2=，函数y=g（x）+k在（2，4）上有两个零点，即函数y=g（x）与y=k在x（2，4）有两个交点，如图所示当0k2，即2k0，实数k取值范围为2k0点评：本题考查了三角函数的图象与性质、数量积和两角和的正弦公式、数形结合等基础知识与基本技能方法，属于中档题19（12分）数列an满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），nn*（）证明：数列是等差数列；（）设bn=3n，求数列bn的前n项和sn考点：数列的求和；等比关系的确定 分析：（）将nan+1=（n+1）an+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得，由等差数列的定义得证（）由（）求出bn=3n=n3n，利用错位相减求出数列bn的前n项和sn解答：证明（）nan+1=（n+1）an+n（n+1），数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；（）由（）知，bn=3n=n3n，3n1+n3n3n+n3n+1得3nn3n+1=点评：本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法求和的关键是求出通项选方法20（12分）在如图所示的几何体中，面cdef为正方形，面abcd为等腰梯形，abcd，ab=2bc=2，acfb（）求证：ac平面fbc；（）求四面体fbcd的体积；（）线段ac上是否存在点m，使ea平面fdm？证明你的结论考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（）利用勾股定理的逆定理即可得到accb，又acfb，利用线面垂直的判定定理即可证明；（）利用（）的结论可得accf，又cfcd，利用线面垂直的判定定理即可得出fc平面abcd利用等腰梯形的性质即可得出bcd的面积，利用三棱锥的体积公式即可得出；（）线段ac上存在点m，且m为ac中点时，有ea平面fdm利用正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明解答：（）证明：在abc中，ab=2，bc=1，ac2+bc2=ab2acbc又acfb，bfcb=b，ac平面fbc（）解：ac平面fbc，acfccdfc，fc平面abcd在rtacb中，cab=30，在等腰梯形abcd中可得abd=cdb=cbd=30，cb=dc=1，fc=1bcd的面积s=四面体fbcd的体积为：（）解：线段ac上存在点m，且m为ac中点时，有ea平面fdm，证明如下：连接ce与df交于点n，连接mn由 cdef为正方形，得n为ce中点eamnmn平面fdm，ea平面fdm，ea平面fdm所以线段ac上存在点m，使得ea平面fdm成立点评：熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、等腰梯形的性质、三棱锥的体积公式、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键21（12分）杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元请你根据以上数据，解决下列问题：（1）引进该设备多少年后，开始盈利？（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出问哪种方案较为合算？并说明理由考点：函数与方程的综合运用 分析：（1）设引进设备n年后开始盈利，盈利为y万元，依题意得出y=50n（12n+4）98，求根（2）分别算出两个方案最后盈利盈利大的较为合算解答：解：（1）设引进设备n年后开始盈利，盈利为y万元，则y=50n（12n+4）98=2n2+40n98，由y0，得10n10+nn*，3n17，即3年后开始盈利答：引进该设备3年后，开始盈利（2）方案一：年平均盈利为，=2n+402+40=12，当且仅当2n=，即n