素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0006.doc

2000年第 6期数学通报 数学问题解答 2000年 5月号问题解答 + c -(a + b + c)2= 0,(解答由问题提供人给出 ) 2(a 2b + b2 c + c 2 a)= 2(a 2b + b2 c + c 2 a) 1251设数列 an 满足 : a1= 1,且 + a + b + c -(a + b + c)2 1 4 =2(a 2b + b2 c + c 2 a)+ a + b + c -(a 2+ an+ 1 = an + (1)229an b2 + c +2ab +2bc +2ca) 2) 然数 .求证对任何 n N ,数 4/ 9an 2-8恒为自2a =-(a (2-bc a -2)+ (b -b2)+ -(c 2-c 2 ca)-(2ab 2c (1 -c)-2ab.命题背景 ,本题由 1991年全苏数学冬令营的一道试题改编而成 .-b)-2ca (1 -c) = a (1 -a) (1-2b)+ b (1 -b) (1-2c)+ 下,4/1n =9an 12 -时,结论显然成立 ;-8)均为自然数 . 2设当 n = k (k N )时结论成立 ,即 4/ 9ak 2-8和 24ak /(9ak 2-8)均为自然数 ,则当 n = k +1时, 224ak+1/(9ak +1 -8)= 24 . (1 +2 ak 44) /(3 ak + )2-8 9ak 23ak 43ak 4 = 24 ( 1 ak +) /-2 29ak 23ak 2 2 8)2 = 48ak (9ak + 8) /(9ak = 24ak /(9ak 2-8). 2. 1+ 16/(9ak 2-8)由归纳假设 , 24ak /(9ak 2-8)和 16/(9ak 28)均为自然数 ,故 24ak +1/(9ak 2+1 -8)为自然数 ;又易知 an 2 32,故 4k 2+1 -8=/ 9a 43ak 4)2 )24/ 9( 21 ak + -8=4/ (9ak 23ak 44/3ak = -= 24ak /9ak -8= 23ak 12 1 24ak /(9ak 2-8)2故由归纳假设知 4/ 9ak +1-8亦为自然数,故当 n = k +1时结论仍成立 .由 1和 2知对任何 n:N ,结论成立 . 1252设 a, b, c是周长为 1的三角形的三条边长 ,试证 ; a 2b + b2 c + c 2 a 81.证由条件 a + b + c =1易知 a + b c. (1 -c)(1-2a) = a (1 -a)(a + b + c -2b)+ b (1 -b)(a + b + c -2c)+ c (1 -c)(a + b + c -2a) = a (1 -a)(a + c -b)+ b (1 -b)(a + b c)+ c (1 -c)(b + c -a). ()由题设条件及算术 几何平均值不等式得 1 a (1 -a)(a + c -b) (a + c -b),4 1b (1 -b)(a + b -c) (a + b -c),4 1 c (1 -c)(b + c -a) (b + c -a),4 a + b + c = 1,上面三式不能全取等号 , ()式 41(a + c -b)+ 41(a + b c) +214 . b2(b + c 2-a)=1 14(a + b + c) = 14,即 2(ab + c + ca) 4, a 2b + b2 c + c 2 a 81. 1253设四面体 A 1A 2A 3A 4的外接球与内切球的半径分别为 R与 r,则 R 3r.证明记四面体 A 1A 2A 3A 4的外接球球心为 O , Ai对面三角形的面积为 Si (1 i 4) ,球心 O到Ai对面的距离为 ri (1 i 4) ,四面体体积为 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. V ,过顶点 A 1的高 A 1H = h1,如图所示 ,易知 r1+ oA 1= r1+ R h1, 13 S 1(r1+ R ) 13 S 1h1 = V即 31 S 1 r1+ 31 S 1R V ,同理得 31 S 2 r2+ 1 S 2R V 3 11 11 3 S 3 r3+ 3 S 3R V ,3 S 4 r4+ 3 S 4R 1 122) , BF 2V将 + + +并注意到 13 (S 1 r1 =4 a= 4 (2(b4 + S 2 r2+ S 3 r3+ S 4 r4) = V得: VR 3 a41 2 (AF 2+ BF 2) -a 2 ,由i=1 4 此求得 R i= 4 r Si,4V ,即 3 i=1 4 R Si 3rSi,即 R 3r. i=1 i=1 1254设 ma、mb、mc分别是 ABC的三边 a、b、c上的中线 ,且 a b, a c,求证 : 1 mb + mc -2ma (2a -b -c) (1)2 证先证 mb -ma 12 (a -b) (2) a b, mb ma ,由三角形中线公式 1 mb -ma (a -b)2 1 22 b22c +2a -2 1 ( 2b2+ 2c 2-a 2) (a -b)2 4c 22 b2+ a + -2 22 22 b2(2c +2a -b2) (2b2+ 2c -a 2) a +2ab 2c 2+ ab 22 2(2c +2a -b2) (2b2+ 2c -a 2) 222 2 (2c + ab)2 (2c +2a -b2) (2b2+ 2c a 2) 4 2222 (a + b4-2ab2)-(b2 c + ca -2abc2) 0 (a 2 b2)2 2(ab)2 0-c (a -b) 2(a + b -c)(a -b + c) 0由此 , (2)式成立 .同理可证 : mc -ma 12 (a -c) (3) (2) + (3)知 (1)成立 . 1255四面体 A -B CD三组对棱分别为 a、a, b、 b, c、c,这三组对棱距离为 d 1, d 2, d 3,这三组对棱中点距离为 m 1, m 2, m 3,外接球半径为 R ,内切球3 半径为 r.试证 :(mi )2 4(R 2)-27.i=1 di r 证明分别记 AB、CD , AC、BD , AD、BC分别为 a、a, b、b, c、c,若取 AB、CD的中点 E , F ,在 A CD , B CD , AB F中,由中线长公式 ,有 1 22 22 m 21= EF 2= (b2+ b+ c + c-a 4 2)a对 两边取 ,可见 3 212 2 b2 22 2)mi =(a + a+ b+ c + c i=1 4 由本栏 1054题之解答 ,知 4 22 22 2) 216S 2 i = 4aa-(b2+ b-c + ci=1 2 222 22 22) 2+ 4b2b-(a + a-c -c+ 4cc-(a 2 b2 2) 2+ a-b若记 a、a, b、b, c、c夹角为 1, 2, 3,有 aad 1sin1= bbd 2sin2= ccd 3sin3= 6V (见本栏 1010题之解答 ),由此结合对棱夹角22 2公式 co s1= 1b2+ b-c -c(2aa) ,可见 3 1/(6V )2d 2 i =(aa)2sin21+ (bb)2sin22+ i=1 1 22 22(cc)2sin23= 44aa-(b2+ b-c . 2 222 c4b2b-+ a-c -2)2 + 2)2+ (ac22 22 b2 2) 24cc-(a + a-b若记四面体各高为 hi (1 i 4) ,由 可见 3 4411 1 = S 2= i i=1 i=1 i=1d 2 i (3V )2 h2 i 由本栏 975题之解答 ,可见 (下转第 40页) 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 2000年第 6期数学通报 组.将表 2数据代入 (315), (317)得: a +51909090909 b =11950086435 . a +71784615385 b =2152642192 . 解 (318)有 (331189)a =01134264343 b =01307292969 于是 ea =11143695108 = (3110) = b = 南北极冰雪将融化 ,喜马拉雅山山顶及世界各国高山山顶的终年积雪将消失 ,换来的是整个地球海平面将有极大的上升 ,海洋中许多岛屿将被吞没于海水之中 ,据推测英国三岛也将位于海平面之下 ,到那时将是一种什么情景 ?!因此 ,人类为了全球的共同利益 ,从现在起必须齐心协力 ,系手合作,采取有效措施 ,防止悲剧发生 . 4结束语,占有一定比重 .用初考,实为抛砖引玉 .相信有许多看来复杂的实际问题,经过人们刻苦研究 ,会给出一些十分有用的精彩结果 ,使我们初等数学模型探讨工作得到进一步发展 .参考文献 11姜启源编 .数学模型 .北京 :高等教育出版社 , 1993. 21DavidBurghes. MathematicalModelling.中译本 ,数学建模 .D 1佰格斯著 .叶其孝 ,吴庆保译 .北京 :北京图书出版公司北京公司 , 1997. 31葛福生编 .数值计算方法 .南京 :河海大学出版社 , 1996. 41邓成梁编 .运筹学的原理和方法 .武汉 :华中理工大学出版社 , 1998. 1256求 777 (n个 7, n 3)的末四位数 , (徐道提供 ) 1257已知 a, b, c为正数 ,求证 b + ca + ca + b+ + 3 2. abc (宋庆提供 ) 1258C是以 AB为直径的半圆上一点 (AC BC ), D在BC上, BD = AC , F是AC上的一点 , BF交AD于 E ,且 B ED = 45,求证 AF = CD. (陈开龙提供 ) 1259已知 : ABC边 a,