福建省厦门一中高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设全集u=xz|1x5，a=1，2，5，b=xn|1x4，则bua=( )a0，3b3c0，4d0，3，42在复平面内，复数z=，则其共轭复数z对应的点位于( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3下列说法错误的是( )a命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”b“x1”是“|x|1”的充分而不必要条件c若p且q为假命题，则p、q均为假命题d命题p：“存在xr，使得x2+x+10”，则非p：“任意xr，均有x2+x+10”4已知数列an为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为( )abcd5如图，d，c，b在地平面同一直线上，dc=10m，从d，c两地测得a点的仰角分别为30和45，则a点离地面的高ab等于( )a10mb5mc5（1）md5（+1）m6已知函数f（x）=且f（a）=3，则f（6a）=( )abcd7函数的部分图象，如图所示，若，则等于( )abcd8变量x，y满足约束条件，若z=2xy的最大值为2，则实数m等于( )a2b1c1d29已知f（x）=ex，xr，ab，记a=f（b）f（a），b=（ba）（f（a）+f（b），则a，b的大小关系是( )aabbabcabdab10函数y=ln|x1|的图象与函数y=2cosx（2x4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )a8b6c4d211设函数f（x）在r上存在导数f（x），xr，有f（x）+f（x）=x2，在（0，+）上f（x）x，若f（4m）f（m）84m则实数m的取值范围为( )a2，2b2，+）c0，+）d（，22，+）12若数列an满足：存在正整数t，对于任意正整数n都有an+t=an成立，则称数列an为周期数列，周期为t已知数列an满足a1=m（m0），则下列结论中错误的是( )a若a3=4，则m可以取3个不同的值b若，则数列an是周期为3的数列ctn*且t2，存在m1，使得an是周期为t的数列dmq且m2，使得数列an是周期数列二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知（，），其cos=，则tan=_14曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为_15给定平面上四点a，b，c，d，满足ab=2，ac=4，ad=6，=4，则dbc面积的最大值为_16已知曲线c：y2=2x+a在点pn（n，）（a0，nn）处的切线ln的斜率为kn，直线ln交x轴，y轴分别于点an（xn，0），bn（0，yn），且|x0|=|y0|给出以下结论：a=1；当nn*时，yn的最小值为；当nn*时，kn；当nn*时，记数列kn的前n项和为sn，则sn其中，正确的结论有_（写出所有正确结论的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17设函数f（x）=|xa|（）当a=2，解不等式f（x）4|x1|；（）若f（x）1的解集为x|0x2，+=a（m0，n0）求证：m+2n418已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，且当x0，时，f（x）的最小值为2（）求f（x）的单调递增区间；（）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间0，上所有根之和19在如图所示的几何体中，abc为正三角形，ae和cd都垂直于平面abc，且ae=ab=2，cd=1，f为be的中点（i）求证：平面dbe平面abe；（ii）求直线bd和平面acde所成角的余弦值20已知各项不为零的数列an的前n项和为sn，且满足sn=a1（an1）；数列bn满足anbn=log2an，数列bn的前n项和tn（）求an，tn（）若nn+，不等式t2+2t+3tn成立，求使关于t的不等式有解的充要条件21如图，已知椭圆c的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆c上有一点m（2，1），直线l平行于om且与椭圆c交于a、b两点，连ma、mb（1）求椭圆c的方程（2）当ma、mb与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围22已知函数f（x）=，其中a，br，e为自然对数的底数（1）当a=b=3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x6时，若函数h（x）=f（x）ex（x3+b1）存在两个相距大于2的极值点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数g（x）在（6，m），（2，n）上单调递减，在（m，2），（n，+）单调递增，试证明：f（nm）2015-2016学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设全集u=xz|1x5，a=1，2，5，b=xn|1x4，则bua=( )a0，3b3c0，4d0，3，4【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】计算题【分析】由已知中全集u=xz|1x5，a=1，2，5，b=xn|1x4，根据补集的性质及运算方法，我们求出cua再根据交集的运算方法，即可求出答案【解答】解：全集u=xz|1x5=1，0，1，2，3，4，5，a=1，2，5，cua=1，0，3，4又b=xn|1x4=0，1，2，3bcua=0，3故选a【点评】本题考查的知识点是交、并、补的混合运算，其中将题目中的集合用列举法表示出来，是解答本题的关键2在复平面内，复数z=，则其共轭复数z对应的点位于( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】计算题；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出的坐标得答案【解答】解：z=，则z的共轭复数对应的点的坐标为（），位于第四象限故选：d【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3下列说法错误的是( )a命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”b“x1”是“|x|1”的充分而不必要条件c若p且q为假命题，则p、q均为假命题d命题p：“存在xr，使得x2+x+10”，则非p：“任意xr，均有x2+x+10”【考点】命题的真假判断与应用 【专题】规律型【分析】a中命题的逆否命题是条件与结论互换并且否定；b中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立；c中p且q为假命题时，则p或q为假命题，或p、q都是假命题，即一假则假；d中非p是特称命题的否定【解答】解：a、命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x1，则x23x+20”，命题正确；b、当x1时，|x|1成立，当|x|1时，有x1或x1，原命题正确；c、当p且q为假命题时，有p或q为假命题，或p、q都是假命题，原命题错误；d、命题p：“存在xr，使得x2+x+10”，则非p：“任意xr，均有x2+x+10”，命题正确故选：c【点评】本题考查了四种命题之间的关系，以及命题的否定，命题真假的判定等知识，是基础题4已知数列an为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为( )abcd【考点】等比数列的性质；诱导公式的作用 【专题】计算题【分析】由题意可得=a2a12，再由已知条件求得a2a12=，再利用诱导公式求出tan（a2a12）的值【解答】解：数列an为等比数列，=a2a12 再由 可得 a2a12=tan（a2a12）=tan=tan=，故选a【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，诱导公式的应用，属于中档题5如图，d，c，b在地平面同一直线上，dc=10m，从d，c两地测得a点的仰角分别为30和45，则a点离地面的高ab等于( )a10mb5mc5（1）md5（+1）m【考点】解三角形的实际应用 【专题】解三角形【分析】分别在rtabc和rtabd中用ab表示出bc，bd，作差建立方程求得ab【解答】解：在rtabc中，bc=ab，在rtabd中，bd=ab，又bdbc=10，abab=10，ab=5（+1）（m），故a点离地面的高ab为5（+1）m，故选d【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生的观察思考能力6已知函数f（x）=且f（a）=3，则f（6a）=( )abcd【考点】分段函数的应用；函数的零点 【专题】函数的性质及应用【分析】由f（a）=3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6a）的值【解答】解：函数f（x）=且f（a）=3，若a1，则2a12=3，即有2a1=10，方程无解；若a1，则log2（a+1）=3，解得a=7，则f（6a）=f（1）=2112=故选：a【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题7函数的部分图象，如图所示，若，则等于( )abcd【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的运算 【专题】三角函数的图像与性质【分析】由，可求得abc=120，再由函数最大值为，通过解三角形可求得周期，由此即可求得值【解答】解：由，得|cos（abc）=，即|（cosabc）=，由图知|=2|，所以cosabc=，即得abc=120，过b作bdx轴于点d，则bd=，在abd中abd=60，bd=，易求得ad=3，所以周期t=34=12，所以=故选b【点评】本题考查由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式及平面向量数量积的运算，解决本题的关键是由所给数量积求出abc=1208变量x，y满足约束条件，若z=2xy的最大值为2，则实数m等于( )a2b1c1d2【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得a（），化目标函数z=2xy为y=2xz，由图可知，当直线过a时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1故选：c【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题9已知f（x）=ex，xr，ab，记a=f（b）f（a），b=（ba）（f（a）+f（b），则a，b的大小关系是( )aabbabcabdab【考点】指数函数单调性的应用 【专题】计算题【分析】利用特殊值验证，推出a，b的大小，然后利用反证法推出a=b不成立，得到结果【解答】解：考查选项，不妨令b=1，a=0，则a=e1，b=（e+1）e3，2e2e+1e1（e+1）即ab排除a、b选项若a=b，则ebea=（ba）（eb+ea），整理得：（2b+a）eb=（ba+2）ea观察可得a=b，与ab矛盾，排除d故选：c【点评】本题考查函数的单调性的应用，选择题的解法，如果常用直接法，解答本题难度比较大考查学生灵活解题能力10函数y=ln|x1|的图象与函数y=2cosx（2x4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )a8b6c4d2【考点】数列的求和；根的存在性及根的个数判断 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案【解答】解：由图象变化的法则可知：y=lnx的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=ln|x|的图象，向右平移1个单位得到y=ln|x1|的图象，再把x轴上方的图象不动，下方的图象对折上去可得g（x）=ln|x1|的图象又f（x）=2cosx的周期为t=2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得：xa+xb=2，xd+xc=2，xe+xf=6故所有交点的横坐标之和为6故选b【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题11设函数f（x）在r上存在导数f（x），xr，有f（x）+f（x）=x2，在（0，+）上f（x）x，若f（4m）f（m）84m则实数m的取值范围为( )a2，2b2，+）c0，+）d（，22，+）【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】令g（x）=f（x）x2，由g（x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数利用导数可得函数g（x）在r上是减函数，f（4m）f（m）84m，即g（4m）g（m），可得 4mm，由此解得a的范围【解答】解：令g（x）=f（x）x2，g（x）+g（x）=f（x）x2+f（x）x2=0，函数g（x）为奇函数x（0，+）时，g（x）=f（x）x0，故函数g（x）在（0，+）上是减函数，故函数g（x）在（，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在r上是减函数，f（4m）f（m）=g（4m）+（4m）2g（m）m2=g（4m）g（m）+84m84m，g（4m）g（m），4mm，解得：m2，故选：b【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题12若数列an满足：存在正整数t，对于任意正整数n都有an+t=an成立，则称数列an为周期数列，周期为t已知数列an满足a1=m（m0），则下列结论中错误的是( )a若a3=4，则m可以取3个不同的值b若，则数列an是周期为3的数列ctn*且t2，存在m1，使得an是周期为t的数列dmq且m2，使得数列an是周期数列【考点】命题的真假判断与应用 【专题】等差数列与等比数列【分析】利用周期数列的定义，分别进行推理证明【解答】解：对于选项a，因为，所以，因为a3=4，所以a2=5或，又因为，a1=m，所以m=6或m=或m=，所以选项a正确；对于选项b，1，所以；所以，所以，所以数列an是周期为3的数列，所以选项b正确；对于选项c，当b可知当1时，数列an是周期为3的周期数列，所以c正确故错误的是d故选d【点评】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知（，），其cos=，则tan=2【考点】同角三角函数基本关系的运用 【专题】三角函数的求值【分析】由cos的值及的范围，求出sin的值，即可确定出tan的值【解答】解：（，），cos=，sin=，则tan=2，故答案为：2【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键14曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为【考点】定积分在求面积中的应用 【专题】计算题【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积s=01（xx2）dx而01（xx2）dx=（ ）|01=曲边梯形的面积是 故答案为：【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于基础题15给定平面上四点a，b，c，d，满足ab=2，ac=4，ad=6，=4，则dbc面积的最大值为【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算 【专题】解三角形；平面向量及应用【分析】先利用向量的数量积公式，求出bac=60，利用余弦定理求出bc，由等面积可得a到bc的距离，即可求出dbc面积的最大值【解答】解：ab=2，ac=4，=4，cosbac=，bac=60，bc=，设a到bc的距离为h，则由等面积可得=，h=2，dbc面积的最大值为（2+6）=故答案为：【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出bc，a到bc的距离是解题的关键，属中档题16已知曲线c：y2=2x+a在点pn（n，）（a0，nn）处的切线ln的斜率为kn，直线ln交x轴，y轴分别于点an（xn，0），bn（0，yn），且|x0|=|y0|给出以下结论：a=1；当nn*时，yn的最小值为；当nn*时，kn；当nn*时，记数列kn的前n项和为sn，则sn其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法【分析】求出导数，求出切线的斜率，求出切线方程，令x=0，y=0，n=0，得到方程，解得a，即可判断；令=t（t），得到yn在t上递增，即可得到最小值，即可判断；令u=（0u），则有y=sinuu，求出导数，判断单调性，即可判断；由于（）2（当且仅当a=b取等号），则有，则有=（），再由裂项相消求和，即可判断【解答】解：对于，由y2=2x+a，当x0时，y=，y=，则kn=，切线方程为y=（xn），令x=0，则y=，令y=0，则x=n（2n+a）=na，即有xn=na，yn=，由于|x0|=|y0|，则|a|=|，解得，a=1，则正确；对于，由于yn=，令=t（t），则yn=（t+）在t上递增，则有t=取得最小值，且为（）=，则错误；对于，当nn*时，kn=，令u=（0u），则有y=sinuu，y=cosu1，由于0u，则，即有y0，y在0u上递增，即有y0，即有kn成立，则正确；对于，当nn*时，记数列kn的前n项和为sn，kn=由于（）2（当且仅当a=b取等号），则a+b，则有，则有=（），则sn=+（）+（）+（）=（1）则正确故答案为：【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的单调性的运用：求最值和比较大小，考查数列的求和：放缩和裂项相消法，属于中档题和易错题三、解答题（共6小题，满分70分）17设函数f（x）=|xa|（）当a=2，解不等式f（x）4|x1|；（）若f（x）1的解集为x|0x2，+=a（m0，n0）求证：m+2n4【考点】绝对值不等式的解法 【专题】不等式【分析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集x|0x2确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明【解答】解：（i）当a=2时，不等式f（x）4|x1|即为|x2|4|x1|，当x1时，原不等式化为2x4+（x1），得，故；当1x2时，原不等式化为2x4（x1），得25，故1x2不是原不等式的解；当x2时，原不等式化为x24（x1），得，故综合、知，原不等式的解集为（）证明：由f（x）1得|xa|1，从而1+ax1+a，f（x）1的解集为x|0x2，得a=1，+=a=1又m0，n0，m+2n=（m+2n）（+）=2+（），当且仅当即m=2n时，等号成立，此时，联立+=1，得时，m+2n=4，故m+2n4，得证【点评】1已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值2本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性18已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，且当x0，时，f（x）的最小值为2（）求f（x）的单调递增区间；（）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间0，上所有根之和【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；函数y=asin（x+）的图象变换 【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】（）由向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换，得到f（x）=2sin（2x+）+m+1，再由当x0，时，f（x）的最小值为2，求出由此能求出f（x）的单调递增区间（）由函数y=f（x）伸缩变换、平移变换得到，由此能求出方程g（x）=4在区间0，上所有根之和【解答】解：（）向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，f（x）=2sin（2x+）+m+1，x0，时，f（x）min=2+m+1=2，解得m=2，令2k，得f（x）的增区间为k，k+，（kz）（）函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到f（x）=2sin（4x+）+3，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，g（x）=4，解得4x=2k或4x=2k，kz，或x=，kz，x=或x=，故所有根之和为：=【点评】本题考查三角函数的增区间的求法，考查三角方程所有根之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换、伸缩变换、平移变换的合理运用19在如图所示的几何体中，abc为正三角形，ae和cd都垂直于平面abc，且ae=ab=2，cd=1，f为be的中点（i）求证：平面dbe平面abe；（ii）求直线bd和平面acde所成角的余弦值【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 【专题】计算题；证明题【分析】（）取ab中点g，由题意可知四边形cdfg为平行四边形，可得cgdf根据题意可得：平面abe平面abc，可得cg平面abe，进而得到df平面abe，即可证明面面垂直（ii）取ac中点m，连接bm、dm，所以bmac，又平面acde平面abc，所以bm平面acde，所以bdm为所求的线面角，再结合解三角形的有关知识求出线面角即可得到答案【解答】解：（i）证明：取ab中点g，则四边形cdfg为平行四边形，cgdf又ae平面abc，ae平面abe平面abe平面abc，交线为ab又abc为正三角形，g为ab中点cgab，cg平面abe，又cgdf，df平面abe，又df平面dbe平面dbe平面abe（ii）解：取ac中点m，连接bm、dm，abc为正三角形，m为ac中点，bmac又ae平面abc，ae平面acde平面acde平面abc，bm平面acdebdm为所求的线面角又因为abc为正三角形且ab=2，所以bm=，bc平面abc，所以cdbc，所以bd=，所以cosbdm=故直线bd和平面acde所成角的余弦值为【点评】本题考查直线与平面面垂直的判定定理，并且也考查求直线与平面所成的角的有关知识，找出直线与平面所成的角是解题的难点和关键，属于难题20已知各项不为零的数列an的前n项和为sn，且满足sn=a1（an1）；数列bn满足anbn=log2an，数列bn的前n项和tn（）求an，tn（）若nn+，不等式t2+2t+3tn成立，求使关于t的不等式有解的充要条件【考点】数列的求和 【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】（）利用递推式及其等比数列的通项公式即可得出；利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出tn（）由bn各项大于0，可得tn的最小值为t1=b1=，由题意可得t2+2t+3，即2t2+4t+50，关于t的不等式有解，只要=162400，解得即可得到充要条件【解答】解：（）当n=1时，a1=a1（a11），a10，解得a1=2当n2时，an=snsn1=2（an1）2（an11），化为an=2an1，数列an是等比数列，an=2n又数列bn满足anbn=log2an，bn=tn=+，tn=+，tn=+=1，tn=2；（）由于bn=0，即有tn的最小值为t1=b1=，nn+，不等式t2+2t+3tn成立，即有t2+2t+3，即2t2+4t+50，关于t的不等式有解，只要=162400，解得或则使关于t的不等式有解的充要条件是或【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式有解的条件，考查错位相减法求和的方法，属于中档题21如图，已知椭圆c的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆c上有一点m（2，1），直线l平行于om且与椭圆c交于a、b两点，连ma、mb（1）求椭圆c的方程（2）当ma、mb与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【专题】计算题【分析】（1）抛物线的焦点，又椭圆c上有一点m（2，1），由此可求出椭圆方程（2）设直线在y轴上的截距为m，则直线，由直线l与椭圆c交于a、b两点，可导出m的取值范围是m|2m2且m0，设ma、mb的斜率分别为k1，k2，k1+k2=0，然后结合题设条件和根与系数的关系知ma，mb与x轴始终围成等腰三