易拉罐设计数学模型.doc

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛山西赛区吕梁高等专科学校第五队参赛队员：1. 张晶晶 2. 刘美琴 3. 王超鹏 指导教师： 王亮亮 2006 年 9 月 18 日2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 吕梁高等专科学校 参赛队员 (打印并签名) ：1. 张晶晶 2. 刘美琴 3. 王超鹏 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 王亮亮 日期： 2006 年 9 月 18 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：易拉罐形状和尺寸的设计摘要本文研究易拉罐的形状和尺寸的设计问题。体积给定的圆柱体，其表面积最小的尺寸（半径和高）为多少？从纯数学的观念出发，这个尺寸（半径和高）为1：2。也就是说，对于易拉罐而言，当高是半径的2倍时，其表面积最小。即易拉罐设计成等边圆柱时，消耗的材料较少，生产成本较低。但在实际生活中，我们所看到的易拉罐不是等边圆柱的，有的长些，有的短些，生活中（市场上）的易拉罐为什么会是这样呢？经过我们调查测量，也发现销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎是一样的。经过测量生活中（市场上）饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.4/10.3=0.621，非常接近黄金分割比0.618。这是巧合，还是这样的比例看起来最舒服，最美？看来，这样并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。事实上，体积一定的易拉罐的形状和尺寸的设计问题，不仅与表面积的大小有关，而且还与易拉罐的上、下底面和侧面所用材料的价格有关，也与制造过程中焊接口的工作量的多少和焊缝长短有关。此时，易拉罐就不再是等边圆柱了。在本文讨论中，我们假设1、不考虑制造过程中焊接口的工作量的多少和焊缝长短问题，只考虑了表面积和所用材料的问题；2、不考虑易拉罐底部上拱问题，模型中模型的底部以平底处理；3、不考虑易拉罐的拉环。在以上假设的基础之上我们以355ml的可口可乐饮料罐的形状和尺寸为例进行讨论，应用层次分析法逐步建立了四个模型。应用初等数学的知识算出了各个模型中的高和半径的比值、表面积和成本，最终讨论计算结果认为当高与半径之比4.68827时，模型基本上与市场上的易拉罐形状和尺寸相同。然后我们对生活中355ml的可口可乐饮料罐给出了我们自己的关于易拉罐的形状和尺寸的设计。关键词：等边圆柱 易拉罐 注：本文中提到的等边圆柱是指：圆柱的高与圆柱的底面直径之比为1：1的圆柱体。一、问题的提出体积给定的圆柱体，其表面积最小的尺寸（半径和高）为多少？从纯数学的观念出发，这个尺寸（半径和高）为1：2。也就是说，对于易拉罐而言，高是半径的2倍时，表面积最小。即易拉罐设计成等边圆柱形时，消耗的材料最少，生产成本最低。但在实际生活中，我们所看到的易拉罐不是等边圆柱形的，有的长些，有的短些，这是为什么呢？由于在现实生活中，销量广的饮料的饮料罐在形状与尺寸上存在着惊人的相似（如表1），这就不能不引起人们的关注。既然它能如此大面积、大范围的应用，其内部必定存在着一定的合理性及科学性，能给商家以无尽的利润。表1 参数产品圆柱体直径圆台上直径圆柱体材料的厚度圆台盖材料的厚度圆柱体高圆台高百事可乐65.5658.680.140.49109.8613.25可口可乐66.4059.060.140.47110.4812.96醒目65.8258.650.150.48110.4012.52雪碧64.6058.840.140.49110.1212.64现要我们在体积一定的情况下（355ml），根据一定的理论，建立起数学模型，使其用料最少，赢利最大。达到一种最优化的效果。 下面是关于355ml可口可乐饮料罐的有关数据（如表2）： （单位：mm）表2 参数次数圆柱体的直径圆台上盖直径圆柱体材料的厚度圆台盖材料的厚度圆柱体高圆台高饮料罐总高第一次66.0059.120.140.48110.0012.30122.40第二次65.9059.340.160.50111.2013.22124.66第三次66.1058.900.140.46110.2012.90123.22平均值66.0059.120.140.48110.4712.81123.43附：此数据是我们组的3位同学用游标卡尺分别测量所得。二、模型的建立及求解模型：根据等周原理，在所有周长一定的闭合图形中，圆的面积最大。所以在面积一定的情况下，圆的周长最短。在实际应用中，由于圆球的制造与应用的局限，所以我们一般选用易拉罐的的形状为圆柱体还是具有一定的合理性。事实上，由于制造工艺等因素，它不能正好是数学上的圆柱体，但这种化简假设是近似的合理的，材料的厚度以及切割损耗等忽略。因此在这种前提下假设：1模型是用同一材料制成的正圆柱体，且其材料的厚度不记。2圆柱体的半径为r，高为h，表面积为S，体积为V。示意图如下： 图1根据图示有： 由，得 ： 代入，建立模型有： 化简为 为了求的S的极值，将S对r求导，得： 令,解得： , 对于装有355ml的可口可乐易拉罐，当它的半径mm，mm时，用材最少，此时的表面积约为277.4981154。为了验证r确实是使S达到极小，计算S的二阶导数，所以这个r确实是使S达到局部极小，因为极小点仅一个，因此这个点也是最小点。所以当圆柱体易拉罐的高度与底面直径相等时，它所需材料最少。即当易拉罐采取圆柱体形状在时，为它的最优化设计。但此时的结果与我们所测的易拉罐的尺寸并不相同（比如：我们所计算的结果h:r=1：2，而所测量的结果比为1：3.74），也即不能合理地说明我们所测量的尺寸。模型：在理论上得出模型的基础上，又考虑到罐内饮料存在气体使罐内压强增大，所以在设计时我们必须为其预留一定空间以缓解罐所受到的压力。假设：11立方厘米的水和饮料的重量都是1克。则对于355ml（即355克）的可口可乐，我们测得未打开罐时饮料罐的重量为370克，空的饮料罐重量为15克，装满水的饮料罐重量为380克，这说明饮料罐不能装满饮料，而是留有10ml的空间余量。于是我们在模型的基础上另加一个体积为10ml的正圆台，来作为易拉罐的空间余量。（圆台除了可以节约成本外，还能起到减少压力，使封装结实的作用）。2易拉罐材料的厚度不记。3圆柱体的半径与高同模型相同，圆柱体的上部是一个上半径为，高为的正圆台。该模型总高为H。 4为了保证模型的圆柱体与我们所加的正圆台之间衔接牢固、耐压。我们不妨设圆台母线与其底面的斜率为0.3。示意图如下： 图2建立模型，则有：圆台体积将模型中的r值代入，求得：则圆台的高为： 因此模型的总表面积为：代入r、h、的值，有； 此时，即时，为它的最优化设计。此种结果也不能合理地说明我们所测量的易拉罐的尺寸模型假设：1. 模型的形状与模型保持一致,同时模型各部分的材料也相同。2考虑到实际中易拉罐上底的强度必须要大一点，因此顶部的厚度与侧面的厚度不同。我们假设罐侧面的厚度为b，顶部的厚度为3b。3模型的底部与侧面的厚度相同。模型侧面所用材料的体积为： 模型顶盖所用材料的体积为： 模型底部所用材料的体积为： 模型圆台侧面所用材料的体积为： 模型总体所用材料的体积为： 因为br，所以带，的项可以忽略，因此： =4.5693085343657ml模型下底的面积为： 模型柱身的面积为： 模型圆台顶盖的面积为： 模型圆台侧面的面积为： 模型总的表面积为： 代入相关数据，有： 此时，模型的高模型的高顶盖厚b底厚b，模型的半径模型的半径r侧面厚b。即时，为它的最优化设计。模型考虑到现实中材料造价的不同，为了使生产成本降低。那么当高与半径之比为多少时才能使造价最少，这不能不做为我们思考的一个问题。假设：1. 模型顶盖的单位造价为p，其他部分的单位造价为q。（盖料价格最贵，通常为LME A199.7原铝锭价格加15001800美元/吨。罐身价格为.A199.7价格加700美元/吨。） 2.我们先不计圆台，把模型看成一个圆柱体，此时圆台的高为h（外高），底面半径为r（外径）。 3.体积v表示模型的总体积，包括材料体积、饮料体积以及空余量体积。（数值上大约等于369.5693085343657ml）圆柱体的体积为：（1）圆柱体的造价为： （）由（1）式得：（3） 将（3）式代入（2）式，得： 将y对r求导，有：令，得：将有关数值代入，解得：mm mm 此时，模型的表面积为： 代入相关数据，有： 此时，即，时，为它的最优化设计。模型我们以355ml可口可乐饮料罐为例，考虑到厂家制造商品的利益情况，在设计时应尽量地降低材料减少造价。因此作出如下假设：1罐内压强变大一点，罐顶盖能承受住。2模型内部还必须预留一定的空间余量。3罐底的半径一定，数据上我们取测得的33mm。原剩余空间为10ml。4将圆台近似看作圆柱体。建立新模型：10ml剩余空间的高为： 不妨现在我们将高下降1mm，则下降后表面积的减少量为： S=2r1207.24体积减少量为： v=13419.46此时罐内的剩余空间为： 另外，从降低材料减少造价的角度分析，我们还可以从以下角度入手：1如果不考虑饮料的酸碱度，我们可以在现有基础上减薄罐壁的厚度。亦即如果罐内装的饮料酸碱度比现有小的话，我们就可以再次减薄罐壁的厚度。2考虑到罐底压力不均，我们可以让罐底拱部从下到上依次减薄。3为了保证在须锻压处的弯度耐度，我们可以考虑在哪儿换一种材料。4我们可以用化学材料以及纸制品来代替现用的铝材。5我们可以采用吸管，这样不仅减少了拉环的材料，而且顶部也减少了一部分材料。并且还具有卫生的作用。三、模型结果分析在研究的过程中，模型、都是在理论计算上所得到的，它没有考虑到实际的其它因素。而模型是通过造价的不同、美观程度等把模型给予“瘦身”。虽然模型的总表面积大于模型、的总表面积，但它是更符合实际的，更正确的选择。对于我们所重新设计的模型，首先从造价方面考虑，节约了材料，另外从其它的角度入手，分别考虑到了诸多可以减少造价的因素，所以我们提出了模型独到的优化。通过对本课题的研究，从建立最简单的模型开始，步步逼近，首先解释了现实中易拉罐的模型，最后得出了新的合理的易拉罐的最优设计。同时通过我们的切身参与，使我们能够更深入的了解自然，走向社会，养成科学的精神和态度，提高综合应用所学知识与解决实际问题的能力。四、参考文献【1】蔡锁章 教学建模 中国林业出版社 2003年7月【2】赵静 但琦 数学建模与数学实验 高等教育出版社 2004年5月【3】姜启源 谢金星 叶俊 数学模型 高等教育出版社 2003年8月【4】袁震东 蒋鲁敏 束金龙 数学建模简明教程 华东师范大学出版社 2001年6月对数学建模的认识从未学习过数学建模，也未参加过数学建模的我们，仅从自己课外的阅历上了解了有关数学建模的点点知识，但书本上所叙述的数学建模与今天所实践的数学建模在步骤上是十分相似的。也即：第一：对实际问题事件或系统进行观察，深刻了解实际问题的背景，明确建模的目的，进行深入细致的调查研究，尽量掌握建模对象的各种信息的数据。第二：找寻实际问题的内在规律，把实际问题适当的简化或理想化，这就须作出一定符合实际背景的假设，初步确定描述问题的变量和参数及相互关系。第三：根据问题的要求和假设，利用某种“定律”及恰当的数学方法建立变量和参数间的确定的关系。第四：解析或“近似”地求解该数学问题。第五：根据模型的特点和模型求解的结果，进行分析、解答、预测或提供最优决策的控制方案，最后将模型的结果与实际情况相比较，检验模型是否合理，并说明模型的使用范围及注意事项。第六：如果我们模型的结果与实际情况相差甚远，则须重新观察、分析实际问题，修改模型；如果结果与实际情况相符，我们才可接受。第七：把所得到的数学模型应用到实际问题中去。所以说数学建模概括起来也就是这7个步骤的重复过程。对于这一过程的七个步骤我们可以循环往复，直至获得满意的结果为止。针对本题，我们则认为数学建模它的关键步骤为：模型的假设。这就要求我们从实际情况出发，作出合理的假设，进而才能得到合理的数学模型，对于本题，我们只有通过假设使模型简化，合理，再一步一步逼近，才能使易拉罐的形状和尺寸得到最优的设计。如果没有假设，我们还须考虑到外部的诸多因素：假使