数列单调最重要的应用.doc

数列单调性最重要的应用数列单调性是数列最重要的性质之一，也是解决数列问题的最重要的方法之一，判断数列单调性的方法常用的有两个，一个是利用数列对应的函数的单调性，另一个是对数列的前后项作差（或作商）比较法判断，而数列单调性的应用更为重要，以下就最常见的两类应用举例说明。应用一：解决数列恒成立问题例1、已知a0，且a1，数列an的前n项和为Sn，它满足条件，数列bn中，bn=anlgan。（1） 求数列bn的前n项之和Tn；（2） 若对一切nN*都有bnbn+1，求a的取值范围。解析：（1），当n=1时，当n2时，an=Sn-Sn-1= an=an（nN*）此时bn=anlgan=anlgan=nanlga Tn=b1+b2+bn=lga(a+2a2+3a2+nan)设un=a+2a2+3a3+nan，则aun=a2+2a3+3a4+(n-1)an+nan+1 (1-a)un=a+a2+a3+an-nan+1= （2）由bnbn+1nanlga(n+1)an+1lga可得： 10 当a1时，由lga0可得a （nN*）a1 对一切nN*都成立 此时的解为a120 当0a1时，由lga0可得n(n+1)a， （nN*），0a1 0a对一切nN*都成立 此时的解为0a由10，20可知，对一切nN*，都有bnbn+1的取值范围是0a或a1例2、（2006年湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为.数列的前项和为，点均在函数的图像上.（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.练习：1、已知函数的图象经过点和，记（1）求数列的通项公式；（2）设，若对一切均成立，求的范围；（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.解：（1）由题意得，解得， （2）由（1）得， -得 . ，设，则由得随的增大而减小时， 又恒成立， （3）由题意得恒成立 记，则 是随的增大而增大 的最小值为，即. 2、 已知函数，（1）求函数的反函数；（2）若数列中，求通项；（3）设，又，是否存在最小的正整数，使得对都有：，若存在，求出，若不存在，说明理由。解：(1)设y=,x0)(2)，是公差为4的等差数列，a1=1, =+4(n1)=4n3,an0,an=.(3)bn=Sn+1Sn=an+12=,由bn,设g(n)= ,g(n)= 在nN*上是减函数，g(n)的最大值是g(1)=5,m5,存在最小正整数m=6,使对任意nN*有bn成立.应用二：解决数列中的不等式证明问题例1、函数在点处的切线方程为；（1） 用表示；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）求证： （）分析：（1）；（2）；（3） 法一：当时，得，令，得证；方法二：单调性法；例2、等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，, 则,所以 w.w.w.zxxk.c.o.m 下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立. w.w.w.zxxk.c.o.m 由、可得不等式恒成立.法二：单调性法练习：1、（07重庆理21）已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且（1）求的通项公式；（2）设数列满足，并记为的前n项和，求证：（）解：由，解得a11或a12，由假设a1S11，因此a12。又由an+1Sn+1- Sn，得an+1- an-30或an+1-an因an0，故an+1-an不成立，舍去。因此an+1- an-30。从而an是公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项为an3n-2。（）证法一：由可解得；从