（高分秘笈）中考数学 解题方法及提分突破训练 归纳法专题（含解析）.doc

解题方法及提分突破训练：归纳法专题不完全归纳法是指从一个或几个(但不是全部)特殊情况作一般性的结论的归纳推理。这种归纳法是用一定数量数值为基础,进行分析探究,从中找出规律,并将此规律推广应用到一般情况下的计算和证明在初中数学教材中，经常会用这种方法进行定义、公式、法则、定理的推导学生在学习中,若能正确运用不完全归纳法,可提高分析、解决问题能力，发现、探索问题的能力。 一 真题链接1(2010中考变式题)如图为手的示意图，在各个手指间标记字母a，b，c，d.请你按图中箭头所指方向(即abcdcbabc的方式)从a开始数连续的正整数1,2,3,4，当数到12时，对应的字母是_；当字母c第201次出现时，恰好数到的数是_；当字母c第2n1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是_(用含n的代数式表示)2(2011北京)在下表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数ai，j规定如下：当ij时，ai，j1；当i1）五角星,每个图案中五角星的总数为s.按此规律推断:s与n的关系. n=2，s=3 n=3 s=6 n=4，s=9 图(1) 图(2) 图(3分析方法一:由于每条边上的五角星数包括了两个顶点,若每边按n个计算,则重算了三角形三个顶点上的三个。故有s=3n-3.分析方法二：由图可知，每个图案上的五角星总数，随着各边上五角星的增多而增多，且前面一个图案中五角星总数总比其后面一个图案中五角星总数少3，因此可猜想：s=，根据图（1）、图（2）中的条件就能求出k，b的值，再验证是否满足图（3）的条件。解：设s=，把n=2，s=3；n=3，s=6分别代入上式，得 解得 s=3n-3经检验：n=4，s=9也满足s=3n-3所求s与n的关系为s=3n-3例2 如图，中，a、a、a、a是边ac上不同的n个点，首先连接ba，图中有3个不同的三角形，再连接ba图中共有6个不同的三角形（1）连接到a时，请用n的代数式表示图中共有三角形的个数。（ 2）若出现45个三角形，则共需连接多少个点？ b 分析：通过观察图知，当ac上有1个点a时，连接点b，所得三角形的个数为（2+1）个；当ac上有2个点a、a时，分别连接点b，所得三角形的个数为（3+2+1）个，当ac上有3个点a、a、a时，分别连接点b，所得三角形的个数为（ 4+3+2+1）个； 由此可以推测出：当ac上有n个点a，a、aa时，分别连接点b，所得三角形的个数为（n+1）+n+（n-1）+ +3+2+1 个 解：（1）当连接到a 时，所得三角形总个数为： （n+1） +n+（n-1）+（n-2）+4+3+2+1 =（n+1）+1+（n+2）+（n-1+3）+=a a a2 a3 an = （2）由题意，得=45 原方程化为：n+3n-88=0 即（n+11）（n-8）=0 n=8或n=-11 （负值不合题意，舍去）答：当出现45个三角形时，共连接8个点。说明：从例1、例2可以看出,解此类题目常常是先考虑特殊情况,由特殊情况下的结果,推导出一般情况下的结果,它是从特殊到一般的归纳推理,因此必须要求学生对所得出的结论要做出合理性的验证.学生往往会因所选取的数值不具有全面的代表性,使得结论产生错误.如下面的例子就说明了这一点.如：这里学生忽略了a0的情况,导致最后的结论不正确.在初中数学的学习过程中，学生能够合理地运用数学不完全归纳法，能使所解决的问题变得简捷，并能够有效地提高探索发现问题的能力。为此，教师应鼓励学生从多层次多角度去分析、思考，敢于大胆进行猜想，并通过观察、判断、归纳等一系列探索活动得出正确的结果。三 典题示例例1.如图，是用积木摆放的一组图案，观察图形并探索：第五个图案中共有 块积木，第n个图案中共有 块积木。解析：第一个图案有1块积木，第二个图案形有1+342的平方，第三个图案有1+3+593的平方，故第5个图案中积木有1+3+5+7+9255的平方个块，第n个图案中积木有n的平方个块。综观规律性中考试题，考察了学生收集数据，分析数据，处理信息的能力，考生在回答此类试题时，要体现“从特殊到一般，从抽象到具体”的思想，要从简单的情形出发，认真比较，发现规律，分析联想，归纳猜想，推出结论，一举成功。例2右图是一回形图，其回形通道的宽与ob的长均为1，回形线与射线oa交于点a1，a2，a3，。若从o点到a1点的回形线为第1圈（长为7），从a1点到a2点的回形线为第2圈，依此类推。则第10圈的长为 。已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。在平面直角坐标系内，现有一动点p第1次从原点o出发按甲方式运动到点p1，第2次从点p1出发按乙方式运动到点p2，第3次从点p2出发再按甲方式运动到点p3，第4次从点p3出发再按乙方式运动到点p4,。依此运动规律，则经过第11次运动后，动点p所在位置p11的坐标是 。解析：我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1圈的长为1+1+2+2+1，第2圈的长为2+3+4+4+2，第三圈的长为3+5+6+6+3，第四圈的长为4+7+8+8+4，归纳得到第10圈的长为10+19+20+20+1079。例3. “已知下列等式： 1312； 132332； 13233362；； 由此规律知，第个等式是 ”解析：这个题目，在给出的等式中，左边的加数个数在变化，加数的底数在变化，右边的和也在变化。所以，需要进行比较的因素也比较多。就左边而言，从上到下进行比较，发现加数个数依次增加一个。所以，第个等式应该有5个加数；从左向右比较加数的底数，发现它们呈自然数排列。所以，第个等式的左边是1323334353。再来看等式的右边，指数没有变化，变化的是底数。等式的左边也是指数没有变化，变化的是底数。比较等式两边的底数，发现和的底数与加数的底数和相等。所以，第个等式右边的底数是（1+2+3+4+5），和为152。“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 四 强化巩固1. （2011浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图a2比图a1多出2个“树枝”， 图a3比图a2多出4个“树枝”， 图a4比图a3多出8个“树枝”，照此规律，图a6比图a2多出“树枝”（ ） a.28 b.56 c.60 d. 124 2.（2010山东东营）观察下表，可以发现: 第_个图形中的“”的个数是“”的个数的5倍3. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第（是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 4. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）第1个图形第 2 个图形第3个图形第 4 个图形第 18题图5. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式： 1 3 - 22 = 3 - 4 = -1 2 4 - 32 = 8 - 9 = -1 3 5 - 42 = 15 - 16 = -1 （1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由6（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；（3）求第n行各数之和 7.有一组数：，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n（n为正整数）个数为 8.如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，2n，请你探究出前n行的点数和所满足的规律、若前n行点数和为930，则n=（）a29b30 c31d329.（2010恩施州）如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等于 10一种长方形餐桌的四周可以坐人用餐（带阴影的小长方形表示个人的位置）现把张这样的餐桌按如图方式拼接起来（1）问四周可以坐多少人用餐？（用的代数式表示）（2）若有人用餐，至少需要多少张这样的餐桌第10题图11.(2012中考预测题)观察下列算式：313,329,3327,3481,35243,36729,372 187,386 561，通过观察，用你所发现的规律确定32 012的个位数字是()a3 b9 c7 d112（2011年北京四中33模）如下图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，以此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an(n3)，则a6= ，当时，则n= 。 五 参考答案真题链接答案：1.【解析】当数到12时，对应的字母是b.根据已知条件将字母进行排列，发现字母c出现的次数是奇数时，此时数到的数恰好是这个奇数的3倍201,2n1都是奇数，数到的数分别是3201603,3(2n1)6n3.【答案】b6036n32.【解析】13，a1,30.表中ij的数共有15个，表中25个数中有15个1.根据规定：无论i1,2,3,4或5，都有a1,1ai,1a1,2ai,2a1,3ai,3a1,4ai,4a1,5ai,5100001.【答案】01513.【答案】或4.【答案】5.【解】（1）64，8，15； （2），； （3）第2行各数之和等于33；第3行各数之和等于57；第4行各数之和等于77-13；类似的，第n行各数之和等于=.巩固强化答案：1.【答案】c2. 分析：本题将规律探索题与方程思想结合在一起，是一道能力题，有的学生可能无法探寻“”与“”出现的规律，或者不知道通过列方程解答问题解答：解：观察图形可发现第1、2、3、n个图形：“”的个数规律为1、4、9、n2；“”的个数规律是4、8、12、4n.由题意可得，解之得，（不合题意，舍去）3.【答案】4.【答案】或5.【答案】解：； 答案不唯一.如； .6.【解】（1）64，8，15；（2），；（3）第2行各数之和等于33；第3行各数之和等于57；第4行各数之和等于77-13；类似的，第n行各数之和等于=.7.分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1根据规律求解即可解答：解：；第n（n为正整数）个数为8.分析：有图个可以看出以后每行的点数增加2，前n行点数和也就是前n个偶数的和。解答：解：设前n行的点数和为s则s=2+4+6+2n=n（n+1）若s=930，则n（n+1）=930（n+31）（n30）=0n=31或30故选b9. 分析：分析可知规律，每增加一层就增加六个点解答：解：第一层上的点数为1；第二层上的点数为6=16；第三层上的点数为6+6=26；第四层上的点数为6+6+6=36；