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数理方程复习题型数理方程复习题型 题型一 根据物理过程写出相应的定解问题 习题一 1 2 例 长为l的均匀杆 侧面绝缘 杆的初始温度分布为 x 一 端有恒定热流q进入q dQ dtds 另一端绝热 写出相应的定解问题 解 根据题意 可知为热传导问题 方程为ut a2uxx 初始条件 u t 0 x 边界条件 端有恒定热流q进入 则 因为 q dQ dtds dQ k u n dtds 所以 u x x 0 q k 另一端绝热 则 u x l 0 综上 要求的定解问题为 u t a2 2u x2 0 0 u x x 0 q k u x l 0 t 0 u t 0 x 0 x l 题型二 求特征值问题 1 X x X x 0 X 0 X l 0 2 X x X x 0 X 0 X l 0 3 X x X x 0 X 0 X l 0 4 X x X x 0 X 0 X l 0 5 0 0 2 以求解 4 5 两题为例 4 X x X x 0 X 0 X l 0 解 i 当 0时 2 X x Acos x Bsin x X x A sin x B cos x 带入条件得 B 0 要使A 0 则sin l 0 k l 所以 X x Acos k l x 即 Xk x Akcos k l x k 1 2 k k2 2 l2 k 1 2 综上 Xk x Akcos k l x k 0 1 2 5 0 0 2 解 i 当 0时 2 Bcos Asin 2 Bcos 2 Asin 2 带入条件得 必 须取整数 n 1 2 所以 n Bncosn Ansinn n 1 2 综上 n Bncosn Ansinn n 0 1 2 题型三 用分离变量法求齐次边界条件下的定解问题 第二章 第一节 第二节 第三节 习题二 1 2 3 4 5 6 7 13 17 18 以第 3 题为例 3 就下列初始条件及边界条件解弦振动方程 u t 0 x 0 x 1 2 1 x 1 2 0 解 该定解问题为 2u t2 a 2 2u x2 0 0 u t 0 x x 0 x 1 2 1 x 1 20 令u t X T t 代入方程得 2 X X T t 2 X X 0 2 0 求 由题意可得X 0 X 1 0 所以 X X 0 X 0 X 1 0 i 当 0时 设 2 X x Acos x Bsin x 带入条件得 A 0 n n2 2 所以 X x sin 1 2 n n2 2 1 2 求 2n2 2 0 解得 cosa sina 求un t un t X x cosa sina sin 其中 u t un t n 1 cosa sina sin n 1 求系数 根据初始条件得 u 0 sin x n 1 u 0 sin x n 1 利用傅立叶系数公式 2 x 1 0 sin dx 2 1 2 0 sin 1 1 1 2 sin 2 an x 1 0 sin dx 2 an 1 1 0 sin dx 题型四 特征函数法 第二章 第四节 习题二 8 9 22 以第 22 题为例 22 求解定解问题 2u t2 a 2 2u x2 sin 2 l xsin2a l t 0 0 u t 0 u t t 0 0 0 x l u x 0 u x l 0 t 0 解 原方程对应的齐次方程为 2u t2 a2 2u x2 其特征函数为 X x Bnsin n l x 设 u x t un t sin n l x n 1 sin 2 l xsin 2a l t fn t sin n l x n 1 其中 fn t 2 l sin 2 l xsin 2a l t l 0 sin n l xdx 带入方程得 un t a2n2 2 l2 un t fn t sin n 1 n l x 0 un t a2n2 2 l2 un t fn t t 0 un 0 0 un 0 0 n 1 2 用拉普拉斯变换法解得 un t l n a f n t 0 sin n a t l d 当n 2时 fn t 0 un t 0 当n 2时 fn t sin 2a l t un t l n a f n t 0 sin n a t l d 所以 u x t l n a f n t 0 sin n a t l d sin n l x n 2 n 1 0 n 2 题型五 分离变量法中非齐次边界条件的处理 第二章 第五节 例 1 习题二 8 9 10 11 15 以第 11 题为例 11 是确定下列定解问题 u t a2 2u x2 f x 0 0 u x 0 A u x l B t 0 u t 0 g x 0 x l 解 u x t V x t W x 代入原方程得 V x t t a2 2V x2 W x f x 为了使V x t 的方程及边界条件同时化为齐次的 W x 满足 a 2W x f x 0 W x 0 A W x l B W x 1 a2 dt f d Cx A t 0 x 0 其中 C 1 l B A 1 a2 dt f d l 0 l 0 所以 v t a2 2v x2 0 0 v x 0 v x l 0 t 0 v t 0 g x W x 0 x l 再由题型三的方法得出V x t 从而得到u x t 例 解下列方程 utt a2uxx 0 0 u x 0 0 ux x l Asin t t 0 u t 0 0 ut t 0 0 0 x l 解 设 u x t V x t W x t 选取W x t 使V x t 的边界条件齐次 即 V x 0 0 Vx x l 0 所以 W x 0 0 Wx x l Asin t 设 W x t A t x B t 带入条件得 A t Asin t B t 0 所以W x t Asin t x u x t V x t Asin t x 关于V的定解问题为 Vtt a2Vxx A 2xsin t 0 0 V x 0 0 Vx x l 0 t 0 V t 0 0 Vt t 0 A x 0 x l 再用非齐次方程的解法求得V x t 从而得出u x t 题型六 判断方程的类型 一般方程 A 2u x2 2B 2u x y C 2u y2 D u x E u y Fu 0 特征方程 A dy 2 2Bdxdy C dx 2 0 B2 AC 0 双曲型 B2 AC 0 抛物型 B2 AC 0 椭圆型 例 判断下列方程的类型 1 sgny uxx 2uxy sngx uyy 0 x y 0 0 x 0 1 x 0 2 yuxx uyy 0 y 3 1 x2 u xx 2xyuxy 1 y2 u yy 0 y 0时 sgnx sgny 1 B2 AC 1 1 0 抛物型 当xy 0时 sgnx sgny 0 B2 AC 1 0 1 双曲型 当xy 0时 sgnx sgny 1 B2 AC 1 1 2 双曲型 2 B2 AC 0 y y 当y 0时 椭圆形 3 B2 AC xy 1 x2 1 y2 当xy 1 x2 1 y2 时 双曲型 当xy 1 x2 1 y2 时 抛物型 当xy 0 t 0 u x 0 0 ux x 0 t 0 u t 0 b x 0 解 作函数u x t 关于 t 的拉普拉斯变换 记为U x p U x p u x t e ptdt 0 代入方程得 pU b a2Uxx hU Uxx p h a2 U b p h 0 d2 U b p h dx2 p h a2 U b p h 0 解得 U x p b p h Ae p h a x Be p h a x 带入条件得 A b p h B 0 U x p b p h b p h e p h a x u x t L 1 U x p L 1 b p h L 1 b p h e p h a x L 1 b p h be ht L 1 b p h e p h a x L 1 b p h L 1 e p h a x be ht x 2a t 3 2 e x2 4a2t h e y 2dy x 2a t e ht be h x 2a t 3 2 e x2 4a2 t h e y 2dy x 2a t e h t d t 0 综上 u x t be ht be h x 2a t 3 2 e x2 4a2 t h e y 2dy x 2a t e h t d t 0 题型八 求双曲型方程初值问题的解 P61 例 习题三 1 2 例 求下列柯西问题 2u x2 2 2u x y 3 2u y2 0 y 0 x u y 0 3x2 u y y 0 x 解 它的特征方程为 dy 2 2dxdy 3 dx 2 0 得到特征线方程 3x y C1 x y C2 作如下变换 3x y x y 代入 方程得 2u 0 它