（新课标）高考数学二轮复习 专题7 概率与统计 第1讲 排列、组合与二项式定理 理.doc

第1讲排列、组合与二项式定理计数原理、排列、组合问题1.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有(a)(a)12种(b)10种(c)9种(d)8种解析:分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有c21=2(种)选派方法;第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有c42=6(种)选派方法.由分步乘法计数原理,不同选派方案共有26=12(种).2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的排列方式的种数有(d)(a)a44a55(b)a33a44a53(c)c31a44a55(d)a22a44a55解析:先把3个品种的画看成整体,而水彩画受限制应优先考虑,不能放在头尾,油画与国画有a22种放法,再考虑国画与油画本身又可以全排列,故排列的方法有a22a44a55种.3.从6本不同的书中选出4本,分别发给4个同学,已知其中两本书不能发给甲同学,则不同分配方法有(c)(a)180(b)220(c)240(d)260解析:先从其他四本不同的书中选一本发给甲同学,有c41种;再从剩下的五本不同的书中选三本发给其他3个同学,有a53种;则不同分配方法有c41a53=240种.4.用0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(b)(a)243(b)252(c)261(d)279解析:由0,1,9十个数字共可组成三位数个数为c91c101c101=900,其中无重复数字的三位数有c91a92=648(个),则符合题意的三位数个数为900-648=252.故选b.5. 如图,用6种不同的颜色把图中a,b,c,d4块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则涂色方法共有种(用数字作答).解析:从a开始涂色,a有6种涂色方法,b有5种涂色方法,c有4种涂色方法,d若与a颜色相同有1种涂色方法,否则有3种涂色方法.共有654(1+3)=480种涂色方法.答案:4806.有4名优秀学生a,b,c,d全部被保送到甲,乙,丙3所学校,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有种.解析:先把4名学生分为2,1,1的3组,有c42c21c11a22=6种分法,再将这3组分配到3所学校,有a33=6种情况,则共有66=36种不同的保送方案.答案:367.在运动会百米决赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有种.解析:分两步安排这8名运动员.第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排.所以安排方式有a43=432=24种.第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排,所以安排方式有a55=54321=120种.故安排这8人的方式有24120=2880种.答案:2880二项式定理的应用8.在(x-2x)5的二项展开式中,x2的系数为(a)(a)40(b)-40(c)80(d)-80解析:(x-2x)5的展开式的通项为tr+1=c5rx5-r(-2x)r=(-2)rc5rx5-3r2,令5-3r2=2,得r=2,故展开式中x2的系数是(-2)2c52=40,故选a.9.若二项式(x3-1x)n(nn*),展开式中含有常数项,则n的最小值为(a)(a)7(b)6(c)5(d)4解析:根据题意,得tr+1=cnrx3(n-r)(-x-12)r=cnr(-1)rx6n-7r2,令6n-7r=0,得n=7r6,故n的最小值为7,故选a.10.已知关于x的二项式(x+a3x)n展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则a的值为(c)(a)1(b)1(c)2(d)2解析:根据题意,该二项式的展开式的二项式系数之和为32,则有2n=32,可得n=5,则二项式的展开式的通项公式为tr+1=c5r(x)5-r(a3x)r=c5rarx15-5r6令15-5r=0得r=3,由题意有c53a3=80,解可得a=2;故选c.11.在二项式(x2+1x)n的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为(a)(a)32(b)-32(c)0(d)1解析:依题意得所有二项式系数的和为2n=32,解得n=5.因此,令x=1,则该二项展开式中的各项系数的和等于(12+11)5=32,故选a.12.(2015皖南八校三联)(x+12x)n的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大,则第四项为.解析:由已知条件第五项和第六项二项式系数最大,得n=9,(x+12x)9展开式的第四项为t4=c93(x)6(12x)3=212.答案:21213.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+a12x12,则a2+a4+a12=.解析:令x=1,则a0+a1+a2+a12=36,令x=-1,则a0-a1+a2-+a12=1,所以a0+a2+a4+a12=36+12.令x=0,则a0=1,所以a2+a4+a12=36+12-1=364.答案:36414.若(x2+ax+1)6(a0)的展开式中x2的系数是66,则0a sin xdx的值为.解析:由题意可得(x2+ax+1)6的展开式中x2的系数为c61+c62a2故c61+c62a2=66,所以a=2或a=-2(舍去).故0a sin xdx=02 sin xdx=(-cos x)|02=1-cos 2.答案:1-cos 2一、选择题1.从8名女生和4名男生中,抽取3名学生参加某档电视节目,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为(b)(a)224(b)112(c)56 (d)28解析:根据分层抽样,从12个人中抽取男生1人,女生2人;所以取2名女生1名男生的方法数为c82c41=112.2.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(b)(a)24(b)18(c)12(d)6解析:依该数三个数位数字的奇偶性可分为两种情况:(1)奇偶奇;(2)偶奇奇.对于(1),有a32c21=12个数,对于(2)有c11a32=6个数.满足条件的数共有12+6=18个.故选b.3.4位同学从甲、乙、丙3门课程中各选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法有(b)(a)12种(b)24种(c)30种(d)36种解析:分三步,第一步先从4位同学中选2人选修课程甲.共有c42种不同选法,第二步第3位同学选课程,有2种选法.第三步第4位同学选课程,也有2种不同选法.故共有c4222=24(种).4.(2014湖北卷)若二项式(2x+ax)7的展开式中1x3的系数是84,则实数a等于(c)(a)2(b)54(c)1(d)24解析:tk+1=c7k(2x)7-k(ax)k=c7k27-kakx7-2k,令7-2k=-3,得k=5,即t5+1=c7522a5x-3=84x-3,解得a=1.故选c.5.设az,且0a13,若512012+a能被13整除,则a等于(d)(a)0(b)1(c)11(d)12解析:512012+a=a+(1-134)2012=a+1-c20121(134)+c20122(134)2+c20122012(134)2012,显然当a+1=13,即a=12时,512012+a=13+134-c20121+c20122(134)1+c20122012(134)2011,能被13整除.故a=12.6.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)等于(c)(a)45(b)60(c)120(d)210解析:因为f(m,n)=c6mc4n,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=c63c40+c62c41+c61c42+c60c43=120.7.从某班成员分别为3人,3人和4人的三个学习小组中选派4人组成一个环保宣传小组,则每个学习小组都至少有1人的选派方法种数是(c)(a)130(b)128(c)126(d)124解析:每个小组至少1人,则等价为有一个小组选派2人,其余两个小组各1人,则共有c32c31c41+c31c32c41+c31c31c42=36+36+54=126,选c.8.若(ax+1x)6展开式的所有项系数之和为64,则展开式的常数项为(c)(a)10或-270(b)10(c)20或-540(d)20解析:由(ax+1x)6展开式的所有项系数之和为64,知(a+1)6=64,解得a=1或a=-3,当a=1时,由tr+1=c6rx6-rx-r=c6rx6-2r,令6-2r=0,得r=3,展开式的常数项为c63=20;当a=-3时,由tr+1=c6r(-3)6-rx6-rx-r=c6r(-3)6-rx6-2r,令6-2r=0,得r=3,展开式的常数项为(-3)3c63=-540.9.某公司新招聘5名员工,分给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分给同一部门;另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门,则不同的分配方案种数是(b)(a)6(b)12(c)24(d)36解析:先安排两名英语翻译,有a22种办法;然后从三名电脑编程人员选出两名安排在同一部门,c32a22种办法,因此,满足条件的不同分配方案种数是a22c32a22=232=12.10.(2015河北沧州4月质检)(x-1)(1x+x)6的展开式中的一次项系数是(c)(a)5(b)14(c)20(d)35解析:(1x+x)6中展开式的通项为tr+1=c6r(1x)6-rxr=c6rx2r-6,令2r-6=0,得r=3,此时展开式中的常数项为20,令2r-6=1,无整数解,故(1x+x)6的展开式中无一次项.故(x-1)(1x+x)6的展开式中的一次项系数是20.故选c.11.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有(c)(a)18种(b)24种(c)36种(d)72种解析:先分组:(1)一路口3人,另两路口各1人,因为甲、乙在同一路口,则共有c31c21a22=3(种);(2)两路口2人,一路口1人,因为甲、乙在同一路口,则共有c31=3(种).再排列,所有的分配方案共有(c31c21a22+c31)a33=36(种).12.设函数f(x)=(2x+a)n,其中n=602cos xdx,f(0)f(0)=-12,则f(x)的展开式中x4的系数为(b)(a)-240(b)240(c)-60(d)60解析:根据题意,n=602 cosxdx=6sin x|02=6(sin 2-sin 0)=6,故n=6,所以f(x)=(2x+a)6,从而得到f(x)=6(2x+a)52=12(2x+a)5,f(0)=12a5,f(0)=a6,故f(0)f(0)=12a5a6=12a=-12,解得a=-1,故f(x)=(2x-1)6,f(x)的展开式的通项公式tr+1=c6r(2x)r(-1)6-r,t4+1=c64(2x)4(-1)6-4=240x4,故选b.二、填空题13.已知(ax+1)5的展开式中x2的系数与(x+54)4的展开式中x3的系数相等,则a=.解析:由二项式定理知:(ax+1)5的展开式中x2的系数为c53a2,(x+54)4的展开式中x3的系数为c4154,于是有c53a2=c4154,解得a2=12,所以可得a=22.答案:2214.5位同学排队,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能相邻,且女生甲不能排在排头,则排法种数为.解析:先排3个女生,三个女生之间有4个空,从4个空中选2个排男生,共有a42a33=72种,若女生甲排在第1个,则三个女生之间有3个空,从3个空中选2个排男生,有a32a22=12种,所以满足条件的不同排法有72-12=60种.答案:6015.若(x-3x)n展开式的各项系数的绝对值之和为1024,则展开式中x的系数为.解析:tr+1=cnr(x)n-r(-3x)r=(-3)rcnrxn-3r2,因为展开式的各项系数绝对值之和为cn0+|(-3)1cn1|+(-3)2cn2+|(-3)3cn3|+|(-3)ncnn|=(1+3)n=1024,解得n=5,令5-3r2=1,解得r=1,所以展开式中x的系