线代习题解答.pdf

线性代数 经科社2013版 习题解答 山东财经大学 数学院 王继强 说说说明明明 本本本解解解答答答仅仅仅为为为同同同学学学们们们解解解题题题时时时参参参考考考使使使用用用 切切切勿勿勿照照照抄抄抄照照照搬搬搬 否否否则则则有有有悖悖悖我我我心心心 2013 9 第第第1章章章 行行行列列列式式式 习习习题题题1 1 4 5 显然 数1 2 3 n之间不构成逆序 与2n构成逆序的有1 2 3 n n个 及2n 1 2n 2 n 1 n 1个 共2n 1个 与2n 1构成逆序的有2 3 n n 1个 及2n 2 n 1 n 2个 共2n 3个 依次类推 与n 2构成逆序的有n 1 n 2个 及n 1 1个 共3个 与n 1构成逆序的有n 共1个 因此 逆序数为1 3 2n 3 2n 1 n2 6 显然 数1 3 5 2n 1之间不构成逆序 数2 4 6 2n之间也不构成逆序 与3构成逆序的有2 共1个 与5构成逆序的有2 4 共2个 与7构成逆序的有2 4 6 共3个 依次类推 与2n 1构成逆序的有2 4 6 2n 2 共n 1个 因此 逆序数为1 2 3 n 1 n n 1 2 8 见 线性代数学习指导 P11例6 习习习题题题1 2 1 3 6 化行列式为上三角行列式是计算行列式的常用方法之一 2 D m m 25 m 1 4 25 m 5 见 线性代数学习指导 P12例7 习习习题题题1 3 3 2 取后三行 使用Laplace定理展开最为简捷 注 另见习题1 1第9题 4 2 取后三行 使用Laplace定理 Email wangjq 1072736595 c 知识圣洁 版权所有 不得用于任何商业用途 1 习习习题题题1 4 1 3 见 线性代数学习指导 P15例13 4 仿教材例1 4 4 2 1 各行减去第一行 化为上三角行列式 2 见 线性代数学习指导 P16例15 3 各列加到第一列 按第一列展开 4 各行减去第一行 按第二行展开 5 各列加到第一列 按第一列展开 6 见 线性代数学习指导 P17例16 7 各行加到第一行 按第一行展开 8 见 线性代数学习指导 P18例17 3 1 A11 A12 A13 A14 1111 157 8 2222 01 10 2 异乘变零定理 3 M14 M24 M34 M44 A14 A24 A34 A44 2 31 1 1571 222 1 01 11 4 直接计算 4 2 1 3 1 4 1 3 2 4 2 4 3 习习习题题题1 5 2 解方程组 250 x1 200 x2 300 x3 56 200 x1 100 x2 300 x3 53 160 x1 300 x2 400 x3 60 即可 3 见 线性代数学习指导 P28例30 5 见 线性代数学习指导 P27例29 习习习题题题1 1 1 N x1x2 xn 1xn N xnxn 1 x2x1 C2 n 注 要牢记此一结论 2 见 线性代数学习指导 P11例4 3 各列加到第一列 注 要注意使用此一做法 4 M41 M42 M43 M44 A41 A42 A43 A44 3040 2222 0 700 11 11 5 范德蒙德行列式 Cramer法则 2 1 见 线性代数学习指导 P12例9 3 见 线性代数学习指导 P13例10 2 4 A31 A32 A33 A34 12 36 3333 1111 3418 3 1 第i行减去末行的ai倍 i 1 2 n 再按末列展开 2 仿教材例1 4 4 3 从第一行开始 上一行的x倍加到下一行 再按末行展开 4 按末列展开 4 1 见 线性代数学习指导 P25例25 2 见 线性代数学习指导 P26例26 或 第一行减去第二行 按第一行展开 得递推关系式 列同样 处理 联立解之 注 此题较难 可不作要求 3 从第一行开始 用上一行消下一行 化为上三角行列式 5 M11 M21 M31 M41 A11 A21 A31 A41 1 521 110 5 1313 1 4 1 3 A11 A12 A13 A14 1111 110 5 1313 2 4 1 3 6 见 线性代数学习指导 P14例12 7 见 线性代数学习指导 P15例14 8 见 线性代数学习指导 P24例24 9 按行展开法则 异乘变零定理 10 由范德蒙德行列式知 f x 1 j i n i j x 1 x 2 x 3 x n 因f 1 f 2 f 3 f n 0 故由Rolle定理知 f x 在区间 1 2 2 3 n 1 n 内 各有一个零点 12 系数行列式为D a1 ba2a3 an a1a2 ba3 an a1a2a3 an b 仿教材例1 4 4 或例1 4 6 bn 1 n i 1 ai b 当b 0 且 n i 1 ai b 0时 方程组仅有零解 13 见 线性代数学习指导 P28例31 第第第2章章章 矩矩矩阵阵阵 习习习题题题2 1 略 习习习题题题2 2 5 1 待定系数法 仿教材例2 2 6 3 2 见 线性代数学习指导 P45例2 6 1 直接计算 2 先计算A2 A3 猜测An 13n 01 再用数学归纳法证明 3 要牢记此一结论 4 直接计算 5 直接计算得 A2 4E A3 4A A4 42E 因此 An 2nE n为偶数 2n 1A n为奇数 6 见 线性代数学习指导 P47例5 7 A2的第k行l列的元素 A的第k行 A的第l列 ak1a1l ak2a2l aknanl n i 1 akibil AAT的第k行l列的元素 A的第k行 AT的第l列 A的第k行 A的第l行 ak1al1 ak2al2 aknaln n i 1 akibli ATA的第k行l列的元素 AT的第k行 A的第l列 A的第k列 A的第l列 a1ka1l a2ka2l ankanl n i 1 aikbil 注 要牢记矩阵乘法的口诀 前行乘后列 习习习题题题2 3 4 aij aji i j aii 0 5 见 线性代数学习指导 P46例4 习习习题题题2 4 3 2 AA A E AA A E A A A n 若 A 0 则 A A n 1 若 A 0 则r A n 由教材P83第4题的结论知 r A 1或0 于是 A 0 综上 A A n 1恒成立 注 A 0 A 0 另证 反证法 假设 A 0 则A 可逆 于是AA A E 0E O A O A O 矛盾 4 直接验证 E A E A A2 Ak 1 E 注 要牢记此一结论 5 A2 2A 4E O A2 2A 3E E A E A 3E E 故 A E 1 A 3E 7 直接验证 注 要牢记此一结论 8 ABA 1 BA 1 3E ABA 1 BA 1 3E A E BA 1 3E B A E 1 3E A 3 A E 1A 3 A 1 A E 1 3 E A 1 1 其中A 1 1 A A A A n 1 n 4 9 AA A E 1 A A A E A 1 1 A A 10 3A 1 2A 1 3A 1 2A 1 3 1 A A 2A 4 3A 4 3 3 A 4 3 3 A 2 16 27 11 BA B A A A 2 12 3 利用 初等变换和初等方阵 解此题将较为简捷 见 2 6 4 习习习题题题2 5 2 1 利用结论 AO OB 1 A 1O OB 1 注 要牢记此一结论 2 利用结论 OA BO 1 OB 1 A 1O 见 线性代数学习指导 P51例12 注 要牢记此一结论 4 将P按列分块为P 1 2 n 则AP P A 1 2 n 1 2 n 1 2 2 A 1 A 2 A n 1 1 2 2 n n A i i i i 1 2 n 5 见教材P109第9题 线性代数学习指导 P55例20 6 仿教材例2 5 6 习习习题题题2 6 2 3 利用结论 AO OB 1 A 1O OB 1 4 A E 0a10 00100 00 00a2 00010 00 000 an 20000 00 000 0an 1000 10 an00 00000 01 初等行变换 an00 00000 01 0a10 00100 00 00a2 00010 00 000 an 20000 00 000 0an 1000 10 初等行变换 100 00000 0 1 an 010 00 1 a1 00 00 001 000 1 a2 0 00 000 10000 00 000 01000 1 an 1 0 E A 1 注 见教材P68第2 2 题 3 AP1 B P2B E P2AP1 E A P 1 2 EP 1 1 P 1 2 P 1 1 100 110 001 100 001 010 5 100 101 010 其中P 1 1 P 1 2 由 初等方阵的逆矩阵 得到 P 1 1 P 1 2 由 初等变换和初等方阵之间 的关系 得到 注 求逆矩阵 矩阵的乘法等问题如能利用 初等变换和初等方阵 解决 就不要直接计算 4 因XA B X BA 1 故不可机械模仿教材P75例2 6 3后面的公式来解本题 事实上 本题解 法如下 A B 初等列变换 E BA 1 其特例为 A E 初等列变换 E A 1 求逆矩阵的初等列变换法 请大家自行思考为什么 坦白讲 我不赞成大家用上述方法来解本题及例2 6 3 因为公式难于记忆 且易于记错 实际上 先求 出A 1 再进行矩阵的乘法 该是何等顺畅 习习习题题题2 7 2 A 初等行变换 1231 0113 00k 115 0001 0000 阶梯形矩阵 显然 k 1 此时 A 1231 0113 0001 0000 0000 r A 3 3 直接计算 A2 0010 0001 0000 0000 A3 0001 0000 0000 0000 故r A 1 4 因 B 10 0 B可逆 故r AB r A 2 习习习题题题2 1 1 三种方法 伴随矩阵法 初等行变换法 利用结论 OA BO 1 OB 1 A 1O 2 利用教材P60第7题的结论 4 Aij aij 0 Aij aij A11A21A31 A12A22A32 A13A23A33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 A AT A AT A 2 A A 0或 1 将 A 按第一行展开 得 A a11A11 a12A12 a13A13 Aij aij a2 11 a212 a213 0 由A O 不妨设a11 0 故 A 1 注 本题选自2013年考研数学三真题 其考点同教材P83第2 6 题 线性代数学习指导 P52 例15 6 5 利用初等变换与初等方阵之间的关系 2 1 利用教材P60第4题的结论 A3 O E A E A A2 E A 3 O E A E A A2 E 2 因A 交换1 3行 a31a32a33 a21a22a23 a11a12a13 交换1 2行 a21a22a23 a31a32a33 a11a12a13 第3列的k倍加到第2列 B 故由初等变换与初等方阵之间的关系知 E 1 2 E 1 3 AE 2 3 k B 又E 1 2 E 1 3 P1 不要直接计算 要利用初等变换与初等方阵之间的关系来计算 E 2 3 k P2 故P1AP2 B A P 1 1 BP 1 2 4 A BC E BCA E AB C E CAB E 6 仿教材P82第1 4 题 3 见 线性代数学习指导 P48例6 4 当r A n时 A A n 1 0 r A n 当r A n 1时 A中不存在非零的n 1阶子式 故A中所有元素的代数余子式均为0 即A O 当 然r A 0 注 要牢记结论 r A n r A n 1 r A n 1 0 r A n 2 上述结论中第二种情况 r A n 1 r A 1 的证明 一方面 当r A n 1时 A中至少存在一个非零的n 1阶子式 故A中至少有一个元素的代数余子 式不为0 即A O 当然r A 1 另一方面 当r A n 1时 AA A E 0E O 再由教材P133例4 4 3的结论知 r A r A n r A 1 综上 有r A 1 5 OA BO 取前m行 Laplace定理 A 1 1 2 m n 1 n 2 n m B A 1 mn B O2A 3BO 2A 1 mn 3B 2m A 1 mn3n B 注 要牢记结论 AO OB A B OA BO 1 mn A B 6 E i j A B AB 1 E i j 1 E i j 7 见 线性代数学习指导 P50例10 8 A X A 1 2X A X 2X A 1 A 2E X A 1 X A 2E 1A 1 A A 2E 1 AA 2A 1 A E 2A 1 4E 2A 1 9 A E C 1B TCT E A C E C 1B T E A C B T E A C B T 1 10 AA A E A A A E A A A 1 A 2 1 A A A A 2A 1 4 A BA AB A 1 2ABA AB A AB 1 2A E A A可逆 B 1 2A E E B 1 2A E 1 1 2 A A 1 E 1 A 1 E 1 A 1 A 1A 1 A 1 E A 1 E A 1A 11 见 线性代数学习指导 P53例17 12 因 A E 16 0 A E可逆 故r AB B r A E B r B 1 7 第第第3章章章 n维维维向向向量量量 习习习题题题3 1 略 习习习题题题3 2 1 设 k1 1 k2 2 k3 3 2 设 k1 1 k2 2 3 1 2 3 11 124 1 2 3 1 2 3 21 5 131 14 1 1 2 3 4 1 2 3 1 11 11 1 111 1 2 3 5 证明二者可相互线性表出 1 2 3 100 110 111 1 2 3 1 2 3 100 110 111 1 1 2 3 6 利用教材P93例3 2 10的结论 7 利用教材P93例3 2 10的结论 8 见 线性代数学习指导 P74例5 9 k 注 要牢记此一结论 10 设k1 1 k2 1 2 ks 1 2 s 0 k1 k2 ks 0 11 见 线性代数学习指导 P79例12 12 1 2 3 4线性无关 2 3线性无关 又 1 2 3线性相关 故 1可由 2 3线性表出 2 反证法 假设 4可由 1 2 3线性表出 又由 1 知 1 2 3可由 2 3线性表出 故 4可由 2 3线 性表出 这与 2 3 4线性无关矛盾 习习习题题题3 3 1 仅需证明 1 2 r线性无关 设 i1 i2 ir为 1 2 s的一个极大无关组 则 i1 i2 ir可由 1 2 r线性表 出 于是r r i1 i2 ir r 1 2 r r r 1 2 r r 故 1 2 r线性无 关 2 n r 1 2 n r 1 2 n n r 1 2 n n 1 2 n线性无 关 3 设 i1 i2 ir是 1 2 s的任一线性无关的部分组 j j 1 2 s 仅需证 明 j可由 i1 i2 ir线性表出 显然 r i1 i2 ir j r 于是 i1 i2 ir j线性相 关 又 i1 i2 ir线性无关 故 j可由 i1 i2 ir线性表出 注 要牢记此一结论 8 5 1 T 1 T2 T3 T4 1321 0132 1 102 2355 初等行变换 1321 0132 00109 0000 阶梯形矩阵 r 1 2 3 4 3 1 2 3 4线性相关 6 1 2 n线性无关 r 1 2 n n T 1 T 2 T n 0 D DT 0 7 4 见 线性代数学习指导 P81例16 8 显然 1 2 m可由 1 2 m线性表出 1 2 m 1 2 m 01 1 10 1 11 1 11 1 11 0 1 2 m A 因 A 1 m 1 m 1 0 A可逆 故 1 2 m 1 2 m A 1 即 1 2 m可 由 1 2 m线性表出 综上知 1 2 m与 1 2 m等价 故r 1 2 m r 1 2 m r 9 将矩阵A B按列分块 A 1 2 n B 1 2 n 其中 1 2 n为A的列向 量 1 2 n为B的列向量 则A B 1 1 2 2 n n 显然 1 1 2 2 n n可由 1 2 n 1 2 n线性表出 故r 1 1 2 2 n n r 1 2 n 1 2 n 又r 1 2 n 1 2 n r 1 2 n r 1 2 n 故r A B r A r B 注 1 在上述证明过程中 r 1 2 n 1 2 n r 1 2 n r 1 2 n 是一个显然成立的事实 其正确性请大家自行思考 2 结论的推广 r A r B r A B r A r B 这一推广与绝对值的性质 a b a b a b 何其相似 习习习题题题3 1 2 A k 3 4 利用教材P93例3 2 10的结论 2 1 见 线性代数学习指导 P73例2 2 整理为 1 1 1 m m m k1 1 1 km m m 0 3 见 线性代数学习指导 P79例13 4 见 线性代数学习指导 P73例3 7 见 线性代数学习指导 P82例17 8 见 线性代数学习指导 P74例4 9 见 线性代数学习指导 P79例11 10 见 线性代数学习指导 P82例18 3 设k1 1 k2 2 ks 1 s 1 ks s 0 则k1 1 2 k2 2 3 ks 1 s 1 s ks s 1 0 即 k1 ks 1 k1 k2 2 ks 2 ks 1 s 1 ks 1 ks s 0 因 1 2 s线性无关 故 9 k1 ks 0 k1 k2 0 ks 2 ks 1 0 ks 1 ks 0 这是一个齐次线性方程组 其系数行列式为 D 10 01 11 00 00 10 00 11 按第一行展开 1 1 1 s 当s为奇数时 D 2 0 方程组仅有零解 故 1 2 s线性无关 当s为偶数时 D 0 方程组有非零解 故 1 2 s线性相关 注 本题亦可利用下述结论来解 设 1 2 s线性无关 1 2 s 1 2 s Cs s 则 1 2 s线性无关 C可逆 请大家自行仿照本题的上述求解过程证明此结论 在本题中 C 10 01 11 00 00 10 00 11 事实上 上述结论可推广为 设 1 2 s线性无关 1 2 t 1 2 s Cs t 则 1 2 t线性无关 r C t 4 见 线性代数学习指导 P75例6 5 见 线性代数学习指导 P76例7 6 见 线性代数学习指导 P76例8 7 见 线性代数学习指导 P80例14 8 见 线性代数学习指导 P80例15 9 见教材P68第5题 线性代数学习指导 P55例20 10 仅需证明 1 2 3 5 4线性无关 因r 1 2 3 3 1 2 3线性无关 故仅需证 明 5 4不能由 1 2 3线性表出 反证法 假设 5 4可由 1 2 3线性表出为 5 4 k1 1 k2 2 k3 3 则 5 k1 1 k2 2 k3 3 4 即 5可由 1 2 3 4线性表出 又r 1 2 3 r 1 2 3 4 3 4可由 1 2 3线 性表出 故 5可由 1 2 3线性表出 于是r 1 2 3 4 5 r 1 2 3 3 矛盾 11 见 线性代数学习指导 P78例10 12 AB E T E 2 T E E 2 T T E 2 T E 2 T T 2 T T E T 2 T T E T 2 T 1 2 E 注 当 为行向量时 T为一个数 而 T 为一个矩阵 此点应格外注意 13 1 2 3 4 1 a234 12 a34 123 a4 1234 a 初等行变换 1234 a 0a0 a 00a a 000a a 10 阶 梯形矩阵 1 1 2 3 4线性相关 r 1 2 3 4 4 a 0或 10 10 2 当a 0时 1 2 3 4 1234 0000 0000 0000 行简化阶梯形矩阵 r 1 2 3 4 1 一个极 大无关组为 1 且 2 2 1 3 3 1 4 4 1 当a 10时 1 2 3 4 123 6 0 10010 00 1010 0000 阶梯形矩阵 100 1 010 1 001 1 0000 行简 化阶梯形矩阵 r 1 2 3 4 3 一个极大无关组为 1 2 3 且 4 1 2 3 第第第4章章章 线线线性性性方方方程程程组组组 习习习题题题4 1 略 习习习题题题4 2 2 见 线性代数学习指导 P94例2 3 A 12k1 2k83 12k1 0k 48 2k1 阶梯形 1 当k 4时 A 1241 0001 因r A 1 2 r A 故无解 2 当k 4时 A 10k 4 k 6 k 4 012 1 k 4 行简化阶梯形 因r A r A 2 3 n 故有无穷多解 一般解为 x1 4 k x3 k 6 k 4 x2 2x3 1 k 4 x3为自由未知量 4 A 11 11 23a3 1a33 11 11 01a 21 00 a 2 a 3 a 阶梯形 1 无解 a 2或 3 2 惟一解 a 2 3 此时 A 100 a 3 a 4 a 2 a 3 010 a 6 a 2 a 3 001 a a 2 a 3 行简化阶梯形 解为 x1 a 3 a 4 a 2 a 3 x2 a 6 a 2 a 3 x3 a a 2 a 3 3 无穷多解 a 2 a 3 0 a 0 a不存在 5 A a114 1b13 12b14 1b13 011 a4 2a 00 a 1 b1 4b 2ab 阶梯形 1 无解 a 1 b 0 1 4b 2ab 0 b 0 a任意或a 1 b 1 2 2 惟一解 a 1 b 0 a 1 b 0 11 3 无穷多解 a 1 b 0 1 4b 2ab 0 a 1 b 1 2 此时 A 1 1 2 13 0102 0000 阶梯形 1012 0102 0000 行简化阶梯形 一般解为 x1 x3 2 x2 2 x3为自由未知量 6 A 1 1000a1 01 100a2 001 10a3 0001 1a4 10001a5 1 1000a1 01 100a2 001 10a3 0001 1a4 00000a1 a2 a3 a4 a5 阶 梯形 有解 a1 a2 a3 a4 a5 0 此时 A 1 1000a1 01 100a2 001 10a3 0001 1a4 000000 阶梯形 1000 1a1 a2 a3 a4 0100 1a2 a3 a4 0010 1a3 a4 0001 1a4 000000 行 简化阶梯形 一般解为 x1 x5 a1 a2 a3 a4 x2 x5 a2 a3 a4 x3 x5 a3 a4 x4 x5 a4 x5为自由未知量 8 1 2 3 1 110 11 1 111 2 111 2 0 1 00 3 2 2 1 阶梯 形 1 不能表出 r 1 2 3 r 1 2 3 3 2 惟一表出 r 1 2 3 r 1 2 3 3 0 3 3 不惟一表出 r 1 2 3 r 1 2 3 1 故r A 2 A 0 注 1 AB O B的列向量都是齐次线性方程组AX O的解 见教材P138第8题 2 若Am nBn s O 则r A r B n 见教材P133 例4 4 3 5 从行列式和矩阵两个角度均可解本题 习习习题题题4 4 1 1 见 线性代数学习指导 P98例8 3 将 代入方程组 求出a b c 再求通解 12 4 A 12 1 20 05 1 5a 2 1 111 12 1 20 05 1 5a 0000a 1 阶梯形 当a 1时 有无穷多解 此时 A 12 1 20 05 1 5 1 00000 10 3 5 0 2 5 01 1 5 1 1 5 00000 行简化阶梯形 一般解为 x1 3 5x3 2 5 x2 1 5x3 x4 1 5 x3 x4为自由未知量 5 见 线性代数学习指导 P102例12 6 直接验证 7 见 线性代数学习指导 P96例4 8 将B按列分块 B 1 2 s 则AB A 1 2 s A 1 A 2 A s O A i 0 i 1 2 s 9 见 线性代数学习指导 P99例9 习习习题题题4 5 略 习习习题题题4 1 1 请求出基础解系 4 A的每行元素之和均为0 A 1 1 1 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 0 0 0 O 1 1 1 是AX O的一个解 又r A n 1 AX O的基础解系中含n r A 1个解向量 故通解 为c 1 1 1 c为任意常数 每个n维列向量都是AX O的解 n维单位列向量组 1 2 n是AX O的基础解系 n r A n r A 0 进而 A O 5 1 1 4 1 2 2 3 2 1 4 3 1 2 是AX B的解 1 2是AX O的基础解系 故AX B的通解为 1 c 1 2 c为任意常数 2 1 AX O的基础解系中含有解向量的个数 3 r A 2 r A 1 2 AX O有非零解 r Am n 0 故 A 1 4 从而A 的一个特征值为 A 1 8 7 设A 代入 8 E A y 2 x 1 x 3 0 将1 2 3代入 习习习题题题5 2 2 2 见 线性代数学习指导 P151例27 3 见 线性代数学习指导 P154例32 4 1 A和B有相同的特征值2 1 3 故A可对角化 2 A和B有相同的秩和行列式 5 对角化 6 见 线性代数学习指导 P156例35 7 见 线性代数学习指导 P156例36 8 令P 1 2 3 则AP A 1 2 3 A 1 A 2 A 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 P 1 2 3 16 A P 1 2 3 P 1 A3 P 1 2 3 3 P 1 P 3 1 3 2 3 3 P 1 注 参见教材P162定理5 2 1的证明过程 9 见 线性代数学习指导 P152例30 习习习题题题5 3 5 AAT E 2 T E 2 T T E 2