高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.3 三角函数的图象与性质 1.3.3 已知三角函数值求角学案 新人教B版必修4.doc

1.3.3已知三角函数值求角基础知识基本能力1了解arcsin x，arccos x，arctan x的意义(难点、易混点)2掌握已知三角函数值求角的方法(重点)1熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间2，2上对应的角(重点)2会用三角函数值表示给定区间内的角(难点、易混点)1已知正弦值，求角一般地，对于正弦函数ysin x，如果已知函数值y(y1,1)，那么在上有唯一的x值和它对应，记为xarcsin y.【自主测试11】若sin x，x，则x等于()aarcsin barcsincarcsin darcsin答案：a【自主测试12】已知是三角形的内角，且sin ，则等于()a b c或 d或答案：d2已知余弦值，求角在区间0，上符合条件cos xy(1y1)的角x，记为xarccos_y(1y1,0x)【自主测试21】已知cos x，x2，则角x等于()a b c d答案：b【自主测试22】已知cos 2x，则角x_.答案：arccos3已知正切值，求角一般地，如果tan xy(yr)，且x，那么对每一个正切值y，在开区间内，有且只有一个角x，使tan xy，符合上述条件的角x，记为xarctan_y，x.【自主测试31】满足sin xcos x的角x的集合是()abcd解析：sin xcos x，tan x1.当x时，xarctan 1，根据正切函数的周期性，得xk，kz.答案：b【自主测试32】arctan_；arctan_；arctan_.答案：已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？答：不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定1化简arcsin(sin x)，arccos(cos x)，arctan(tan x)剖析：比如arcsinarcsin；arcsinarcsin；它们均满足arcsin(sin x)x.然而，我们绝不能依此归纳出arcsin(sin x)x恒成立，如arcsinarcsinarcsin.事实上，arcsin x只能直接表示区间内的角，因此，等式arcsin(sin x)x成立的条件是x.同样可知，等式arccos(cos x)x成立的条件是x0，；等式arctan(tan x)x成立的条件是x.通过剖析可知，只要弄清楚上述几个等式分别成立的条件，那么对于各类试题中经常出现的这类问题就能够正确求解知识拓展已知三角函数值求角的问题中，常用的恒等式有：基本性质：若x，则arcsin(sin x)x；若x0，则arccos(cos x)x；若x，则arctan(tan x)x.运算性质：arcsin(x)arcsin x；arccos(x)arccos x；arctan(x)arctan x.2已知三角函数值求角的基本步骤剖析：在一定范围内已知三角函数值，对应的角不一定只有一个，求该函数值对应的角可分为以下几步第一步：确定角可能是第几象限的角；第二步：如果函数值为正数，则先求出对应的锐角；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角；第三步：如果函数值为负数，则根据角可能是第几象限的角得出(0,2)内对应的角；第四步：如果要求出(0,2)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数这一规律写出结果题型一 已知正弦值求角【例题1】求下列范围内适合sin x的x的集合(1)x；(2)x0,2；(3)xr.解：(1)由ysin x在上是增函数及反正弦函数的概念，知适合sin x的角x只有一个，即x.故所求的x的集合为.(2)当x0,2时，由诱导公式sin(x)sin x及sinsin，可知x1，x2.故所求的x的集合为.(3)当xr时，由正弦函数的周期性可知，当x2k(kz)或x2k(kz)时，sin x，故所求的x的集合是.反思对于已知正弦值求角有如下规律：sin xa(|a|1)xx0,2xarcsin a0a11a0x1arcsin a，x2arcsin ax1arcsin a，x22arcsin a题型二 已知余弦值求角【例题2】已知cos x.(1)若x0，求x；(2)若x0,2，求x.分析：借助余弦函数的图象及所给角的范围求解即可解：(1)满足cos x的锐角为，cos x0，x0，角x为钝角又coscos，x.故满足cos x，x0，的角x为.(2)满足cos x的锐角为，cos x0，x0,2，角x为第二象限的角或第三象限的角又coscoscos，x或x.故满足cos x，x0,2的角x为或.反思对于已知余弦值求角有如下规律：cos xa(|a|1)x0，x0,2xarccos ax1arccos a，x22arccos a题型三 已知正切值求角【例题3】已知tan 3.(1)若，求角；(2)若0,2，求角；(3)若r，求角.分析：借助正切函数的图象及所给角的范围求解即可解：(1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan 3的角只有一个，即arctan(3)(2)tan 30，是第二或第四象限的角又0,2，由正切函数在区间，上是增函数知，符合tan 3的角有两个tan()tan(2)tan 3且arctan(3)，arctan(3)或2arctan(3)(3)karctan(3)(kz)反思对于已知正切值求角有如下规律：tan xa(ar)xx0,2xarctan a0aa0x1arctan a，x2arctan ax1arctan a，x22arctan a题型四 易错辨析【例题4】已知tan x1，且cos x，求x的取值集合错解：tan x10，且cos x0，x是第四象限的角，即2kx2k(kz)x2k，x的取值集合为.错因分析：上述解法不规范，将问题的推导简单化了，跳跃性太强，应严格根据已知函数值求角的步骤进行正解：tan x10，且cos x0，x是第四象限的角，即2kx2k(kz)x2k(kz)，又cos(x2k)cos(x)cos x(kz)，x2karccos(kz)，即x2k2k(kz)x的取值集合为.1已知cos x1，则角x等于()a bk(kz)ck(kz) d(2k1)(kz)答案：d2若sin x，x，则x等于()aarcsin barcsincarcsin darcsin答案：b3()a b0 c1 d解析：arcsin，arccos，arctan()，原式1.答案：c4若cos x，x0，则x的值为()aarccos barccoscarccos darccos解析：x0，且cos x，x，xarccosarccos.答案：b5已知tan 2x，且0x，则x_.解析：因为0x，所以02x2.因为tan 2