高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法课后集训 新人教A版必修4.doc

2.5.1 平面几何中的向量方法课后集训基础达标1.在菱形abcd中，下列关系式不正确的是（ ）a. b.（+）(+)c.（-）(-)=0 d.=解析：a正确；b、c正确，因为菱形两对角线互相垂直；d不正确，因为、夹角与、夹角互补.答案：d2.已知a（2，1）、b（3，2）、c（-1，4），则abc是（ ）a.等边三角形 b.锐角三角形c.直角三角形 d.钝角三角形解析：=（1，1），=（-3，3）.=0，abac.abc为直角三角形.答案：c3.在四边形abcd中，若=，且|=|+1，=0，则四边形abcd是（ ）a.矩形 b.菱形 c.梯形 d.正方形解析：由=得四边形为平行四边形，又因为=0，所以abbc，且|,所以选a.答案：a4.已知abcd的顶点b（1，1），c（4，2），d（5，4）,则顶点a的坐标为（ ）a.（2，3） b.（3，3） c.（3，4） d.（1，3）解析：设a（x,y）,则=,即（1-x,1-y）=(-1,-2),答案：a5.在abc中，若（+）（-）=0，则abc为（ ）a.正三角形 b.直角三角形 c.等腰三角形 d.无法确定解析：由条件得（+）=0，由平行四边形法则，取ab中点d，则+=2，,abc为等腰三角形.答案：c6.如右图，在abc中，若|=4，|=5.|=,则a=_.解析：=-,即|2=|2-2|cosa+|2.cosa=.a=60.答案：60综合运用7.在矩形abcd中，=，=，设=（a,0）,=(0,b),当时，求得的值为（ ）a. b. c.2 d.3解析：由条件可得=+=+=+=（）,=-=-=（，-b）.,=0,=.答案：a8.o为空间中一定点，动点p在a、b、c三点确定的平面内且满足（-）（-）=0，则点p一定在过abc的_的直线上（ ）a.外心 b.内心 c.重心 d.垂心解析：由条件，p在cb的高线上，故选d.答案：d9.(2005湖南文，9)p是abc所在平面上一点，若=，则p是abc的（ ）a.外心 b.内心 c.重心 d.垂心解析：由=得（-）=0，即=0，p在ca的高线上，同理可得p也在ab的高线上，故p为abc的垂心.答案：d拓展探究10.已知abc的面积为14 cm2,d、f分别为边ab、bc上的点，且addb=beec=21，求apc的面积.思路分析：考查灵活利用平面向量基本定理和向量共线的等价条件.可用基本定理和共线条件求出点p的位置后用比例关系计算面积，也可用坐标工具来进行上述运算.解析：如右图，设=a，=b为一组基底，则=a+b，=a+b.点a、p、e和d、p、c分别共线，存在和，使=a+b，=a+b.又=+=(+)a+b,解得于是，pab的面积=14=8（cm2）,pbc的面积=14（1-）=2（cm2）.故apc的面积=14-8-2=4（cm2）.备选习题11.设i是abc的内心，当ab=ac=5，且bc=6时，=+，则=_, =_.解析：如右图所示，设ai交bc于d点.ab=ac，abc为等腰三角形，d为bc的中点，adbc,以bc为x轴，ad为y轴建立平面直角坐标系，则a（0，4），b（-3，0），c（3，0），设i（0，y）则=（3，4），bi=（3，y），=（3，0），由abi=ibd得.代入坐标解得y=,=(0,-).由条件(0,)=(-3,-4)+(6,0),=,=.答案： 12.证明正方形的对角线互相垂直平分.证明：如右图，设一组基底=a，=b，则=a+b.=a-b,=(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0，,即bdac.设ac与bd交于o点，与共线，=（a+b）,又与共线，=（a-b）,在boc中=+.=b+a-b=a+(1-)b由得：解得=.ac与bd互相平分.综上，正方形的对角线垂直且互相平分.13.利用平面向量证明：顺次连结菱形四边中点的四边形是矩形.证明：如右图，设e、f、g、h分别是菱形abcd的边ab、bc、cd、da的中点，则=+=（+）=，= +=（+）=.=,efhg,故有efgh.=+=（+）=（-），=（+）（-）=（|2-|2）=0，.由知，efgh是矩形.14.经过oab重心g的直线与oa、ob分别交于p、q两点，若=m，=n，求证：=3.证明：如右图所示，点g是oab的重心，=(+)=-=(+)-m=(-m)+,由于p、g、q三点共线，则存在实数,使=（-m）+又=-=n-m即n-m=（-m）+=（-m）+，消去，得15.已知abcd是边长为6的正方形，e为ab的中点，点f在边bc上，且bffc=21，af与ec相交于点p.求四边形apcd的面积.解：建如右图坐标系,则有a（0,0）,b(