湖南省永州市高三数学一模考试试题 文（含解析）.doc

2013年湖南省永州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2013永州一模）设集合a=1，b=x|x22x0，则正确的是（）aa=b bab= cba dab考点：集合的包含关系判断及应用专题：计算题分析：通过解不等式求出集合b，再判断1是否为集合b的元素，从而判断出集合a、b的包含关系解答：解：x22x00x2，b=x|0x2，1x|0x2，ab故选d点评：本题考查集合的包含关系2（5分）（2013永州一模）复数z=3（i为虚数单位）的模为（）a2b3cd4考点：复数求模专题：计算题分析：利用复数的除法运算化简给出的复数，然后直接利用模的公式求模解答：解：由z=3=所以故选c点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题3（5分）（2013永州一模）命题p：x（0，），tanx0，则p为（）ax（0，），tanx0bx（0，），tanx0cx0（0，），tanx00dx0（0，），tanx00考点：全称命题；命题的否定专题：计算题分析：直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：x（0，），tanx0，则p为x0（0，），tanx00故选c点评：本题考查全称命题与特称命题的否定关系的应用，考查基本知识4（5分）（2013永州一模）已知某四棱台的上、下底面为正方形，其三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）a20b12c64d68考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：如图所示，由三视图可知：该几何体是一个倒放的四棱台，其中高为，上下底面的边长分别为2，4据此即可得出表面积解答：解：如图所示，由三视图可知：该几何体是一个倒立的四棱台，其中高为，上下底面的边长分别为2，4是上下底面中心分别为o1，o分别取棱ab，a1b1的中点为m，n过点n作neom交于eneo1o=，me=omoe=21=1在rtmne，mn=4=12s表面积=+s上底面+s下底面=412+22+42=68故选d点评：由三视图正确恢复原几何体和掌握正四棱台的表面积的计算公式是解题的关键5（5分）（2013永州一模）已知x，y的值如表所示，若y与x呈线性相关且其回归直线方程为y=x+，则a=（）x468y5a6a4b5c6d7考点：线性回归方程专题：计算题分析：回归直线过样本点的中心（，），由题意可得，代入可得关于a的方程，解之可得答案解答：解：由题意可得=（4+6+8）=6，=（5+a+6），由于回归直线y=x+过点（，），故（5+a+6）=6+，解得a=4故选a点评：本题考查回归直线过样本点的中心（，）的性质，属中档题6（5分）（2013永州一模）如图，a、b、d、e、f为各正方形的顶点若向量=x+y，则x+y=（）a2b1c1d2考点：平面向量的基本定理及其意义专题：计算题；平面向量及应用分析：设小正方形的边长为1，以b为原点，小正方形的两边所在直线分别为x轴、y轴，建立坐标系可得a、b、d、e、f各点的坐标，从而得到向量、和的坐标，根据=x+y建立关于x、y的方程组，解之即可得到x、y之值，从而得到x+y的值解答：解：以b为原点，小正方形的两边所在直线分别为x轴、y轴，建立坐标系如图设小正方形的边长为1，则a（1，2），b（0，0），d（2，3），e（2，2），f（1，1）=（2，3），=（1，0），=（0，1）=x+y，解之得x=2，y=3由此可得x+y=1故选：b点评：本题给出正方形的小方格，求向量、和的线性表达关系，着重考查了平面向量的坐标运算和平面向量的基本定理及其意义等知识，属于中档题7（5分）（2013永州一模）若双曲线=1（a0）与椭圆=1的焦点相同，则双曲线的离心率为（）abc2d考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据椭圆的方程，算出c=4，得椭圆的焦点为（4，0），结合题意得双曲线焦点也是（4，0），由此建立关于a的等式，即可解出实数a的值，得到本题答案解答：解：椭圆的方程为=1，椭圆的半焦距c=4，得椭圆的焦点为（4，0）双曲线=1（a0）与椭圆=1的焦点相同，双曲线=1（a0）的焦点也是（4，0），可得=4，解之得a=2（舍负）故选：c点评：本题给出双曲线与椭圆有相同的焦点，求参数a的值着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题8（5分）（2013永州一模）在abc中，若sin2b+sin2csin2a=sinbsinc，则cosb的取值范围为（）a（，1）b，1c（，1）d，1考点：余弦定理；正弦定理专题：计算题；解三角形分析：通过正弦定理以及余弦定理转化已知表达式，求出a，判断b的范围，然后求出cosb的取值范围解答：解：因为在abc中，若sin2b+sin2csin2a=sinbsinc，所以b2+c2bc=a2，所以cosa=，即a=60b（0，120），所以cosb（，1）故选a点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角形角的范围的判断，考查计算能力9（5分）（2013永州一模）已知定义域为2，2的偶函数f（x）满足f（x）=，若函数y=f（x）m（x+1）有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）a）bc（，d（，）（，+）考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：原问题等价于函数y=f（x）与y=m（x+1）的图象有三个不同的交点，作出函数的图象，数形结合可得答案解答：解：函数g（x）=f（x）m（x+1）有三个不同的零点，等价于函数y=f（x）与y=m（x+1）的图象有三个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：由图象可知，当直线y=m（x+1）经过a（1，1）时，m=，当直线y=m（x+1）经过b（2，）时，m=，由图象可知当m（，）时，两函数的图象有三个不同的交点，即原函数有三个不同的零点，故选a点评：本题考查函数的零点，转化为两函数图象的交点是解决问题的关键，属中档题二、选做题（请考生在10、11两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上10（5分）（2013永州一模）在极坐标系中，曲线c1：=2cos与曲线c2：=sin的图象的交点个数为2考点：简单曲线的极坐标方程专题：直线与圆分析：把两个曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出两个圆的圆心距d=，大于两圆的半径之差而小于半径之和，可得两个圆相交，从而得出结论解答：解：曲线c1：=2cos即2=2cos，即 x2+y2=2x，即（x+1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心，半径等于1的圆曲线c2：=sin，即2=2sin，化为直角坐标方程为 x2+y2=2y，即 x2+（y1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆两个圆的圆心距d=，大于两圆的半径之差而小于半径之和，故两个圆相交，故两个曲线交点的个数为2，故答案为 2点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两圆的位置关系的判断方法，属于中档题11（2013永州一模）已知一种材料的最佳加入量在100g到1100g之间，若用0.618法安排试验，且第一、二试点分别为x1，x2（x1x2），则当x2为好点时，第三次试点x3是336g（用数字作答）考点：黄金分割法0.618法专题：计算题分析：确定区间长度，利用0.618法选取试点，即可求得结论解答：解：由已知试验范围为100，1100，可得区间长度为1000，利用0.618法选取试点：x1=100+0.618（1100100）=718，x2=100+1100718=482，当x2为好点时，x3=100+0.618（482100）=336故答案为：336点评：本题考查的是黄金分割法0.618法的简单应用解答的关键是要了解黄金分割法0.618法三、必做题（1216题）每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上12（5分）（2013永州一模）阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为7，则输出的y值是0考点：循环结构专题：图表型分析：根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|3时跳出循环，输出结果解答：解：当输入x=7时，|x|3，执行循环，x=|43|=7|x|=73，执行循环，x=|73|=4，|x|=43，执行循环，x=|43|=1，退出循环，输出的结果为y=log1=0故答案为：0点评：本题考查循环结构的程序框图，搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题13（5分）（2013永州一模）设不等式组表示的平面区域为d，在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1 的概率是1考点：几何概型专题：概率与统计分析：根据题意，在区域d内随机取一个点p，则p点到坐标原点的距离大于1，点p位于图中正方形oabc内，且在扇形oac的外部，如图中的阴影部分因此算出图中阴影部分面积，再除以正方形oabc面积，即得本题的概率解答：解：到坐标原点的距离大于1的点，位于以原点o为圆心、半径为2的圆外区域d：表示正方形oabc，（如图）其中o为坐标原点，a（2，0），b（2，2），c（0，2）因此在区域d内随机取一个点p，则p点到坐标原点的距离大于1时，点p位于图中正方形oabc内，且在扇形oac的外部，如图中的阴影部分s正方形oabc=22=4，s阴影=s正方形oabcs扇形oac=412=4所求概率为p=1答案为：1点评：本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于1的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题14（5分）（2013永州一模）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5xy的最大值为10考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：作出满足不等式组的可行域，由z=5xy可得y=5xz可得z为该直线在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合图形可求z的最大值解答：解：作出满足不等式组的可行域，如图所示的阴影部分由z=5xy可得y=5xz可得z为该直线在y轴上的截距，截距越大，z越小作直线l：5xy=0，可知把直线平移到a（2，0）时，z最大，故 zmax=10故答案为：10点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题15（5分）（2013永州一模）已知函数f（x）=，给出下列三个结论：f（x）0的解集为x|2x0；f（）为极小值，f（）为极大值；f（x）既没有最大值，也没有最小值其中所有正确结论的序号是考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：综合题；导数的综合应用分析：f（x）0可变为二次不等式，解出即可判断；求出导数f（x），解不等式f（x）0，f（x）0，根据导数符号可判断函数f（x）的极值情况；根据f（x）极值符号及f（x）图象变化趋势可判断函数最值情况；解答：解：f（x）0即0，所以x2+2x0，解得2x0，故f（x）0的解集为x|2x0，正确；f（x）=，令f（x）0得x，令f（x）0得x或x，所以当x=时f（x）取得极小值，当x=时f（x）取得极大值，正确；由知：f（x）的极小值f（）=0，f（x）的极大值f（）=，当x时，f（x）0，当x+时，f（x）0，故f（）为f（x）的极小值也为最小值，错误；故答案为：点评：本题考查二次不等式求解、利用导数研究函数的极值、最值，考查导数的综合应用，属中档题16（5分）（2013永州一模）若两整数a，b除以同一个整数m，所得余数相同，则称a，b对模m同余即当a，b，mz时，若=k（kz，k0），则称a、b对模m同余，用符号a=b（modm）表示（1）若6=b（mod2）且0b6，则b的所有可能取值为2，4；（2）若a=10（modm）（a10，m1），满足条件的a由小到大依次记为a1，a2an，当数列an前m1项的和为60（m1）时，则m=10考点：同余的概念及一次同余方程；数列的求和专题：新定义；等差数列与等比数列分析：（1）由两数同余的定义，m是一个正整数，对两个正整数a、b，若ab是m的倍数，则称a、b模m同余，我们易得若6=b（mod2），则6b为2的整数倍，则b=62n，nz，再根据0b6易得答案（2）若a=10（modm）（a10，m1），由两数同余的定义得，a=10+mn，nn*，又a10，m1，分别取n=1，2，3，m1得数列an前m1项10+m，10+2m，10+3m，10+m（m1），再根据数列an前m1项的和60（m1）结合等差数列的求和公式列出关于m的方程，即可求出m的值解答：解：（1）由两数同余的定义，m是一个正整数，对两个正整数a、b，若ab是m的倍数，则称a、b模m同余，我们易得若6=b（mod2），b=62n，nz，又0b6，故b=2，4满足条件（2）若a=10（modm）（a10，m1），由两数同余的定义得，a=10+mn，nn*，又a10，m1，故a=10+m，10+2m，10+3m，10+m（m1）满足条件数列an前m1项的和为（m1）（10+m）+（m1）（m2）m=60（m1），解得m=10故答案为：2，4；10点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17（12分）（2013永州一模）若函数f（x）=sin2x+2cos2x+m在r上的最大值为5，（1）求m的值；（2）求y=f（x）的单调递减区间考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据二倍角公式以及两角和与差公式化简函数f（x）=2sin（2x+）+1+m，进而得出2+1+m=5，即可求出m的值（2）令 +2k2x+2k，求得x的范围，即可求得函数的单调减区间解答：解：（1）f（x）=sin2x+2cos2x+m=sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+）+1+m （4分）f（x）max=2+1+m=5故 m=2 （6分）（2）由（1）可知 f（x）=2sin（2x+）+3则 +2k2x+2k，解得 k+x+k （10分）所以，函数y=f（x）的单调递减区间为k+，+k（kz） （12分）点评：本题考查三角恒等变换及化简求值，三角函数的最值、单调性，属于中档题18（12分）（2013永州一模）某市政府为了了解居民的生活用电情况，以使全市在用电高峰月份的居民生活不受影响，决定制定一个合理的月均用电标准为了确定一个较为合理的标准，必须先了解全市居民日常用电量的分布情况现采用抽样调查的方式，获得了n位居民在2012年的月均用电量（单位：度）数据，样本统计结果如下图表：分组频数频率0，100.0510，200.2020，303530，40a40，500.1550，605合计n1（1）分别求出n，a的值；（2）若月用电紧张指数y与月均用电量x（单位：度）满足如下关系式：y=+0.3，将频率视为概率，求用电紧张指数不小于70%的概率考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：（1）从直方图中得在20，30小组中的频率，利用样本容量等于频数除以频率得出n，最后求出a处的数；（2）由y70% 得x40，根据计算频率分布表中最后两个小组的频率之和即可估计用电紧张指数不小于70%的概率解答：解：（1）第3组的频率=0.03510=0.35 （2分）样本容量n=100 （4分）a=1（0.05+0.20+0.35+0.15+）=0.20 （6分）（2）由y70% 得 ，x40 （9分）所以，用电紧张指数不小于70%的概率=0.15+0.05=0.20 （12分）点评：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法频率分布直方图中小长方形的面积=组距=频率，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求频率，属于常规题型19（12分）（2013永州一模）如图的几何体中，ab平面acd，de平面acd，acd为等边三角形，ad=de=2ab，f为cd的中点（1）求证：af平面bce；（2）求直线ce与平面ade所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）取ce的中点g，连结fg，bg，先证明四边形gfab为平行四边形，可得afbg，再利用线面平行的判定方法，即可证明结论；（2）取ad的中点h，连结ch，eh，证明ceh为ce与平面ade所成角，再利用正弦函数即可求得解答：（1）证明：取ce的中点g，连结fg，bgf为cd的中点，gfde且gf=deab平面acd，de平面acd，abde，gfab （2分）又ab=de，gf=ab 四边形gfab为平行四边形，afbg （4分）af平面bce，bg平面bce，af平面bce （6分）（2）解：取ad的中点h，连结ch，ehacd为等边三角形，chad又de平面acd，ch面acdchdeadde=dch平面ade ceh为ce与平面ade所成角（8分）不妨设ad=2，则de=cd=2，ce=2，ch=在rtche中，sinceh=直线ce与面ade所成角的正弦值为（12分）点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行的判定方法是关键20（13分）（2013永州一模）已知动圆过定点a（2，0），且与直线x=2相切（1）求动圆圆心的轨迹c的方程；（2）是否存在过点（0，1）的直线l，与轨迹c交于p，q两点，且以线段pq为直径的圆过定点a？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用动圆过定点a（2，0），且与直线x=2相切，根据抛物线的定义，可得轨迹c为以a（2，0）为焦点，x=2为准线的抛物线，由此可得动圆圆心的轨迹c的方程；（2）设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量知识，即可求出直线l的方程解答：解：（1）由题意可知，圆心到定点a（2，0）的距离与到定直线x=2的距离相等，由抛物线定义可知，轨迹c为以a（2，0）为焦点，x=2为准线的抛物线，p=2，抛物线方程为y2=8x （4分）（2）假设存在直线l符合题意（5分）由题意易知，直线l的斜率k存在且不为零，又因过点（0，1），故设直线l的方程为y=kx+1，（6分）联立直线与抛物线方程得，消元整理得k2x2+（2k8）x+1=0，设交点坐标为p（x1，y1），q（x2，y2），则=（2k8）24k20，k2 且x1+x2=，； （9分）=（x12，y1）（x22，y2）=（k2+1）x1x2+（k2）（x1+x2）+5=+（k2）（）+5=0k=符合，（12分）所以存在符合题意的直线l，其方程为y=（）x+1（13分）点评：本题考查轨迹方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21（13分）（2013永州一模）某企业为加大对新产品的推销力度，决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传，以增加新产品的销售收入已知今年的销售收入为250万元，经市场调查，预测第n年与第n1年销售收入an与an1万元满足关系式：an=an1+100（1）设今年为第一年，求第n年的销售收入an；（2）依上述预测，该企业前几年的销售收入总和s