动点最值专题.doc

卓越学府-用心做好教育何最值问题专题1、中垂线模型（两定点）2、角平分线模型（一动点一定点）3、三角形/平行四边形模型（两边之和大于第三边，斜边中线是斜边一半等）4、圆有关（简单了解）例一、1、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km（1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置；（2）如果铺设水管的工程费用为每千米1000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？2. 点A、均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示若P是x轴上使得 |PA -PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则P点的坐标为 Q的坐标为 自我练习1、如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为 2、如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则的最大值等于 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm4.如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PAPC的最小值为 . 1题 2题 3题 4题5、如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当AEF的周长最小时，则DF的长为 6、如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 7、如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则ABP的周长的最小值为 8、如图，四边形ABCD中，BAD120，BD90，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMNANM的度数为 5题 6题 7题 8题 例二、（基本题型）1、在ABC中，ABAC5，BC6若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 自我练习1、如图，OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为 2、如图，已知点P是AOB角平分线上的一点，AOB=60，PDOA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为 3、如图，在四边形ABCD中，A=90，AD=4，连接BD，BDCD，ADB=C若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 4、如图，已知点A的坐标为（2，0），点B在直线y=x上运动，则当线段AB最短时，点B的坐标为_ 1题 2题 3题 4题（经典题型）1、如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 2、如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 自我练习1、 如图，正方形ABCD的边长是4，DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值 2、如图,在ABC中,AB=AC=5，BC=6,AD是BC边上的中线，M是AC边上的动点，则CM+EM的最小值为 3、如图，点P是AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PMN周长的最小值是5cm，则AOB的度数是 4、如图,点P是AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若AOB=45，OP=3，则PMN周长的最小值为 . 1题 2题 3题 4题5、如图，在ABC中，=90，AC=6，BC=8，AD是BAC的平分线若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 6、如图，已知DAE=22.5，点C是射线AE上一点，且线段AC=3，若点M和点N 分别是射线AD和线段AC上的两个动点，则MN+MC的最小值是 。7、如图，已知AOB=30，点C是射线OB上一点，且线段OC=3，D是射线OA上一点，且OD=1若点M和点N 分别是射线AD和线段AC上的两个动点，则DM+MN+MC的最小值是 5题 6题 7题例三、农场里有一条小河，里面养了很多鱼。在河的两岸有两个加工厂，农场主经常要在这两个工厂之间来回奔波。农场新买了一辆汽车，想在农场内建造一条马路，同时在河上修建一座桥。要求桥与河岸垂直，可是桥应该建在何处，才能使两个加工厂之间的路程最短？问题的延伸：如果有两条河，需要建造两座桥，又该如何呢？如图，把A向下平移到A的位置，使线段AA等于河L1L2的宽度；把B向上平移到B的位置，使线段BB等于河L3L4的宽度。连接线段BA，交L2于点C，交L3于点F。过C、F分别作垂线段CD、FE，就是建桥的位置。如果有三条河又如何？更多的河流建更多的桥又如何呢？ 自我练习1.如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a= 时，四边形ABDC的周长最短2、如图，当四边形PABN的周长最小时，a= 3、如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16点E是AB的中点，P、Q是BD上的动点，且始终保持PQ=2则四边形AEPQ周长的最小值为 （结果保留根号） 1题 2题 3题例四、1、如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 2、在ABC中，BAC=120，AB=AC=4，M、N两点分别是边AB、AC上的动点，将AMN沿MN翻折，A点的对应点为A，连接BA，则BA的最小值是_自我练习1 在RtACB中，ACB=90，AC=6，BC=8，P、Q两点分别是边AC、BC上的动点，将PCQ沿PQ翻折，C点的对应点为，连接A，则A的最小值是_2、如图，在ABC中，ACB=90，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是 . 3、如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连接AC. 则AC长度的最小值是 . 1题 2题 3题 4题5、如图，菱形ABCD的周长为16，以AB为一边画等边ABE，点E、D在直线AB的同侧，在AC上找一点P，使EP+DP最小，则这个最小值为 6、如图,在等腰ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是线段BC边上的任意一点(与A,B,C不重合),连接AP,以AP为边向两边做等边三角形，分别与边AB、AC相交于点M,N，则PM+PN的最小值为 。 5题 6题 例五（圆有关）如图，O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切O于点Q，则PQ的最小值为 如图，MN为O的直径，A、B是O上的两点，过A作ACMN于点C，过B作BDMN于点D，P为DC上的任意一点，若MN20，AC8，BD6，则PAPB的最小值是 。如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，O的半径为1，则AP+BP的最小值为( ) A1 B C D如图，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 如图，菱形ABCD中，A=60，AB=3，A、B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、A和B上的动点，则PE+PF的最小值是 如图，在RtAOB中，OA=OB=，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ（点Q为切点），则PQ长度的最小值为_如图，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB=30，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与O交于G，H两点若O的半径为7，则GE+FH的最大值为_ 如图，O的半径是2，直线l与O相交于A、B两点，M、N是O上的两个动点，且在直线l的异侧，若AMB=45，则四边形MANB面积的最大值是 例六、函数方法1. 如图，在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_A1B2C3D42、正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BCCD上两个动点，且始终保持AMMN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm23、如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE长的最小值是 4、如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边APC和等边BPD，则CD长度的最小值为 5、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值大题练习1、如图，已知平面直角坐标系中A，B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）.（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=_时，PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=_时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0），N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请写出m和n的值；若不存在，请说明理由.2、已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DEPD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AEnPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由3、某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处如图，甲，乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学点B在点M的北偏西30的3km处，点A在