福建省漳州实验中学、龙海一中联考高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

福建省漳州实验中学、龙 海一中联考2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题各5分，共50分）1已知i为虚数单位，则=( )a2+ib2+ic2id2i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的四则运算即可得到结论解答：解：=，故选：b点评：本题主要考查复数的计算，要求熟练掌握复数的四则运算，比较基础2“a=1”是“直线ax+y=1与直线x+ay=2平行”的( )a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：直线与圆；简易逻辑分析：由a=1能得到直线ax+y=1与直线x+ay=2平行，反之由两直线平行可得a=1由此可得答案解答：解：由a=1，得两直线方程为x+y=1与x+y=2，两直线平行；由直线ax+y=1与直线x+ay=2平行，可得，解得：a=1“a=1”是“直线ax+y=1与直线x+ay=2平行”的充分而不必要条件故选：a点评：本题考查了充分必要条件的判定方法，考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，是基础题3如图，若f（x）=logx3，g（x）=log2x，输入x=0.25，则输出h（x）=( )a0.25b2log32clog23d2考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是判断并输出h（x）取f（x）与g（x）中的较小值解答：解：h（x）取f（x）与g（x）中的较小值，即h（0.25）=minf（0.25），g（0.25），g（0.25）=log20.25=2，f（0.25）=（）2=g（0.25）=2f（0.25）=故输出结果为：2故选：d点评：分析流程图后，易得程序的功能是计算并输出分段函数的值，则可以转化为一个数学问题，将入x=0.25代入计算出f（x）=x2，g（x）=log2x的函数值，代入分段函数即可得到答案4已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是( )a8cm3b12cm3c24cm3d72cm3考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：通过三视图复原的几何体，以及三视图的数据，直接求解几何体的体积解答：解：因为三视图复原的几何体是三棱锥，三棱锥的底面三角形是底为6，高为4的等腰三角形，三棱锥的高为3，所以三棱锥的体积为：=12 （cm3）故选b点评：本题考查三视图与几何体的关系的判断几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力5已知等比数列an的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则an的前8项和为( )a127b255c511d1023考点：等差数列与等比数列的综合 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据且a1，a3，a2成等差数列，列出方程2a6 =2a4 +48，求出首项a1，再根据等比数列的求和公式，即可得答案解答：解：2a4、a6、48成等差数列，2a6 =2a4 +48，2a1q5=2a1q3+48，又等比数列an的公比q=2，解得，a1=1，an的前8项和为故选b点评：本题主要考查等差数列的定义和性质、等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式属于基础题6x、y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )a或1b2或c2或1d2或1考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分abc）由z=yax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在a处取得最大值，不满足条件，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2xy+2=0平行，此时a=2，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y2=0，平行，此时a=1，综上a=1或a=2，故选：d点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义7函数f（x）=sin（x+）（其中|）的图象如图所示，为了得到y=sinx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点( )a向右平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度d向左平移个单位长度考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=asin（x+）的图象变换 专题：计算题分析：根据周期求出，再由五点法作图求出，从而得到函数f（x）=sin2（x+），故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinx的图象，从而得出结论解答：解：由题意可得 =，=2再由五点法作图可得 2+=，=，故函数f（x）=sin（x+）=sin（2x+）=sin2（x+）故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinx的图象，故选a点评：本题主要考查由函数y=asin（x+）的部分图象求函数的解析式，函数y=asin（x+）的图象变换，属于中档题8已知函数y=f（x）为r上可导函数，且对xr都有f（2x）=x3f（1）10x成立，则函数y=f（x），x的值域为( )arbcd（，0）考点：导数的运算 专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：设t=2x则x=t，代入f（2x）=x3f（1）10x化简，把t换成x求出f（x）的解析式，由求导公式求出f（x），令x=1代入列出方程求出f（1），代入f（x）并判断符号，从而得到函数f（x）在上的单调性，求出函数的最值，即可求出函数的值域解答：解：设t=2x，则x=t，代入f（2x）=x3f（1）10x得，y=f（1）5t，则f（x）=f（1）5x，所以f（x）=f（1）5，令x=1代入上式可得，f（1）=f（1）5，解得f（1）=8，所以f（x）=x35x，则f（x）=3x250，则函数f（x）在上是减函数，当x=1时，函数f（x）取到最大值f（1）=6，当x=1时，函数f（x）取到最小值f（1）=6，所以所求的函数值域是，故选：b点评：本题考查求导公式，导数与函数的单调性的关系，以及换元法求函数的解析式，属于中档题9某数学爱好者设计了一个食品商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系xoy，则商标的边缘轮廓线aoc恰是函数y=tan的图象，边缘轮廓线aec恰是一段所对的圆心角为的圆弧若在图中正方形abcd内随机选取一点p，则点p落在商标区域内的概率等于( )abcd考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：求出阴影部分的面积、正方形的面积，即可求出点p落在商标区域内的概率解答：解：阴影部分的面积为（tan+1）d（4）=（lncos+）4+=2，正方形的面积为4，点p落在商标区域内的概率等于故选：c点评：本题主要考查了与面积有关的几何概率公式的应用，解题中的关键是求出阴影部分的面积，属于公式的简单应用10对于定义域为的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：对任意的x，总有f（x）0f（1）=1若x10，x20，x1+x21，都有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立；则称函数f（x）为理想函数下面有三个命题：若函数f（x）为理想函数，则f（0）=0；函数f（x）=2x1（x）是理想函数；若函数f（x）是理想函数，假定存在x0，使得f（x0），且f=x0，则f（x0）=x0；其中正确的命题个数有( )a0个b1个c2个d3个考点：命题的真假判断与应用 专题：新定义分析：（1）由知：f（0）0；由知f（0）0，从而得到f（0）=0（2）由题设知g（1）=1；由x知2x，得g（x），有g（x）0；设x10，x20，x1+x21，则2x11，2x21；由此能够证明函数g（x）=2x1在区间上同时适合（3）若f（x0）x0，则由题设知f（x0）x0，且由知f0，由此入手能证明f（x0）=x0解答：解解：（1）由知：f（0）0；由知：f（0+0）f（0）+f（0），即f（0）0；f（0）=0，正确，（2 ） 由题设知：g（1）=21=1；由x知2x，得g（x），有g（x）0；设x10，x20，x1+x21，则2x11，2x21；g（x1+x2）=（2x1+x21）=（2x11）（2x21）0即g（x1+x2）g（x1）+g（x2）函数g（x）=2x1在区间上同时适合正确，（3）证明：若f（x0）x0，则由题设知：f（x0）x0，且由知f0，由题设及知：x0=f（f（x0）=ff+f（x0）f（x0）矛盾；若f（x0）x0，则由题设知：x0f（x0），且由知f0，同理得：f（x0）=f=f+f（f（x0）f（f（x0）=x0，矛盾；故由上述知：f（x0）=x0正确故选：d点评：本题考查函数值的求法和函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，仔细解答二、填空题（每小题各4分，共20分）11集合a=3，2a，b=a，b，若ab=2，则ab=1，2，3考点：并集及其运算；交集及其运算 分析：根据题意，若ab=2，则2a，则可得2a=2，可得a的值，进而可得b的值，再由并集的意义，可得答案解答：解：根据题意，若ab=2，则2a，2b，而已知a=3，2a，则必有2a=2，故a=1，又由2b，且a=1则b=2，故ab=1，2，3，故答案为1，2，3点评：本题综合考查并集、交集的意义与运算，要求学生有一定的逻辑分析能力12若二项式的展开式的常数项为160，则=ln2考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160求得实数a的值，从而求得的值解答：解：二项式的展开式的通项公式为tr+1=（1）ra6rx62r，令62r=0，可得常数项为a3=160，求得a=2，=lnx=ln2ln1=ln2，故答案为：ln2点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题13观察下列等式：照此规律，第n个等式可为1222+3242+（1）n+1n2=（1）n+1考点：归纳推理 专题：推理和证明分析：根据题中所给的规律，进行归纳猜想，得出本题结论解答：解：由题意知：12=1，1222=（2212）=（21）（2+1）=（1+2）=3，1222+32=1+（3222）=1+（32）（3+2）=1+2+3=6，1222+3242=（2212）（4232）=（1+2+3+4）=10，1222+3242+（1）n+1n2=（1）n+1（1+2+3+n）=（1）n+1照此规律，第n个等式可为1222+3242+（1）n+1n2=（1）n+1点评：本题考查的是归纳推理，要难点在于发现其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找，本题属于中档题14椭圆 （ab0）上一点a关于原点的对称点为b，f为椭圆的右焦点，afbf，abf=a，a，则椭圆的离心率的取值范围为考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；压轴题分析：设左焦点为f，根据椭圆定义：|af|+|af|=2a，根据b和a关于原点对称可知|bf|=|af|，推知|af|+|bf|=2a，又根据o是rtabf的斜边中点可知|ab|=2c，在rtabf中用和c分别表示出|af|和|bf|代入|af|+|bf|=2a中即可表示出 即离心率e，进而根据的范围确定e的范围解答：解：b和a关于原点对称b也在椭圆上设左焦点为f根据椭圆定义：|af|+|af|=2a又|bf|=|af|af|+|bf|=2a o是rtabf的斜边中点，|ab|=2c又|af|=2csin |bf|=2ccos 代入2csin+2ccos=2a=即e=a，+/4sin（+）1e故答案为点评：本题主要考查了椭圆的性质解题时要特别利用好椭圆的定义15如图，四边形abcd是正方形，延长cd至e，使得de=cd，若动点p从点a出发，沿正方形的边按如下路线运动：abcdead，其中，则下列判断中：当p为bc的中点时+=2； 满足+=1的点p恰有三个；+的最大值为3； 若满足+=k的点p有且只有两个，则k（1，3）正确判断的序号是（请写出所有正确判断的序号）考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则b（1，0），e（1，1），故=（1，0），=（1，1），其中=（，）：点p为bc的中点，解得，即可判断出正误；：点p与b重合，点p为ad的中点，点p为e点，都满足+=1，即可判断出正误；：分类讨论：当pab时，当pbc时，当pcd时，当pad时，当pea时，当pde时，即可得出：+的范围，即可判断出正误；：由知，若满足+=k的点p有且只有两个，则k即可判断出正误解答：解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则b（1，0），e（1，1），故=（1，0），=（1，1），其中=（，）对于：点p为bc的中点，解得，+=2，故正确；对于：当=1，=0时，=（1，0），此时点p与b重合，满足+=1，当=，=时，=（0，），此时点p为ad的中点，满足+=1，若=0，=1，则，此时点p为e点，满足+=1，故满足+=1的点有且只有三个，故正确；对于：当pab时，有01，=0，可得01，故有0+1，当pbc时，有=1，01，所以011，故12，故1+3，当pcd时，有01，=1，所以011，故12，故2+3，当pad时，有=0，01，所以01，故0+2，当pea时，有=0，01，故0+1，当pde时，有10，=1，所以01，故0+2，综上可得0+3，故c正确对于：由知，若满足+=k的点p有且只有两个，则k故错误故答案为：点评：本题考查了向量的线性运算、向量坐标的理解与应用，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题三解答题：（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证过程或演算步骤共80分）16某高校在2014年考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组得到的频率分布直方图如图所示，（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙不同时进入第二轮面试的概率；若第三组被抽中的学生实力相当，在第二轮面试中获得优秀的概率均为，设第三组中被抽中的学生有x名获得优秀，求x的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）由频率分布直方图能求出第3，4，5组的频率（2）先求出学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率，再由对立事件概率计算公式能求出学生甲和学生乙不同时进入第二轮面试的概率由已知得x，由此能求出x的分布列和数学期望解答：解：（1）第三组的频率为0.065=0.3，第四组的频率为0.045=0.2，第五组的频率为0.025=0.13 分（2）设学生甲和学生乙同时进入第二轮面试为事件m：则p（m）=所以学生甲和学生乙不同时进入第二轮面试的概率p（）=1=8 分由已知得x，且，k=0，1，2，3，x的分布列如下：x0123px的数学期望ex=np=313 分点评：本题考查频率分布直方图的求法，考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意二项分布的合理运用17已知函数f（x）=2cos2xsin（2x）（）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（）已知abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c若f（a）=，b+c=2求实数a的取值范围考点：三角函数中的恒等变换应用；余弦定理 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形分析：（）化简可得解析式f（x）=1+sin（2x+），从而可求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（）由题意，化简可求得a的值，在abc中，根据余弦定理，由b+c=2，知，即a21又由b+ca得a2，即可求实数a的取值范围解答：本小题满分解：（）=函数f（x）的最大值为2当且仅当，即，即时取到所以函数最大值为2时x的取值集合为（）由题意，化简得 a（0，），在abc中，根据余弦定理，得由b+c=2，知，即a21当b=c=1时，取等号又由b+ca得a2所以a的取值范围是考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；向量方法证明线、面的位置关系定理 专题：计算题；证明题分析：（i）由已知中de平面abcd，abcd是边长为3的正方形，我们可得deac，acbd，结合线面垂直的判定定理可得ac平面bde；（）以d为坐标原点，da，dc，de方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面bef和平面bde的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角fbed的余弦值；（）由已知中m是线段bd上一个动点，设m（t，t，0）根据am平面bef，则直线am的方向向量与平面bef法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定m点的位置解答：证明：（）因为de平面abcd，所以deac因为abcd是正方形，所以acbd，从而ac平面bde解：（）因为da，dc，de两两垂直，所以建立空间直角坐标系dxyz如图所示因为be与平面abcd所成角为600，即dbe=60，所以由ad=3，可知，则a（3，0，0），b（3，3，0），c（0，3，0），所以，设平面bef的法向量为n=（x，y，z），则，即令，则n=因为ac平面bde，所以为平面bde的法向量，所以因为二面角为锐角，所以二面角fbed的余弦值为（）点m是线段bd上一个动点，设m（t，t，0）则因为am平面bef，所以=0，即4（t3）+2t=0，解得t=2此时，点m坐标为（2，2，0），即当时，am平面bef点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面垂直的判定，向量法确定直线与平面的位置关系，其中（i）的关键是证得deac，acbd，熟练掌握线面垂直的判定定理，（ii）的关键是建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题，（iii）的关键是根据am平面bef，则直线am的方向向量与平面bef法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程19设抛物线c1：y2=4x的准线与x轴交于点f1，焦点为f2；以f1，f2为焦点，离心率为的椭圆记作c2（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l经过椭圆c2的右焦点f2，与抛物线c1交于a1，a2两点，与椭圆c2交于b1，b2两点当以b1b2为直径的圆经过f1时，求|a1a2|长考点：抛物线的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设椭圆c2的方程为+=1（ab0），由题意得，由此能求出椭圆的标准方程；（2）当直线l与x轴垂直时，b1（1，），b2（1，），又f1（1，0），不满足条件，当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=k（x1），由由，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|a1a2|解答：解：（1）抛物线c1：y2=4x的准线与x轴交于点f1，焦点为f2，以f1、f2为焦点，离心率为的椭圆记作c2，椭圆c2的焦点坐标为f1（1，0），f2（1，0），设椭圆c2的方程为+=1（ab0），由题意得，解得a=2，c=1，b=，椭圆的标准方程为：；（2）当直线l与x轴垂直时，b1（1，），b2（1，