湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 2.5 有理数的大小比较导学案 华东师大版 .doc

1 湖北省武穴市实验中学七年级数学上册湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 2 52 5 有理数的大小比较导学有理数的大小比较导学 案案 华东师大版华东师大版 目标 概览 本节是利用数轴及绝对值的基本概念来进行拓展应用的 其具体目标为 利用数轴比较大小 学会利用绝对值比较两个负数的大小 对小学阶段分数的大小比较进行必要的复飞 进一步理解有理数大小比较的方法 能通过推理过程 了解转化思想 思考 交流 如图所示给出了一周中的每天的最高气温和最 低气温 其中最低气温是 最高气温是 你能将这 14 个温度按从低到高的顺序排列 吗 今天我们专门来讨论这个问题 学法 指津 学习本节知识要综合运用数轴及相反数绝对值等概念的知识 把数轴 相反数 绝对值进行 综合分析 结合代数与几何 即数与形 的比较分析得出正确的结论 比较两个正数的大小 可以使用数轴比较 也可以使用 求差法 比较 比较一正一负的两数的大小 可以很方便地使用数轴进行分析 比较两个负数的大小 当然可以使用数轴进行分析 但是有些数在数轴上画起来并不方便 因此可以使用比较它们的绝对值的方法进行分析 如果大家熟练的话 当然也可以使用 求差法 进行比较 知识 导学 通过对数轴的了解 我们知道 在数轴上表示两个有理数 右边的数总比左边的数大 正数 都大于 0 负数都小于 0 正数都大于负数 但是如何比较两个负数的大小呢 知识点 重难点 有理数的大小比较 利用绝对值比较两个负数的大小 明确两个负数比较大小的方法和步骤 两个负数 绝对值 2 大的反而小 比较两个负数的大小 可按下列步骤进行 先求出两个负数的绝对值 比较两个 内容是本节的难点 而比较两个正数的大小及正 负等情况的两个数的大小 可以通过数轴来比 较有理数的大小 能力拓展 有理数的大小比较方法有很多 其中 作差法 是一种很重要的方法 其基本步 骤为 要比较有理数 a b 的大小 先求 a b 的值 判断 a b 的值的正 负性 若 a b 0 则 a b 若 a b 0 则 a b 若 a b 0 则 a b 技巧 解悟 一 考查有理数的大小比较 例 1 比较下列各组数的大小 和 和 12 7 6 5 7 6 8 7 解析 比较两个负数的大小 根据绝对值大的反而小的法则 要先求出两个负数的绝对值 再比较绝对值的大小 最后判断两个负数的大小 答案 而 12 7 12 7 6 5 6 5 12 10 12 7 12 10 12 7 6 5 而 7 6 7 6 56 48 8 7 8 7 56 49 56 48 56 49 7 6 8 7 名师点拨 上面的符号 读作 因为 和 所以 是推理的必要工具 比较 分数的大小 要通分化成同分母分数 再比较大小 例 2 在数轴上 下列说法不正确的是 a 两个有理数 绝对值大的离原点远b 两个有理数 大的在右边 c 两个负有理数 大的离原点近d 两个有理数 大的离原点远 解析 a 正确 绝对值的几何定义是某一个数所表示的点到原点的距离 绝对值大的当然离原 点远 b 正确 在数轴上右边的数总比左边的数大 c 正确 离原点近即意味着它的绝对值小 而两个负有理数 绝对值小的反而大 d 错误 如 2 5 2 5 但 2 离原点更近 例 3 有理数 a b 在数轴上表示如图所示 b 0 a 3 那么 a b ab a b c aa 解析 a 错误 因为正数大于负数 b 错误 因为表示 a 的点比表示 b 的点距离原点更近 而利用绝对值的几何已知知 a b c 错误 a 与 b 均为负数 但 a a b d 正确 根据 b 与 b 互为相反数在数轴上找出 b 所表示的点 可知 b 所表示的点在 a 所表示 的点的右边 故 b a 答案 d 例 4 已知有理数a b 在数轴上所表示的点如图所示 试分析比较 a b a b 的大小 其 中正确的是 a 0 b a a b a bb a b b ac b a a bd a b b a 解析 根据数 a b 在数轴上的位置及相反数的意义 可在数轴上确定 a b 的位置 答案 在数轴上找出表示 a b 的点 a b 0 b a 故 a b b0 ba 则 a b a b 的大小顺序是 a b a a bb a b a bc b a a bd a a b0 ba 而 a 0 故 b a 即知 b 所表示的点比 a 所表示的点距原点更远些 如图示 b 0 a 在图中把 a b 的相反数也表示出来为 b a 0 a b 4 由数轴可知 b a a b 即选 a 方法规律 综合运用数轴相反数 绝对值进行分析是一种必要的能力 同学们在其他方法不 能凑效的情况下 试一试会起到事半功倍的效果 例 2 已知 a x 3 化简 x 2 x 3 解析 去掉绝对值符号 关键是判断绝对值符号里面的式子的正负性 答案 2 x0 x 3 0 故 x 2 x 3 x 2 3 x x 2 3 x 2x 1 经验技巧 利用不等式来判断某一个式子的正负性 在化简绝对值时要经常用到 由 2 x0 呢 是因为 2 2 故数轴上表示 x 的点在表示 2 的点的右边 故 x x 0 x 2 0 同理 x 3 0 探究 体验 图表信息题 例 1 有理数 a b 在数轴上对应的位置如图所示 试化简 a b a b b 0 a 解析 结合数轴 利用数形结合 由 a b 的对应位置可知 b 0 a 答案 b 00 a b a b a b a b a b a b 2b 名师点拨 本题把数的大小比较 绝对值的意义与数轴有机地结合起来 体现了数形结合的 数学思想 用数轴给出问题的已知条件 便于直接地进行分析 解涉及数轴的数的大小比较 相反 数 绝对值等知识点的问题 先要掌握这些概念的几何意义 探究题 例 2 a 1 且 a 是负整数 请用 1 且 a 是负整数 a 的取值为 2 3 4 当 a 2 时 a a 的排列顺序为 a a a 1 a 1 a 1 a 1 当 a 3 时 它们排列顺序也是如此 5 我们可以试用 a 4 5 均可以发现它们的排列顺序都是 a a a 1 a 1 答案 它们的排列顺序为 a 3 5 5 3 3 5 5 3 因为 10 100 正确 错误 3 3 错误 且 2 1 2 1 3 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 又 4 3 4 3 5 4 5 4 4 3 5 4 4 3 5 4 0 625 0 618 0 618 又 0 625 0 618 9 099 9 1 9 099 8 8 8 8 又 6 5 6 5 8 7 8 7 6 5 8 7 6 5 8 7 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 3 14 0 0 14 2 7 7 22 绝对值小于 5 的所有整数为 4 3 2 1 0 1 没有最小的正数 也没有最大的负数 因为表示正数的点可以无限地按近原点 表示负数 的点也可以无限地按近原点 2 有绝对值最小的有理数它是 0 6 自主评价 一 基础题 比较下列各组数的大小 0 25 0 2 3 1416 3 5 3 5 7 3 8 3 9 1 9 088 4 3 4 3 6 5 8 7 填空 大于 2 且小于 6 的整数有 其中非负数有 个 若 x 0 y 0 且 x y 则 x y 选择题 如果 a a 那么 a a 一定是负数 b a 一定是正数 c a 一定是非负数 d a 不能是零 下列判断正确的是 a 若 a b 则 a b b 若 a b 则 a b c 若 a b 则 a b d 若 a b 0 则 a b 一个正整数 n 与其倒数 相反数 n 相比较下列判断正确的是 n 1 a n n b n n c n n d n n n 1 n 1 n 1 n 1 自主评价 解析 7 3 8 3 7 3 7 3 8 3 8 3 7 3 8 3 7 3 8 3 3 1416 解析 3 1416 3 1416 3 1416 3 1416 0 25 0 2 解析 正数大于任意负数 3 5 3 5 解析 3 5 3 5 3 5 3 5 9 1 9 088 解析 9 1 9 1 9 088 9 088 9 1 9 088 9 1 9 088 4 3 4 3 解析 4 3 4 3 4 3 4 3 解析 6 5 8 7 6 5 6 5 8 7 8 7 6 5 8 7 6 5 8 7 解析 大于 2 且小于 6 的整数有 1 0 1 2 3 4 5 其中非负数有 6 个 7 解析 两个负数绝对值大的反而小 反而言之 两个负数较大的那个数的绝对值反而小 故 x y c 解析 a 的绝对值等于它本身 a 故 a 一定是非负数 d 解析 可以使用特殊值进行分析 a 解析 一般地有 n n n 1 资料 交流 符号的来历 你知道 和 这些数字符号的来历吗 和 号都诞生在法国 那是在 15 世纪的时候 法国有个名叫魏清美的数学家 他 非常勤劳整天废寝忘食地搞计算 当时 还没有现成的符号可以使用 他在工作中 一边计算 一边自言自语地说 在横线上加一竖 就表示增加的意思吧 你就叫加号吧 从加号中拿掉 一竖就是减少的意思 好 一 你就叫做减号吧 从此以后 一 号就诞生了 等于 出现比 号晚一百多年 它是由 16 世纪时英国学者列科夫德创造出来 的 当年他在研究数学时 经常碰到两个数字相等的情况 又无法标记 就决心创造一个符号 比 较了许多图形和符号 他觉得 世界上再没有比两条平行而又相等的直线更相同的了 于是他就 用 来表示两个相等的数并取名为 等号 再说 两个符号 在 18 世纪 美国的数学家欧德菜 发现乘法也是增加的意思 但又和加法不同怎么办呢 他就把加号斜过来写成 表示数字增加的另一种运算法并取名为 乘号 号诞生