VAR模型与向量VECM模型.pdf

向量自回归模型 向量自回归模型 VAR 与向量误差修正模型 与向量误差修正模型 VEC 向量自回归模型 向量自回归模型 VAR p 传统的经济计量学联立方程模型建摸方法 是以经济理论为基础来描述经济变量之间的结构关系 采 用的是结构方法来建立模型 所建立的就是联立方程结构式模型 这种模型其优点是具有明显的经济理论 含义 但是 从计量经济学建摸理论而言 也存在许多弊端而受到质疑 一是在模型建立之处 首先需要明确哪些是内生变量 哪些是外生变量 尽管可以根据研究问题和目 的来确定 但有时也并不容易 二是所设定的模型 每一结构方程都含有内生多个内生变量 当将某一内生变量作为被解释变量出现 在方程左边时 右边将会含有多个其余内生变量 由于它们与扰动项相关 从而使模型参数估计变得十 分复杂 在未估计前 就需要讨论识别性 三是结构式模型不能很好地反映出变量间的动态联系 为了解决这一问题 经过一些现代计量经济学家门的研究 就给出了一种非结构性建立经济变量之间 关系模型的方法 这就是所谓向量自回归模型 Vector Autoregression Model VAR模型最早是1980年 由C A Sims引入到计量经济学中 它实质上是多元AR模型在经济计量学中的应用 VAR模型不是以经济理论为基础描述经济变量之间的结构关系来建立模型的 它是以数据统计性质为 基础 把某一经济系统中的每一变量作为所有变量的滞后变量的函数来构造模型的 它是一种处理具有相 关关系的多变量的分析和预测 随机扰动对系统的动态冲击的最方便的方法 而且在一定条件下 多元MA 模型 ARMA模型 也可化为VAR模型来处理 这为研究具有相关关系的多变量的分析和预测带来很大方 便 VAR模型的一般形式模型的一般形式 1 非限制性VAR模型 高斯VAR模型 或简化式非限制性VAR模型 设 12 tttkt yyyy 为一k维随机时间序列 p为滞后阶数 12 tttkt uu uu 为一k维随机扰动的 时间序列 且有结构关系 1 1 1 2 2 2 111111221111112122212 11112211 1 1 1 2 2 2211122212121122222 tttkktttkkt ppp tptpkktpt tttkkttt yayayayayayay ayayayu yayayayayay 2 22 21212222 1 1 111 kkt ppp tptpkktpt ktktk ay ayayayu yaya 1 2 2 2 2211112122212 1122 tkkktkttkkt ppp ktpktpkkktpkt yayayayay ayayayu 1 2 tT 15 1 1 若引入矩阵符号 记 1 11 21 2 12 22 12 1 2 iii k iii k i iii kkkk aaa aaa Aip aaa 可写成 1122 tttptpt yA yA yA yu 1 2 tT 15 1 2 进一步 若引入滞后算子L 则又可表示成 1 2 tt A L yutT 15 1 3 其中 2 12 p kp A LIALA LA L 为滞后算子多项式 如果模型满足的条件 参数阵0 0 p Ap 特征方程 2 12 det 0 p kp A LIALA LA L 的根全在单位园外 0 t uiidN 1 2 tT 即 t u 相互独立 同服从以 0 t E u 为期望向量 ov ttt CuE uu 为方差协方差阵的k维正态分布 这时 t u是k维白噪声向量序列 由于 t u没有 结构性经济含义 也被称为冲击向量 0 1 2 ttjttj Cov u xE u xj 即 t u与 t x及各滞后期不相 关 则称上述模型为非限制性VAR模型 高斯VAR模型 或简化式简化式非限制性VAR模型 2 受限制性VAR模型 或简化式简化式受限制性VAR模型 如果将 12 tttkt yyyy 做为一k维内生的随机时间序列 受d维外生的时间序列 12 tttdt xx xx 影响 限制 则VAR模型为 1122 tttptptt yA yA yA yDxu 1 2 tT 15 1 4 或利用滞后算子表示成 1 2 ttt A L yDxutT 15 1 5 其中 11121 21222 12 d d kkkd ddd ddd D ddd 此时称该模型为受限制性VAR模型 简化式简化式受限制性VAR模型 对于受限制性VAR模型 可通过 12 tttkt yyyy 对 12 tttdt xx xx 作OLS回归 得到残差估计 ttt yyy 从而将 t y变换成 15 1 2 或 15 1 3 形式的非限制性VAR模型 即 1122 tttptpt yA yA yA yu 1 2 tT 15 1 6 1 2 tt A L yutT 15 1 7 这说明受限制性VAR模型可化为非限制性VAR模型 简化式非限制 受限制简化式非限制 受限制VAR模型 皆简记为模型 皆简记为 VAR p 3 结构式非限制性VAR模型 如果 12 tttkt yyyy 中的每一分量受其它分量当期影响 无d维外生的时间序列 12 tttdt xx xx 影响 限制 则模型化为 01122 tttptpt A yA yA yA yu 1 2 tT 15 1 8 或利用滞后算子表示成 1 2 tt A L yutT 15 1 9 其中 0 0 121 0 0 212 0 0 0 12 1 1 1 k k kk aa aa A aa 这时的 2 012 p p A LAALA LA L 此时称该模型为结构式结构式非限制性VAR模型 如果 0 A可逆 既逆阵 1 0 A 存在 则结构式非限制性VAR模型可化为简化式非限制性VAR模型 1111 01102200 tttptpt yAA yAA yAA yAu 1 2 tT 15 1 10 或利用滞后算子表示成 1 0 1 2 tt A L yAutT 15 1 11 这时 其中的 1121 01020 p p A LIAALAA LAA L 4 结构式受限制性VAR模型 如果将 12 tttkt yyyy 做为一k维内生的随机时间序列 其中每一分量受其它分量当期影响 且还 受d维外生的时间序列 12 tttdt xx xx 影响 限制 则VAR模型为 01122 tttptptt A yA yA yA yDxu 1 2 tT 15 1 12 或利用滞后算子表示成 1 2 ttt A L yDxutT 15 1 13 此时称该模型为结构式受限制性VAR模型 如果 0 A可逆 既逆阵 1 0 A 存在 则结构式受限制性VAR模型可化为简化式受限制性VAR模型 11111 011022000 tttptptt yAA yAA yAA yADxAu 1 2 tT 15 1 14 或利用滞后算子表示成 11 00 1 2 ttt A L yADxAutT 15 1 15 这时 其中的 1121 01020 p p A LIAALAA LAA L 结构式非限制 受限制结构式非限制 受限制VAR模型 皆简记为模型 皆简记为 SVAR p 简化式简化式VAR模型的参数估计模型的参数估计 VAR模型参数估计 简化式VAR模型比较简单可采用Yule Walker估计 OLS估计 极大似然估计法等 进行估计 且可获得具有良好统计性质的估计量 结构式VAR模型参数估计比较复杂 可有两种途径 一种 是化成简化式 直接估计简化式模型参数 然后再通过简化式模型参数与结构式模型参数的关系 求得结 构式模型参数估计 但这存在一个问题是否可行 什么情况下可行 这与结构式模型的识别性有关 另一 种途径是直接对结构式模型参数进行估计 但这也存在一个问题 上述方法不可应用 原因是每一方程含 有众多内生的与扰动项相关变量 那么 如何估计 这也与结构式模型的识别性有关 对于简化式VAR模型 15 1 1 15 1 3 在冲击向量满足假设 0 t uiidN 1 2 tT 即 t u 相互独立 同服从以 0 t E u 为期望向量 ov ttt CuE uu 为方差协方差阵的k维正态分 布 这时 t u是k维白噪声向量序列的条件下 模型参数阵 12 p A AA及 也可采用Yule Walker估计 OLS估计 极大似然估计 设 12 tttkt yyyy 1 2 tT 为长度为T的样本向量 Yule Walker估计 在T充分大时 首先估计自协方差阵 1 T htt h t h y yT 15 1 16 令 011 102 120 p p pp 11 2 2 p P A A A A 则可得模型参数阵的Yule Walker估计 矩估计 为 1 1 2 P A A A A 1 011 102 120 p p pp 1 2 p 15 1 17 OLS估计 模型参数阵 12 p A AA的OLS估计 即求使 12 111 1 min ppT ptjtjtjtj jpjj Q A AAyA yyA y T 下的 12 p A AA作为 12 p A AA估计 记 1 T htt h tp y yT 15 1 18 由此可推得 1 1 2 P A A A A 1 011 102 120 p p pp 1 2 p 15 1 19 由此可见 模型参数阵 12 p A AA的OLS估计 15 1 15 与Yule Walker估计 15 1 13 形式相同 但式中的 h 的计算不同 但是 当T充分大时 15 1 16 与 15 1 18 相差很小 这时 15 1 17 与 15 1 19 相差 也很小 这时二者的估计及估计量的性质等价 因此 在T充分大时 可直接采用Yule Walker估计比较简单 方便 而 的估计为 0 1 1 T tt t AAu u T 15 1 20 其中 1122 ttttptp uyA yA yA y 极大似然估计 可证明 模型参数阵 12 p A AA的极大似然估计与OLS估计完全等价 除此之外 还有递推估计法 参见 马树才 经济时序分析 辽宁大学出版社 1997 1 pp199 这里不在赘述 简化式简化式VAR模型的模型的预测预测 在已知 12 tt yy 时 对 t y的一步线性预测 1 1 t y 1122 ttptp AYA yA y 15 1 21 其一步预测误差为 1 1 tttt yyye 一步预测误差的方差阵为 ttt t Ey yEeeS 的估计为 1 0 1 1 p ii i kp SA T 15 1 22 在已知 12 tt yy 时 如果利用模型参数的估计量 12 p A AA 对 t y进行一步线性预测 则 t y的实际一步线性预测为 1 1 t y 1122 ttptp AYA yA y 15 1 23 其一步预测误差为 1 1 ttt yyy 111222 ttpptpt AA YAA yAAye 一步预测误差的方差阵为 ttt t Ey yEeeD 的估计为 1 0 1 1 1 p ii i kpkp DA TT 15 1 24 VAR模型模型阶数阶数p的确定的确定 VAR模型的定阶是一个矛盾过程 阶数p的确定 既不能太大 又不能太小 必须兼顾 因为 一方 面 希望滞后阶数p要大一些 以便使模型能更好地反映出动态特征 但另一方面 又不希望太大 否则 阶数p太大 会造成需要估计的模型参数过多 而使模型自由度减少 因此 在定阶时需要综合考虑 以 既要有足够大的滞后项 又能有足够大的自由度为原则确定阶数 VAR模型的定阶方法有多种 1 FPE准则 最小最终预测误差准则 FPE准则 最小最终预测误差准则 即利用一步预测误差方差进行定阶 因为 如果模型阶数合适 则 模型对实际数据拟合优度必然会高 其一步预测误差方差也必然会小 反之 则相反 设给定时间序列向量长度为T的样本向量为 12 tttkt yyyy 1 2 tT 则其一步预测误差方差 阵的估计量为 15 1 24 式 它是一个kk 阶阵 因此可定义其最终预测误差为 0 1 det 1 1 det p kk kii i kpkp FPEpDA TT 15 1 25 显然 k FPEp是p的函数 所谓最小最终预测误差准则 就是分别取p 1 2 M 来计算 k FPEp 使 min k FPEp 值所 对应的p 为模型合适阶数 相应的模型参数估计 12 p A AA为最佳模型参数估计 其中 M为预先选 定的阶数上界 一般取 10 5MTkTk 之间 在实际计算过程中 可如下判断 如果 k FPEp的值 随着p从1开始逐渐增大就一直上升 则可 判定p 1 如果如果 k FPEp的值 随着p从1开始逐渐增大就一直下降 则可判定该随机时间序列不 能用AR p 模型来描述 如果 k FPEp的值 在某一p值下降很快 而后又缓慢下降 则可判定该p 值为所确定的阶数 如果 k FPEp的值 随着p从1开始逐渐增大而上下剧烈跳动 难以找到最小值 这可能由于样本数据长度T太小造成的 应增大样本长度 重新进行定阶 估计模型参数 建立模型 利用FPE信息准则还可以用来检验模型的建立是否可由部分分量 比如前 r rk 个分量 12 ttrt yyy 1 2 tT 来进行 记 15 1 21 式中的kk 阶矩阵 0 1 p ii i A 的左上角r阶子方阵为 0 1 p iir r i A 则前r个分 量 12 ttrt yyy 1 2 tT 的最终预测误差为 0 1 det 1 1 det p rr rriir r i kpkp FPEpDA TT 15 1 26 当rk 时 15 1 26 为 15 1 25 式 如果 min min rk FPEpFPEp 则可认为仅用前r个分量 12 ttrt yyy 1 2 tT 建立模型 即可 没有必要采用k维随机时间序列 12 tttkt yyyy 建立模型 因为从最小最终预测误差准则角度 用k维随机时间序列 12 tttkt yyyy 建立模型比仅采前r个分量 12 ttrt yyy 1 2 tT 建立模型 带来拟合优度的显著改善 反之 则相反 2 AIC Akaike Information Criterion 与SC Bayes Information Criterion 信息准则 AIC SC信息准则 也称最小信息准则 定义 2 2 AICl Tn T 2 ln SCl TnT T 15 1 27 其中 1 ln2 ln 22 TkT ln 为模型需要估计参数个数 对 15 1 1 2 npk 对于 15 1 4 nk dpk 对于 15 1 8 2 1 npk 对于 15 1 12 2 nk dpkk 所谓最小信息准则 就是分别取p 1 2 来计算AIC或者SC 使AIC或SCmin 值所对应的p 为 模型合适阶数 相应的模型参数估计 12 p A AA为最佳模型参数估计 3 似然比检验法 Likelihood Ratio LR检验 由于 0 t uiidN 1 2 tT 即 t u 相互独立 同服从以 0 t E u 为期望向量 ov ttt CuE uu 为方差协方差阵的k维正态分布 因此 记 1 2 12 t t tP tp y y YAAAA y 则在给 121 ttp yyy 的条件下 12 tttkt yyyy 的 条件 即 121 tttpt y yyyN AY 于是 在给 121 ttp yyy 的条件下 12 T y yy的联合分布密度 即似然函数为 2 211 1 1 2 exp 2 T T Tk tttt t L AyAYyAY 对数似然函数为 11 1 1 ln ln 2 ln 222 T tttt t TkT L AyAYyAY 将参数估计代入 则有 11 1 1 ln ln 2 ln 222 T tt t TkT L Auu 又 1 1 T tt t uu T 因此 有 1 ln ln 2 ln 222 TkTTk L A 15 1 28 现在 欲检验假设 0 H 样本数据是由滞后阶数为p的VAR模型生成 1 H样本数据是由滞后阶数为 1p 的VAR模型生成 取似然比统计量为 11 11 2 ln ln lnln pppp LRL AL AT 22 k 分布 15 1 29 在给定的显著性水平 下 当 22 LRk 则拒绝 0 H 表明增加滞后阶数 可显著增大似然函数值 否则 则相反 LR检验在小样本下 可取似然比统计量为 11 1 lnln pp LRTm 22 k 分布 15 1 30 其中 mdkp VAR模型的模型的Granger因果关系检验因果关系检验 VAR模型的另一重要应用是可用来检验一个变量与另一变量间是否存在Granger因果关系 这也是建 立VAR模型所需要的 1 Granger因果关系的涵义 设 12 ttt yyy 为一2维随机时间序列 如果在给定 12tt yy 的滞后值下 1t y的条件分布与仅在给定 的 1t y的滞后值下 1t y的条件分布相同 即 11112121222111121 ttttptttpttttp f yyyyyyyf yyyy 则称 2t y对 1t y存在Granger非因果性关系 否则 2t y对 1t y存在Granger因果性关系 Granger因果性关系涵义的另一表述 在其条件不变下 如果加上 2t y的滞后值 并不对只由 1t y的滞 后值下对 1t y进行预测有显著改善 则称 2t y对 1t y存在Granger非因果性关系 否则 2t y对 1t y存在Granger 因果性关系 2 Granger因果关系检验因果关系检验 设 12 ttt yyy 为一2维随机时间序列 p为滞后阶数 12 ttt uu u 为一2维随机扰动的时间序 列 则有2元VAR模型为 1 1 2 2 111111221111212221111221 1 1 2 2 221112221211222222121222 pp ttttttptpt pp ttttttptpt yayayayayayayu yayayayayayayu 1 2 tT 15 1 31 显然 欲检验 2t y对 1t y是否存在Granger非非因果性关系 等价地 检验假设 0 H 1 2 121212 0 p aaa 1 H 1 2 121212 p aaa中至少有一个不为0 其用于检验的统计量为 112 12 21 21 yy y y y SSRSSRp FF p Tp SSRTp 15 1 32 其中 12 y y SSR为模型 15 1 31 中第1方程残差平方和 1 y SSR为模型 15 1 31 中第1方程去掉 2 y各期 滞后项后拟合残差平方和 在给定的显著性水平 下 当 21 FFp Tp 时 拒绝 0 H 如果模型 15 1 31 满足 0 t uiidN 1 2 tT 即 t u 相互独立 同服从以 0 t E u 为 期望向量 ov ttt CuE uu 为方差协方差阵的k维正态分布条件 则 也可采用如下统计量进行检验 112 12 22 yy y y y T SSRSSR p SSR 15 1 33 在给定的显著性水平 下 当 22 p 时 拒绝 0 H 上述Granger因果性关系检验 可推广到对任意k维VAR模型以及SVAR模型中的某一或某几个随机 时 间序列 包括内生 外生变量 是否对另一时间序列具有Granger因果性的检验上去 VAR p 模型的模型的脉冲响应函数脉冲响应函数与方差分解与方差分解 在实际应用中 由于通常所设定的VAR模型都是非经济理论性的简化式模型 出它无需对变量作任何 先验性约束 因此 在分析应用中 往往并不利用VAR模型去分析某一变量的变化对另一变量的影响如何 而是分析当某一扰动项发生变化 或者说模型受到某种冲击时 对系统的动态影响 这钟分析方法称为脉 冲响应函数方法 Impulse Response Function IRF 脉冲响应函数基本思想脉冲响应函数基本思想 对VAR模型采用脉冲响应函数分析扰动项发生变化 或者说模型受到某种冲击时 对系统的动态影响 就是分析扰动项发生变化是如何传播到各变量的 设 12 ttt yyy 为一2维随机时间序列 滞后阶数p 2 12 ttt uu u 为一2维随机扰动的时间序 列 则有2元VAR模型为 1 1 2 2 111111221111212221 1 1 2 2 221112221211222222 tttttt tttttt yayayayayu yayayayayu 1 2 tT 15 2 1 扰动项满足白噪声假设条件 即 0 1 2 t E utT 1 2 tttij Cov uE uutT 0 1 2 tsts Cov u uE uuts t sT 现在假设上述VAR模型系统从0t 时期开始运行 并设 1 11 22 12 2 0yyyy 在0t 时 给定扰动项 1020 10 uu 并且其后 12 0 1 2 tt uut 即在0t 时给定 1t y一脉冲 我们来讨 论 12tt yy 的响应 由于 1020 10 uu 由 15 2 1 在0t 时 于是有 1 02 0 10yy 将上述结果再代入 15 2 1 在1t 时 于是有 1 1 1 12 121 yaya 11 再将上述结果代入 15 2 1 在 2时 于是有 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 21211212 22111222121 yaaaayaaaaa 2 11 如此下去 可求得结果 1 01 11 21 3 yyyy 称此结果为由 1 y的冲脉冲引起的 1t y的响应函数 所求得的 2 02 12 22 3 yyyy 称为由 1 y的冲脉冲引起的 2t y的响应函数 反过来 也可求得在0t 时 给定扰动项 1020 01 uu 并且其后 12 0 1 2 tt uut 即在 0t 给定 2t y一脉冲时 由 2 y的冲脉冲引起的 1t y 2t y的响应函数 VAR模型的脉冲响应函数模型的脉冲响应函数 假设有VAR p 模型 1122 tttptpt yA yA yA yu 1 2 tT 15 2 2 引入滞后算子B 表示成 1 2 tt A L yutT 15 2 3 其中 2 12 p kp A LIALA LA L 为滞后算子多项式 在满足特征方程 2 12 det 0 p kp A LIALA LA L 的根全在单位园外条件下 则 VAR p 是可逆的 即可将 t y表示成白噪声 t u滑动和形式 tt yC L u 15 2 4 其中 12 0120 k C LA LCC LC LCIk 阶单位阵 15 2 4 中第i方程为 0 1 2 12 1 1 2 k itijjtijjtijjt j ycucucutT 15 2 5 当2k 时 15 2 4 为 0 0 1 1 2 2 111112111211121112 0 0 1 1 2 2 222122 212221222122 tttt tttt yuuucccccc yuuu cccccc 1 2 tT 15 2 6 现在假定在基期给 1 y一个单位脉冲 即 1 1 0 0 0 t t u t 而 2 0 0 1 2 t ut 则可求得由 1 y的脉冲引起 2 y的响应函数为 0 2021 1 2121 2 2221 0 1 2 tyc tyc tyc 由此可看出 对于 15 2 4 式的一般情形 由 j y的脉冲引起 i y的响应函数为 0 0 1 1 2 2 0 1 2 iij iij iij tyc tyc tyc 由 j y的脉冲引起 i y的累积响应函数为 0 q ij q c 由 15 2 4 式 其中的 q C 中的第i行 第j列元素可表示为 0 1 2 1 2 q ijit qjt cyuqtT 15 2 7 作为q的函数 它描述了在时期t 其他变量和早期变量不变的情况下 it q y 对 jt y的一个冲击的反应 称 为脉冲 响应函数 用矩阵可表示为 q C t qt yu 15 2 8 即 q C 中的第i行 第j列元素等于时期t的第j变量扰动项增加一个单位 其它时期扰动项为常数时 对 时期tq 的第i个变量值的影响 方差分解方差分解 VAR模型的脉冲响应函数是用来描述VAR模型中一个内生变量的冲击给其它内生变量所带来的影响 的 它是随时间的推移 观察模型中各变量对于冲击是如何反应的 而方差分解是要通过分析每一结构冲击对 内生变量变化 通常用方差来度量 的贡献度 进一步评价不同结构冲击的重要性的 与脉冲响应函数相 比 方差分解是一种比较粗糙的把握变量间关系的方法 它给出的是对VAR模型中的变量产生影响的每个 扰动项的相对重要信息 方差分解的基本思想是 由 15 2 5 式 0 1 2 12 1 1 2 1 2 k itijjtijjtijjt j ycucucuik tT 15 2 9 可知 左边括号内为是第j扰动项 j u从过去无限远至现在时点对第i内生变量 i y影响的总和 在 0 j E u j u无序列相关的假设下 对其求方差 可得 0 1 2 2 2 12 0 1 2 q ijjtijjtijjtijjj q E cucucuci jk 15 2 10 它是把第j扰动项 j u从过去无限远至现在时点对第i内生变量 i y影响总和 用方差加以评价的结果 如果ov ttt CuE uu 为对角阵 则 it y的方差为 2 10 1 2 1 2 k q itijjj jq Var ycjktT 15 2 11 由此可知 it y的方差可分解成k个不相关的 2 0 q ijjj q c 1 2 jk 的影响 由此 可测定出各个扰动项对 it y方差的相对方差贡献率为 2 2 00 2 10 qq ijjjijjj qq k ji qit ijjj jq cc RVC Var y c 15 2 12 1 2 i jk 在实际应用计算中 不可能从过去无限远的 q ij c来评价 在模型满足平稳性条件下 由于 q ij c随着 q的增大是按几何级数衰减的 故只要取前s有限项计算即可 其近似相对方差贡献率为 1 2 0 1 2 10 s q ijjj q ks ji q ijjj jq c RVCs c 1 2 i jk 15 2 13 JI RVCs有如下性质 0 1 ji RVCs 15 2 14 1 1 1 2 k ji j RVCsik 15 2 15 如果 JI RVCs大 则意味着第j变量 第j扰动项 对第i变量 i y影响大 反之 则相反 SVAR p 模型模型 SVAR模型的识别模型的识别与约束条件与约束条件 如果 12 tttkt yyyy 中的每一分量受其它分量当期影响 无d维外生的时间序列 12 tttdt xx xx 影响 限制 则由 15 1 8 式 结构式非限制性SVAR p 模型为 01122 tttptpt A yA yA yA yu 1 2 tT 15 3 1 或利用滞后算子表示成 1 2 tt A L yutT 15 3 2 其中 0 0 121 0 0 212 0 0 0 12 1 1 1 k k kk aa aa A aa 这时的 2 012 p p A LAALA LA L 此时称该模型为结构式结构式非限制性SVAR模型 结构式结构式非限制性SVAR模型 即使在扰动项满足白噪声条件下也不能采用普通最小二乘法估计模型参 数来建立模型 因为每一方程含有同期相关的变量 如果 0 A可逆 既逆阵 1 0 A 存在 则结构式非限制性SVAR模型可化为简化式非限制性VAR模型 1111 01102200 tttptpt yAA yAA yAA yAu 1 2 tT 15 3 3 或利用滞后算子表示成 1 0 1 2 tt A L yAutT 15 3 4 这时 其中的 1121 01020 p p A LIAALAA LAA L 若记 1111 01102200 pptt AAD AADAADAuv 15 3 5 则 15 3 4 可写成 1122 tttptpt yD yD yD yv 1 2 tT 15 3 6 简化式非限制性模型VAR所含需要估计参数个数为 22 2k pkk 15 3 7 其中 2 2kk 为扰动项 t u的方差协方差阵ov ttt CuE uu 所含未知待估计参数个数 在扰动 项满足白噪声条件下 15 3 6 式可采用普通最小二乘法估计上述模型参数 来建立其简化式非限制 性VAR模型 我们知道 结构式结构式非限制性SVAR模型 15 3 1 即使在扰动项满足白噪声条件下也不能采用普 通最小二乘法估计模型参数来建立模型 因为每一方程含有同期相关的变量 既然其简化式非限制性VAR 模型 15 3 6 模型参数可以通过普通最小二乘法估计 那么 可否根据上述简化式非限制性VAR模型 的模型参数与结构式结构式非限制性SVAR模型的模型参数之间的关系式 15 3 5 通过已估计的简化式非 限制性VAR模型参数 得到相应的结构式非限制性SVAR模型参数建立模型 这就涉及到结构式结构式非限制性 SVAR模型 15 3 1 的识别性 关于识别性及其方法 可见14章联立方程内容 或者说取决于对结结 构式构式非限制性SVAR模型所施加的约束条件 因为 由结构式结构式非限制性SVAR模型 15 3 1 可知 其需要估计的模型参数个数共 22 k pk 15 3 8 22 k pk 22 2k pkk 所以 如果不对结构式非限制性SVAR模型 15 3 1 施加限制条件 其模型参数不可估计 那么 对结构式非限制性SVAR模型 15 3 1 需要施加多少限制或约束条件 需要施加的约束条件数恰好为 22 k pk 22 2k pkk 1 2k k 15 3 9 即只要施加 1 2k k 个约束条件 则结构式结构式非限制性SVAR模型 15 3 1 的模型参数就可估计 所 施加的约束条件既可以是短期 同期 的 也可以是长期的 1 短期约束 结构式结构式非限制性SVAR模型 15 3 1 式 01122 tttptpt A yA yA yA yu 1 2 tT 其中 0 0 121 0 0 212 0 0 0 12 1 1 1 k k kk aa aa A aa 在 0 A可逆 既逆阵 1 0 A 存在时 可化成简化式非限制性VAR模型 15 3 6 1122 tttptpt yD yD yD yv 1 2 tT 进一步 在满足特征方程 2 12 det 0 p kp D LID LD LD L 的根全在单位园外条件下 则 VAR p 可逆 从而又可将 t y表示成白噪声 t v滑动和形式 tt yC L v 01122 ttt C vC vC v 其中 1 00 CA 15 3 10 根据Cholesky分解基本思想 短期约束可直接施加在矩阵 0 A上 只要使 0 A成为主对角线上元素为1 的下三角形矩阵 即 0 21 0 0 0 12 10 0 1 0 1 kk a A aa 则结构式非限制性SVAR模型 15 3 1 式就可变成一递归形式的结构式非限制性SVAR模型 从 而为恰好识别 可直接采用OLS从第1方程开始估计该结构式模型的模型参数 建立模型 在实际中 对结构式非限制性SVAR模型 15 3 1 式施加短期约束 0 A也可以不呈下三角形 只要施加约束条件数 1 2k k 即可 例如 如果我们要建立一个以 1 y GDP 2 y 税收 3 y 政府支出 为变量的3k 的结构式 非限制性SVAR模型 则只需施加 1 23k k 个约束条件 0 23 0a 当期 1 y GDP 影响当期 2 y 税 收 不影响当期 3 y G政府支出 0 12 0a 当期 2 y 税收 影响当期 3 y G政府支出 0 13 1 71a 根据以往研究已得知 税收关于产出弹性为1 71 则所建结构式非限制性SVAR模型即可识别 从而可估计 2 长期约束 所谓长期约束 通常是指施加在 15 3 10 式 12 C C上的约束 也可是单独施加在某一 1 2 i C i 上的约束而言 比较简单的是一般都施加在 1 C上 与短期约束类似 也可将长期约束直接 施加在 1 A上来进行 SVAR模型的三种类型模型的三种类型 SVAR模型根据模型特点主要有三种类型 K型 C型和AB型 其中最常用的是AB型 K型和C型可视 为是AB型的特殊形式 1 K型SVAR模型 设 12 tttkt yyyy 为一k维随机时间序列 p为滞后阶数 12 tttkt uu uu 为一k维随机扰动的 时间序列 且其VAR模型结构关系为 即 1122 tttptpt yA yA yA yu 1 2 tT 15 3 11 或写成滞后算子形式 1 2 tt A L yutT 15 3 12 其中 2 12 p kp A LIALA LA L 为滞后算子多项式 设K为一个kk 阶可逆阵 左乘 15 3 12 则 1 2 tt KA L yKutT 15 3 13 如果 0 tttttt KuvE vCov vE vvI 且 则称满足上述条件的 15 3 13 为K型SVAR模型 由于 0 tttt ttt ttt Kuv E KuE v Cov KuE Ku u KK K Cov vE vvIK KI 而从而有 在 已知下 这意味着对K已施加了k k 1 2个非线性约束条件 K中还余下 1 2k k 个自由参数 因此 只需给出 1 2k k 个短期约束条件即可 3 C型SVAR模型 对于VAR模型 15 3 11 1122 tttptpt yA yA yA yu 1 2 tT 或写成滞后算子形式 1 2 tt A L yutT 15 3 14 设C为一个kk 阶可逆阵 如果 tt uCv 且 0 tttt E vCov vE vvI 则称满足上述条 件的 15 3 14 模型为C型SVAR模型 由于 tttttt Cov uE uuCov CvE CvvCCC 在 已知下 这意味着对C已施加了 k k 1 2个非线性约束条件 C中还余下 1 2k k 个自由参数 3 AB型SVAR模型 设AB 为kk 阶可逆阵 左乘 15 3 12 则 1 2 tt AA L yAutT 15 3 15 且满足条件 0 tttttt AuBv EvCov vE vvI 则称 15 3 15 为AB型SVAR模型 显然 当A为单位阵时 AB型SVAR模型就化为C型SVAR模型 当B为单位阵时 AB型SVAR模型 就化为K型SVAR模型 由 tttttt Cov AuE Auu AE Bvv BCov Bv 可知 A ABB 在 已知下 它是对AB 施加了k k 1 2个非线性约束条件 余下了 2 2 1 2kk k 个自由参数 SVAR模型的脉冲响应函数模型的脉冲响应函数 设有VAR p 模型 参见15 2 2 1122 tttptpt yA yA yA yu 1 2 tT 写成滞后算子形式为 1 2 tt A L yutT 其中 2 12 p kp A LIALA LA L 为滞后算子多项式 在满足特征方程 2 12 det 0 p kp A LIALA LA L 的根全在单位园外条件下 则 VAR p 是可逆的 即可将 t y表示成白噪声 t u滑动和形式 tt yC L u 其中 12 0120 k C LA LCC LC LCIk 阶单位阵 由于 0 t E u ov ttt CuE uu I 称为非正交化 故需要进行正交化变换 因 是正定对称阵 故可以将其分解成 GQG 其中 G是一下三角阵 Q是唯一的一个主对角线上元素大于零的对角阵 利用G对 t u作变换 1 tt G uv 即 tt uGv 则 ov ttt CvE vvQ 为正交 这时有 ttt yC L uC L Gv t D B v 于是与 15 2 7 15 2 8 同理 可导出一个正交的脉冲响应函数为 0 1 2 1 2 q ijit qjt dyvqtT 15 3 16 由 j y的脉冲引起 i y的累积响应函数为 0 q ij q d 15 3 17 其中 q ij d是 q D的第i行 第j列元素 0 1 2 q 用矩阵可表示为 q D t qt yv 15 3 18 即 q D 中的第i行 第j列元素等于时期t的第j变量扰动项增加一个单位 其它时期扰动项为常数时 对 时期tq 的第i个变量值的影响 对于SVAR模型 15 3 1 式 01122 tttptpt A yA yA yA yu 1 2 tT 由于在 0 A可逆 既逆阵 1 0 A 存在时 可化成简化式非限制性VAR模型 1122 tttptpt yC yC yC ye 1 2 tT 进一步 在满足特征方程 2 12 det 0 p kp C LIC LC LC L 的根全在单位园外条件下 则 VAR p 可逆 从而又可将 t y表示成白噪声 t v滑动和形式 2 12 2 12 ttt t t yH L vIH LH Le IH LH LGv D L v 因此 其脉冲响应函数用矩阵也可表示为 q D t qt yv 15 3 19 如果SCAR模型为AB型 则其脉冲响应函数为 1 qQ DH A B 15 3 20 累积脉冲响应函数为 21 12 0 q q DIH LH LA B 15 3 21 Johansen协协整检验整检验与与向量误差修正模型向量误差修正模型 VEC 前面我们已经介绍了单方程的协整检验与误差修正模型 且其协整检验方法是以回归模型为基础的 基于回归残差序列的ADF检验法进行检验的 现在我们把它推广到VAR模型上去 并给出以VAR模型为基 础基于回归系数的协整检验方法 在单方程协整检验中 由于是基于回归残差序列进行 故在第一阶段需要采用OLS进行回归分析 应 用很不方便 为此 Johansen 1988 及Juselius 1990 提出了一个以VAR模型为基础的基于回归系数的特 别适合于多变量的协整检验法 Johansen协整检验协整检验 1 协整定义协整定义 设 12 tttkt yyyy 为一k维随机时间序列 t1 2 T 如果 t yI d 且每一 it yI d 1 2 ik 存在非零向量 12 k 使 0 t yI dbbd 则称 t y为协整 记为 t yCI d b 为协整向量 若 t y为协整 则最多存在1k 个线性无关的协整向量 即若记由 t y的所有协整向量组成的矩阵为A 则A秩 0 1rant Ark 例如 k 2 12 ttt yyy 12 1 tt yyI 若有 1 c使 112 0 tt yc yI 按照上述 最多存在 12 1 1k 个线性无关的协整向量 则协整向量 11 1 cc 唯一 因为若有 2122 0 tt cyc YI 也使得则 112tt yc y 122212 0 ttt yc YccyI 这与已知 2 1 t yI矛盾 故 12 cc 即 11 1 cc 唯一 2 Johansen协整检验基本思想协整检验基本思想 设 12 tttkt yyyy 为一k维随机时间序列 t1 2 T 且 1 t yI 即每一 1 it yI 1 2 ik 受d维外生的时间序列 12 tttdt xx xx 影响 限制 则首先可建立VAR模型 1122 tttptptt yA yA yA yDxu 1 2 tT 15 4 1 将上式进行差分变换 也称为协整变换 可写成 1 1 1 p ttit itt i yyyDxu 15 4 2 其中 11 pp iij ij i AIA 15 4 3 在 15 4 2 中 由于 1 t yI 所以 0 t yI 0 0 1 tj yIjp 1 1 0 p it i i yI 因此 只要 1 0 t yI 则 11211 ttkt yyy 亦即 12 ttkt yyy之间具有协整关系 而 11211 ttkt yyy 之间是否具有协整关系取决于kk 阶矩阵 的秩 rank 因为 与模型全部参 数阵 12 p A AA有关 故称 为压缩矩阵 影响矩阵 设 rank r 则r有3种情况 如果rk 这意味着 是一列满秩阵 则只有当 11211 ttkt yyy 0 I时 才能保证 1 0 t yI 但这与已知 1 t yI相矛盾 故 rk 只能有r k 如果0r 则0 由 15 4 2 这时用不着讨论 11211 ttkt yyy 之间是否具有有协整 关系 除上述两种极端情形外 一般情况是 如果0rk 这意味着 12 ttkt yyy中一定存在r个协整关系 协整组合 其余kr 个关系 仍然为 1 I关系 在这种情况下 可将 分解成两个kr 阶阵 的乘积 且 rank r rank r 将其代入到 15 4 2 式中 有 1 1 1 p ttit itt i yyyDxu 15 4 4 上式要求 1t y 0 I向量 其每一行都是 0 I变量 即 12 r 的每一列都是一协整向量 所 以 决定了 11211 ttkt yyy 之间协整向量的个数和形式 故称 称为协整向量阵 r为协整向量个数 的每一行是出现在上述每一方程中的r个协整组合的一组权数 故称为调整参数阵 或修正参数阵 显 然 在 1 t yI假定条件下 最大可能1rk 这就是对于k维向量 12 tttkt yyyy 最大可能存 在1k 个线性无关的协整向量的道理 根据上述分析 可知欲检验 12 tttkt yyyy 是否具有协整关系 就转化为对矩阵 的秩数的检 验 由于 rank 的非零特征根的个数 因此 就可以通过检验 的非零特征根的个数 来检验 rank 从而来判定 12 tttkt yyyy 是否具有协整关系 这就是Johansen协整检验的基本思想 3 Johansen协整检验协整检验 现在假设 的k个特征根为 12 k Johansen协整检验有两种方法 1 特征根迹检验 trace检验 由于r个最大特征根可得到r个协整向量 而对于其余kr 个非协整组合而言 应该有 12 0 rrk 因此 检验 rank 是否等于r 等价地 检验假设 0111 0 0 0 0 1 2 1 rrrrr HHrk 可用于检验的特征根迹统计量为 1 ln 1 0 1 2 1 k ri i r Trk 15 4 5 具体显著性检验程序如下 当 0 某一显著性水平下