小学升初中奥数专题讲解(90页)VIP

乘法中的巧算 （一）学习指导 首先认识乘法交换律： 乘法结合律： 如： 或 利用这些定律，可以使式题简便，同时可以推广到多个数相乘，我们可以选择两个因数相乘，得出较简单的（整十、整百、整千）积，再将这个积与其它因数相乘，有时也可以把某个因数再分解成两个因数，使其中一个因数与其它的乘数的积成为较简单的数，然后再与其它的因数相乘，这样就可以进行巧算。 例 1. 用简便方法计算。 （ 1） （ 3） （ 2） （ 4） 分析： （ 1）可以将 4 和 25 结合起来先乘。这样： 原式 （ 2）可以将 125 和 8 相结合起来乘，这样： 原式 （ 3）可以把 28 变成 4 7，再将 125 和 4 结合起来先乘： 原式 （ 4）我们先把 32 变为 4 8，再把 25 和 4， 125 和 8 结合起来乘： 原式 利用乘法分配律，可以使一些题简便： ，这个定律可以推广，一般的有 ，如 ，当两 个数相乘时，有时可以把一个因数变为两个数的和与另一个因数相乘，也可以把一个因数变为两个数的差与另一个因数相乘，这样计算简便。 例 2. 用简便方法计算下面各题。 （ 1） （ 3） （ 2） （ 4） 分析： （ 1）、（ 2）题可以直接用乘法分配律去计算。 （ 1） （ 2） （ 3）题可以先把 4004 变为（ ），然后再用分配律计算。 （ 4）小题可以先把 798 变为（ ），再运用分配律计算 。 例 3. 巧算一个数乘以 10， 100， 1000 分析： 一个数乘以 10，就是在这个数后添 0，如： 当一个数乘以 100 时，就是在这个数后添 00，如： 当一个数乘以 1000 时，就是在这个数后添 000，如 例 4. 巧算一个数与 99 相乘。 分析： 先填空，再观察一个数与 99 相乘的 规律。 观察发现：“一个数与 99 相乘，先在这个数后添 00，再减去此数”即可。如果是一个数与 999 相乘，是否也具有这样的规律呢？请你先填空，再总结规律。 由此得到：几与 999 相乘，就用几千减去几？ 例 5. 巧算两位数与 11 相乘。 分析： 观察上面一组数，发现两位数与 11 相乘，只要把这个两位数打开，个位数字做积的个位，十位数字做积的百位，个位数字与十位数字相加做积的十位，如果满十，就向百位进 1。 如： 方法是：两边一拉，中间相加，满十进 1。 例 5. 巧算三位数与 11 相乘。 分析： 三位数与 11 相乘的速算方法同样可以概括为“两边拉，中间加”。注意中间是相邻位相加。 练一练： 例 6. 巧算两位数与 101 相乘。 竖式： 观察发现“ 4343、 8989”，两位数与 101 相乘，积是把这个两位数连续写两遍。 练一练： 例 7. 巧算三位数与 1001 相乘。 竖式： 发现：三位数与 1001 相乘，积是把这个三位数连续写两遍。 练一练： 例 8. 根据 ，简算下面各题。 （ 1） 37 6 （ 5） 37 30 （ 2） 37 9 （ 6） 37 24 （ 3） 37 12 （ 7） 37 33 （ 4） 37 15 （ 8） 37 27 分析： 我们根据 ，计算下面各题。想 37 6 中的因数 6 可以分解为 23。所以（ 1） 37 6 37 3 2 111 2 222 以此类推： （ 2） 37 9 37 3 3 111 3 333 （ 3） 37 12 37 3 4 111 4 444 （ 4） 37 15 37 3 5 111 5 555 除法中的巧算 （一）学习方法指导 我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。 一般有这样的公式： 或 如： 或 例 1. 用简便方法计算下列各题。 （ 1） （ 2） 分析： （ 1）（ 2）可以利用“商不变的性质”去计算。 （ 1） 想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如 25 扩大 4 倍得 100。 （ 2） 看到被除数，与除数末尾都有 00，这样让它们同时缩小 100 倍。 在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。 一般公式： 如： 这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。 例 2. 用简便方法计算。 （ 1） （ 2） 分析： 这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。 （ 1） （ 2） 除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质： （ 1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。 一般有： 如： （ 2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。 一般有： 或 如： 或： 例 3. 计算下面各题。 （ 1） （ 2） 分析： 这两题可以运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性质。 （ 1） （ 2） 在运算中经常出现乘除混合运算及括号等，怎么办，仍有一些性质： 1. 一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。 一般公式： 如： 例 5. 简便计算下面各题。 （ 1） （ 2） 分析： 利用以上公式计算，发现（ 1）被除数两个数的积，可以用下面公式计算： （ 1） （ 2） 2. 一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数。 一般的有： 如： 例 6. 简便计算。 （ 1） （ 2） 分析： 以上两题可以利用乘除混合运算“去括号”，或“添括号”的性质进行巧算。 （ 1） （ 2） 3. 一个数除以两个数的商，等于这个数除以商中的被除数，再乘以商中的除数。 一般有： 如： 例 7. 简便计算下面各题。 （ 1） （ 2） 分析： 这两题即根据小性质去做，可“添括号”。 （ 1） （ 2） 以上 6 题都是利用乘除混合运算去括号，或添括号的性质解决的。但要注意：我们在使用以上全部除法的运算性质时，必须具备的条件是商不能有余数。如果商有余数，在使用这些运算性质时，余数是会发生变化的。如： 例 8. 巧算下面各题。 （ 1） （ 3） （ 2） （ 4） 分析： 以上 4 题，有些算式表面看起来不能进行简便运算时，可把已知数适当分解或转化，从而使计算简便 。另外，在计算时无论题目是否要求简算，都应尽量地使用简便方法，有时可反复使用有关的定律和性质。 （ 1） 这题我们将 39 分解为 ，然后按性质去做。 （ 2） 此题将 125 转化为 （ 3） 这一步将 99 转化为 此题直接利用乘法分配律计算就可以。 （ 4） 再次转化为 对接近 100 的两位数相乘的速算。 接近 100 的两位数，用被乘数减去， 100 减乘数的差，所得的结果作积的前两位；再用100 减去被乘数的差与 100 减乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。或用乘数减去， 100减被乘数的差，所得的结果作积的前两位，再用 100 减去被乘数的差与 100 减去乘数的差相乘，所得的结果作积的后两 位。我们用这种方法计算。 例 9. 计算： 分析： 因为 差对 98 而言 差对 91 而言 所以 或 所以 用这种方法，有两种特例需要注意： 特例 1. 用 100 分别减去两个因数所得的差相乘之积不足 10 时，要在这个一位数前添 0，否则积变成三位数就错了。 如： 速算为： （注意 8 前添 0） 发现：差 、差 ，用第一个因数差 ，再用差 差 ，最后结果是第一个因数差 的结果做为前两位数，差 差 的结果做为后两位数。如果结果为一位数，前面要添 0。 特例 2. 用 100 分别减去两个因数所得的差相乘之积大于 10 时，要将百位作为向前进位的数，否则积变成五位数就错了。 如： 速算为： （注意百位上的 1 要向前进位） 【试题答案】 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） 和倍问题 （一）学习指导 例 1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是 40 岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的 4 倍，问秦奋和妈妈各是多少岁？ 分析： 我们把秦奋的年龄作为 1 倍，“妈妈的年龄是秦奋的 4 倍”，这样秦奋和妈妈年龄的和就相当于秦奋年龄的 5 倍是 40 岁，也就是（ 4 1）倍，也可以理解为 5 份是 40 岁，那么求1 倍是多少，接 着再求 4 倍是多少？ 解： （ 1）秦奋和妈妈年龄倍数和是： 4 1 5（倍） （ 2）秦奋的年龄： 40 5 8 岁 （ 3）妈妈的年龄： 8 4 32 岁 综合： 40（ 4 1） 8 岁 8 4 32 岁 为了保证此题的正确，验证 （ 1） 8 32 40 岁 （ 2） 32 8 4（倍） 计算结果符合条件，所以解题正确。 例 2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行， 3 小时共飞行 3600 千米，甲的速 度是乙的 2 倍，求它们的速度各是多少？ 分析： 看图： 已知两架飞机 3 小时共飞行 3600 千米，就可以求出两架飞机每小时飞行的航程，也就是两架飞机的速度和。看图可知，这个速度和相当于乙飞机速度的 3 倍，这样就可以求出乙飞机的速度，再根据乙飞机的速度求出甲飞机的速度。 （ 1）甲乙两架飞机每小时的航程（速度和）是 （千米） （ 2）乙飞机的速度是： （千米） （ 3）甲飞机的速度是： （千米） 答： 甲乙飞机的速度分别每小时行 800 千米、 400 千米。 例 3. 弟弟有课外书 20 本，哥哥有课外书 25 本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥的 2 倍？ 分析： 思考：（ 1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目中不变的数量是什么？ （ 2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？ （ 3）如果把哥哥剩下的课外书看作 1 倍，那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的几倍？ 思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外书。如果我们把哥哥剩下的课外书看作 1 倍，那么这时弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的 2 倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的 3倍，而兄弟俩人课外书的总数始终是不变的数量。 （ 1）兄弟俩共有课外书的数量是 20 25 45。 （ 2）哥哥给弟弟若干本课外书后 ，兄弟俩共有的倍数是 2 1 3。 （ 3）哥哥剩下的课外书的本数是 45 3 15。 （ 4）哥哥给弟弟课外书的本数是 25 15 10。 试着列出综合算式： 答： 哥哥给弟弟 10 本课外书。 例 4. 甲乙两个粮库原来共存粮 170 吨，后来从甲库运出 30 吨，给乙库运进 10 吨，这时甲库存粮是乙库存粮的 2 倍，两个粮库原来各存粮多少吨？ 分析： 根据甲乙两个粮库原来共存粮 170 吨，后来从甲库运出 30 吨，给乙库运进 10 吨，可求 出这时甲、乙两库共存粮多少吨。根据“这时甲库存粮是乙库存粮的 2 倍”，如果这时把乙库存粮作为 1 倍，那么甲、乙库所存粮就相当于乙存粮的 3 倍。于是求出这时乙库存粮多少吨，进而可求出乙库原来存粮多少吨。最后就可求出甲库原来存粮多少吨。 （ 1）甲库运出 30 吨，这时甲乙两库共存粮吨数是 吨 （ 2）给乙库运进 10 吨，这时甲、乙两个库共存粮吨数是 （吨） （ 3）这时甲乙两个粮库共存粮相 当于乙库存粮的倍数是 倍 （ 4）这时乙粮库存粮吨数是 吨 （ 5）乙粮库原存粮吨数是 吨 （ 6）甲粮库原存粮吨数是 吨 列综合算式： 答： 甲库原存粮 130 吨，乙库原存粮 40 吨。 验算： （ 1） 吨 （ 2） 倍 想一想，如果不用上面的方法求甲粮库原来存粮多少吨，还可以怎样求？ 你能根据下面的算式讲一讲理由吗？ 例 5. 少先队员种柳树和杨树共 125 棵，杨树的棵数比柳树的棵数的 3 倍多 5 棵，两种树各种多少棵？ 分析： 如果杨树少 5 棵，杨树和柳树的总棵数是 棵，这时杨 树的棵数恰好是柳树的 3 倍，所以柳树的棵数是： 棵，杨树棵数是 棵。 解： 棵 棵 答： 种柳树 30 棵，杨树 95 棵。 例 6. 花园里的菊花、月季花、杜鹃花共 1200 棵，其中月季花是菊花的 2 倍，杜鹃花是菊花的 3 倍，求三种花各多少棵？ 分析： 看图： 我们把菊花看作 1 份，总棵数是菊花的 份，所以菊花的棵数是棵，月季花的棵数是 棵，杜鹃花的棵数是 棵。 解： （棵） （棵） （棵） 和倍问题的课题要点： 和（倍数 1）小数（即 1 倍数） 小数倍数大数 奇数与偶数（二） 阅读思考： 其实，在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。 凡是能被 2 整除的数叫 偶数 ，大于零的偶数又叫双数；凡是不能被 2 整除的数叫 奇数 ，大于零的奇数又叫单数。 因为偶数是 2 的倍数，所以通常用 这个式子来表示偶数（这里是整数）。因为任何奇数除以 2 其余数都是 1，所以通常用式子来表示奇数（这里 是整数）。 奇数和偶数有许多性质，常用的有： 性质 1 两个偶数的和或者差仍然是偶数。 例如： 8+4=12， 8-4=4 等。 两个奇数的和或差也是偶数。 例如： 9+3=12， 9-3=6 等。 奇数与偶数的和或差是奇数。 例如： 9+4=13， 9-4=5 等。 单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和仍是偶数。 性质 2 奇数与奇数的积是奇数。 例如： 等 偶数与整数的积是偶数。 例如： 等。 性质 3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。 例 1. 有 5 张扑克牌，画面向上。小明每次翻转其中的 4 张，那么，他能在翻动若干次后，使 5 张牌的画面都向下吗？ 分析与解答： 同学们可以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。要想使 5 张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。 5 个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时才能使 5 张牌的牌面都向下。而小明每次翻动 4 张，不管翻多少次，翻动的总 张数都是偶数。 所以无论他翻动多少次，都不能使 5 张牌画面都向下。 例 2. 甲盒中放有 180 个白色围棋子和 181 个黑色围棋子，乙盒中放有 181 个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？ 分析与解答： 不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒。所以他每拿一次，甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿 180+181-1=360 次后 ，甲盒里只剩下一个棋子。 如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒子中的黑子数不变。也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数。由于 181 是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于 1 的奇数只有 1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。 例 3. 如图（ 1-1）是一张 的正方形纸片。将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个 的长方形纸片？ 图（ 1-1） 图（ 1-2） 分析与解答： 如图 1-2，我们在方格内顺序地填上奇、偶两字。这时就会发现，要从上面剪下一个 的长方形纸片，不论怎样剪，都会包含一个奇，一个偶。我们再数一下奇字和偶字的个数，奇字有 30 个，偶字有 32 个。所以这张纸不能剪成若干个 的长方形纸片。 2. 一串数排成一行，它们的规律是：前两个 数都是 1，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，也就是： 1， 1， 2， 3， 5， 那么这串数的第 100 个是奇数还是偶数？ 分析与解答： 这道题的规律是两奇一偶，第 100 个为奇数。 列方程组解应用题（一） 列一元一次方程解应用题，同学们已经在课本上学习了。今天我们主要和同学们共同研究如何列方程组解应用题。较好地掌握这一解题思路是提高解答较难应用题的重要方法，这个内容共安排两讲，这一讲研究学习如何解方程组。 （一）思路指导： 例 1. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 16 个，或 制盒底 43 个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有 150 张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？ 分析与解答： 依据题意可知这个题有两个未知量，一个是制盒身的铁皮张数，一个是制盒底的铁皮张数，这样就可以用两个未知数表示，要求出这两个未知数，就要从题目中找出两个等量关系，列出两个方程，组在一起，就是 方程组 。 两个等量关系是： A 做盒身张数 +做盒底的张数 =铁皮总张数 B 制出的盒身 数 2=制出的盒底数 解： 设用 张铁皮制盒身， y 张铁皮制盒底。 像上面这组方程，我们叫它二元一次方程组。你知道什么是方程组了吗？又怎样求出这两个未知数呢？ 这里我们主要介绍两种方法： 第一种方法：代入法 由（ 1）式得 把（ 3）代入（ 2）得 把 代入方程（ 3）得 答： 用 86 张白铁皮做盒身， 64 张白铁皮做盒底。 你知道怎样用代入法解方程组了吗？请有条理地说一说。 试一试，看谁学会了。 （ 1） （ 2） （ 1）题是刘莉和王颖合作完成的。 （ 2）题是吴可非完成的，请你认真阅读她们的解题过程，判断是否正确？ （ 1） 解： 由得 把代入方程得： 把 代入得 所以 是方程组的解。 （ 2） 解： 由得 把代入方程得 把 代入得 所以 是该方程的解。 经检查他们做得完全正确，你判断对了吗？ 第二种方法：消去法 例 2. 解： 根据题意可先做如下变化： 用 得 用 得 把 代入方程得 所以 是方程组的解。 例 3. 一 . 确定；二 . 变化；三 . 求解 解： 得 得 得 把 代入得 所以 是方程组的解。 请你说一说如何用“消去法”解方程组。 练习题答题时间： 30 分钟 根据题目特点选择方法解下面方程组。 1. 2. 3. 4. 5. 第 1 讲 数论的方法技巧（上） 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛 中，数论问题总是占有相当大的比重。 小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有： 1带余除法：若 a， b 是两个整数， b 0，则存在两个整数 q， r，使得 a=bq+r（ 0 r b）， 且 q， r 是唯一的。 特别地，如果 r=0，那么 a=bq。这时， a被 b 整除，记作 b|a，也称b 是 a的约数， a是 b的倍数。 2若 a|c， b|c，且 a， b互质，则 ab|c。 3唯一分解定理：每一个大于 1的自然数 n都可以写成质 数的连乘积，即 其中 p1 p2 pk为质数， a1， a2， ak为自然数，并且这种表示是唯一的。（ 1）式称为 n的质因数分解或标准分解。 4约数个数定理：设 n 的标准分解式为（ 1），则它的正约数个数为： d（ n） =（ a1+1）（ a2+1）（ ak+1）。 5整数集的 离散性： n 与 n+1 之间不再有其他整数。因此，不等式 x y与 x y-1是等价的。 下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。 一、利用整数的各种表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有： 1十进制表示形式： n=an10n+an-110n-1+ +a0； 2带余形式： a=bq+r； 4 2的乘方与奇数之积式： n=2mt，其中 t为奇数。 例 1 红、黄、白和蓝色卡片各 1张，每张上写有 1个数字，小明将这 4 张卡片如下图放置，使它们构成 1 个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的 10 倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是 1998。问：红、黄、蓝 3张卡片上各是什么数字？ 解： 设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是 a3， a2， a1， a0，则这个四位数可以写成 1000a3+100a2+10a1+a0， 它的各位数字之和的 10 倍是 10（ a3+a2+a1+a0） =10a3+10a2+10a1+10a0， 这个四位数与它的各位数字之和的 10 倍的差是 990a3+90a2-9a0=1998， 110a3+10a2-a0=222。 比较上式 等号两边个位、十位和百位，可得 a0=8， a2=1， a3=2。 所以红色卡片上是 2，黄色卡片上是 1，蓝色卡片上是 8。 解： 依题意，得 a+b+c 14， 说明：求解本题所用的基本知识是，正整数的十进制表示法和最简单的不定方程。 例 3 从自然数 1， 2， 3， 1000 中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被 18 整除？ 解： 设 a， b， c， d 是所取出的数中的任意 4 个数，则 a+b+c=18m， a+b+d=18n， 其中 m， n是自然数。于是 c-d=18（ m-n）。 上式说明所取出的数中任意 2 个数之差是 18 的倍数，即所取出的每个数除以 18 所得的余数均相同。设这个余数为 r，则 a=18a1+r， b=18b1+r， c=18c1+r， 其中 a1， b1， c1是整数。于是 a+b+c=18（ a1+b1+c1） +3r。 因为 18|（ a+b+c），所以 18|3r，即 6|r，推知 r=0， 6， 12。因为1000=55 18+10，所以，从 1， 2， 1000 中可取 6， 24， 42， 996共 56 个数，它们中的任意 3个数之和能被 18 整除。 例 4 求自然数 N，使得它能被 5和 49 整除，并且包括 1 和 N 在内，它共有 10 个约数。 解： 把数 N 写成质因数乘积的形式 由于 N能被 5和 72=49 整除，故 a3 1， a4 2，其余的指数 ak为自然数或零。依题意，有 （ a1+1）（ a2+1）（ an+1） =10。 由于 a3+1 2， a4+1 3，且 10=2 5，故 a1+1=a2+1=a5+1= =an+1=1， 即 a1=a2=a5= an=0， N只能有 2 个不同的质因数 5 和 7，因为 a4+1 3 2，故由 （ a3+1）（ a4+1） =10 知， a3+1=5， a4+1=2 是不可能的。因而 a3+1=2， a4+1=5，即 N=52-1 75-1=5 74=12005。 例 5 如果 N 是 1， 2， 3， 1998， 1999， 2000 的最小公倍数，那么 N 等于多少个 2与 1个奇数的积？ 解： 因为 210=1024， 211=2048 2000，每一个不大于 2000 的自然数表示为质因数相乘，其中 2的个数不多于 10 个，而 1024=210，所以， N等于10 个 2与某个奇数的积。 说明：上述 5例都是根据题目的自身特点，从选择恰当的整数表示形式入手，使问题迎刃而解。 二、枚举法 枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。 运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题 的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。 例 6 求这样的三位数，它除以 11 所得的余数等于它的三个数字的平方和。 分析与解： 三位数只有 900 个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。 设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为 x， y， z。由于任何数除以 11 所得余数都不大于 10，所以 x2+y2+z2 10， 从而 1 x 3， 0 y 3， 0 z 3。所求三位数必在以下数中： 100， 101， 102， 103， 110， 111， 112， 120， 121， 122， 130， 200， 201， 202， 211， 212， 220， 221， 300， 301， 310。 不难验证只有 100， 101 两个数符合要求。 例 7 将自然数 N接写在任意一个自然数的右面（例如，将 2 接写在35 的右面得 352），如果得到的新数都能被 N 整除，那么 N称为魔术数。问：小于 2000 的自然数中有多少个魔术数？ 对 N 为一位数、两位数、三位数、四位数分别讨论。 N|100，所以 N=10， 20， 25， 50； N|1000，所以 N=100， 125， 200， 250， 500； （ 4）当 N为四位数时，同理可得 N=1000， 1250， 2000， 2500， 5000。符合条件的有 1000， 1250。 综上所述，魔术数的个数为 14 个。 说明：（ 1）我们可以证明： k位魔术数一定是 10k的约数，反之亦然。 （ 2）这里将问题分成几种情况去讨论，对每一种情况都增加了一个前提条件，从而 降低了问题的难度，使问题容易解决。 例 8 有 3张扑克牌，牌面数字都在 10 以内。把这 3张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光 3人。每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后， 3人各自记录的数字的和顺次为 13， 15，23。问：这 3张牌的数字分别是多少？ 解： 13+15+23=51， 51=3 17。 因为 17 13，摸 17 次是不可能的，所以摸了 3次， 3张扑克牌数字之和是 17，可能的情况有下面 15 种： 1， 6， 10 1， 7， 9 1， 8， 8 2， 5， 10 2， 6， 9 2， 7， 8 3， 4， 10 3， 5， 9 3， 6， 8 3， 7， 7 (11)4， 4， 9 (12)4， 5， 8 (13)4， 6， 7 (14)5， 5， 7 (15)5， 6， 6 只有第种情况可以满足题目要求，即 3+5+5=13； 3+3+9=15； 5+9+9=23。 这 3 张牌的数字分别是 3， 5和 9。 例 9 写出 12 个都是合数的连续自然数。 分析一：在寻找质数