河南省许昌高中、襄城高中、长葛一高、禹州三高联考高一数学上学期期末试卷 理（含解析）.docVIP

2015-2016学年河南省许昌高中、襄城高中、长葛一高、禹州三高联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设命题p：nn，n22n，则p为（）ann，n22nbnn，n22ncnn，n22ndnn，n2=2n2如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）a3m4bcd3“x1”是“log（x+2）0”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4设sn是等差数列an的前n项和，已知a3=5，a5=9，则s7等于（）a13b35c49d635有下列四个命题：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）abcd6已知等比数列an满足，a3a5=4（a41），则a2=（）a2b1cd7设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）a3b6c3d68在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，cos2=，则abc的形状一定是（）a正三角形b直角三角形c等腰三角形d等腰直角三角形9若直线mx+ny+2=0（m0，n0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）a6b8c10d1210在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd平面abcd，ab=pd=a，e为侧棱pc的中点，又作dfpb交pb于点f，则pb与平面efd所成角为（）a90b60c45d3011若abc顶点b，c的坐标分别为（4，0），（4，0），ac，ab边上的中线长之和为30，则abc的重心g的轨迹方程为（）a =1（y0）b =1（x0）c =1（x0）d =1（y0）12设直线l与抛物线y2=4x相交于a、b两点，与圆（x5）2+y2=r2（r0）相切于点m，且m为线段ab的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）a（1，3）b（1，4）c（2，3）d（2，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知，则向量与垂直的充要条件是=14abc中，a、b、c对应边分别为a、b、c若a=x，b=2，b=45，且此三角形有两解，则x的取值范围为15过点m（1，1）作斜率为的直线与椭圆c： +=1（ab0）相交于a，b两点，若m是线段ab的中点，则椭圆c的离心率等于16设数列an满足a1=1，且an+1an=n+1（nn*），则数列的前10项的和为三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18已知双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，）（1）求双曲线方程；（2）若点m（3，m）在此双曲线上，求19abc中，d是bc上的点，ad平分bac，abd面积是adc面积的2倍（1）求；（2）若ad=1，dc=，求bd和ac的长20如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，e为pd的中点（）证明：pb平面aec；（）设二面角daec为60，ap=1，ad=，求三棱锥eacd的体积21设数列an的前n项和为sn，已知2sn=3n+3（）求an的通项公式；（）若数列bn，满足anbn=log3an，求bn的前n项和tn22已知抛物线c：y2=2px（p0）的焦点为f，直线y=4与y轴的交点为p，与c的交点为q，且|qf|=|pq|（）求c的方程；（）过f的直线l与c相交于a、b两点，若ab的垂直平分线l与c相交于m、n两点，且a、m、b、n四点在同一圆上，求l的方程2015-2016学年河南省许昌高中、襄城高中、长葛一高、禹州三高联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设命题p：nn，n22n，则p为（）ann，n22nbnn，n22ncnn，n22ndnn，n2=2n【考点】命题的否定【专题】简易逻辑【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论【解答】解：命题的否定是：nn，n22n，故选：c【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础2如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）a3m4bcd【考点】椭圆的定义【专题】计算题【分析】进而根据焦点在y轴推断出4m0，m30并且m34m，求得m的范围【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4m0，m30并且m34m，解得：故选d【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴3“x1”是“log（x+2）0”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题；集合思想；定义法；简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行判断即可【解答】解：由log（x+2）0得x+21，即x1，则“x1”是“log（x+2）0”的充分不必要条件，故选：a【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键比较基础4设sn是等差数列an的前n项和，已知a3=5，a5=9，则s7等于（）a13b35c49d63【考点】等差数列的前n项和【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由题意可得a3+a5=14，进而可得a1+a7=a3+a5=14，而s7=，代入即可得答案【解答】解：由题意可得a3+a5=14，由等差数列的性质可得a1+a7=a3+a5=14，故s7=49，故选c【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题5有下列四个命题：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）abcd【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑【分析】利用四种命题关系写出四个命题，然后判断真假即可【解答】解：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题：“若x，y互为相反数，则x+y=0”逆命题正确； “全等三角形的面积相等”的否命题：“不全等三角形的面积不相等”，三角形的命题公式可知只有三角形的底边与高的乘积相等命题相等，所以否命题不正确；“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题：“x2+2x+q=0没有实根，则q1”，因为x2+2x+q=0没有实根，所以44q0可得q1，所以逆否命题正确； “直角三角形有两个角是锐角”的逆命题：两个角是锐角的三角形是直角三角形，显然不正确正确命题有故选：c【点评】本题考查四种命题的关系，命题的真假的判断，基本知识的考查6已知等比数列an满足，a3a5=4（a41），则a2=（）a2b1cd【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q，a3a5=4（a41），=4，化为q3=8，解得q=2则a2=故选：c【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题7设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）a3b6c3d6【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】先画出可行域，得到角点坐标再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点a，求出k值，即可得到答案【解答】解：可行域如图：由得：a（k，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6得b（12，6），目标函数z=x+y在x=12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=12+6=6，故选b【点评】本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义8在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，cos2=，则abc的形状一定是（）a正三角形b直角三角形c等腰三角形d等腰直角三角形【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】在abc中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2=，转化为cosa=，整理即可判断abc的形状【解答】解：在abc中，cos2=，=+1+cosa=+1，即cosa=，cosasinc=sinb=sin（a+c）=sinacosc+cosasinc，sinacosc=0，sina0，cosc=0，c为直角故选：b【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题9若直线mx+ny+2=0（m0，n0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）a6b8c10d12【考点】基本不等式【专题】综合题；不等式的解法及应用；直线与圆【分析】由题意可知直线过圆心，可得3m+n=2，从而+=（+），展开后利用基本不等式可求答案【解答】解：直线截得圆的弦长为直径，直线mx+ny+2=0过圆心（3，1），即3mn+2=0，3m+n=2，+=（+）=3+3+=6，当且仅当时取等号，由截得，+的最小值为6，故选a【点评】该题考查直线与圆的位置关系、基本不等式的应用，变形+=（+）是解决本题的关键所在10在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd平面abcd，ab=pd=a，e为侧棱pc的中点，又作dfpb交pb于点f，则pb与平面efd所成角为（）a90b60c45d30【考点】直线与平面所成的角【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角【分析】以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dp为z轴，建立空间直角坐标系dxyz，利用向量法能求出pb与平面efd所成角【解答】解：以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dp为z轴，建立空间直角坐标系dxyz，d为坐标原点p（0，0，a），b（a，a，0），=（a，a，a），又=（0，），=0+=0，pbde由已知dfpb，又dfde=d，pb平面efd，pb与平面efd所成角为90故选：a【点评】本题考查线面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用11若abc顶点b，c的坐标分别为（4，0），（4，0），ac，ab边上的中线长之和为30，则abc的重心g的轨迹方程为（）a =1（y0）b =1（x0）c =1（x0）d =1（y0）【考点】轨迹方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据三角形重心的性质可得g到b、c两点的距离之和等于20，因此g的轨迹为以b、c为焦点的椭圆利用题中数据加以计算可得相应的椭圆方程，注意到点g不能落在x轴上得到答案【解答】解：设ac、ab边上的中线分别为cd、bebg=be，cg=cdbg+cg=（be+cd）=20（定值）因此，g的轨迹为以b、c为焦点的椭圆，2a=20，c=4a=10，b=，可得椭圆的方程为当g点在x轴上时，a、b、c三点共线，不能构成abcg的纵坐标不能是0，可得abc的重心g的轨迹方程为=1（y0）故选：d【点评】本题给出三角形两条中线长度之和等于定值，求重心g的轨迹方程着重考查了三角形重心的性质、椭圆的定义与标准方程和轨迹方程的求法等知识，属于中档题12设直线l与抛物线y2=4x相交于a、b两点，与圆（x5）2+y2=r2（r0）相切于点m，且m为线段ab的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）a（1，3）b（1，4）c（2，3）d（2，4）【考点】抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系【专题】综合题；创新题型；开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先确定m的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论【解答】解：设a（x1，y1），b（x2，y2），m（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（y1+y2）（y1y2）=4（x1x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=，所以x0=3，即m的轨迹是直线x=3将x=3代入y2=4x，得y2=12，m在圆上，r2=，直线l恰有4条，y00，4r216，故2r4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2r4，故选：d【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知，则向量与垂直的充要条件是=2【考点】空间向量的数量积运算【专题】方程思想；转化思想；空间向量及应用【分析】（）（）=0，解出即可得出【解答】解：=（3+，2，14），（），（）=3（3+）+4+14=0，解得=2向量与垂直的充要条件是=2故答案为：2【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14abc中，a、b、c对应边分别为a、b、c若a=x，b=2，b=45，且此三角形有两解，则x的取值范围为【考点】解三角形【专题】计算题；解三角形【分析】利用余弦定理，构建方程，根据解此三角形有两解，可得方程有两个不等的正根，从而可求x的取值范围【解答】解：由余弦定理可得：4=c2+x22cxcos45c2xc+x24=0解此三角形有两解，方程有两个不等的正根=2x24（x24）0，且x240， x0x280，且x240，x02x2故答案为：【点评】本题重点考查余弦定理的运用，考查解三角形解的个数，解题的关键是利用余弦定理，构建方程，将解此三角形有两解，转化为方程有两个不等的正根15过点m（1，1）作斜率为的直线与椭圆c： +=1（ab0）相交于a，b两点，若m是线段ab的中点，则椭圆c的离心率等于【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用点差法，结合m是线段ab的中点，斜率为，即可求出椭圆c的离心率【解答】解：设a（x1，y1），b（x2，y2），则，m是线段ab的中点，=1， =1，直线ab的方程是y=（x1）+1，y1y2=（x1x2），过点m（1，1）作斜率为的直线与椭圆c： +=1（ab0）相交于a，b两点，m是线段ab的中点，两式相减可得，即，a=b，=b，e=故答案为：【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键16设数列an满足a1=1，且an+1an=n+1（nn*），则数列的前10项的和为【考点】数列的求和；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】数列an满足a1=1，且an+1an=n+1（nn*），利用“累加求和”可得an=再利用“裂项求和”即可得出【解答】解：数列an满足a1=1，且an+1an=n+1（nn*），当n2时，an=（anan1）+（a2a1）+a1=n+2+1=当n=1时，上式也成立，an=2数列的前n项的和sn=数列的前10项的和为故答案为：【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且pq为真，求实数x的取值范围；（2）利用p是q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【解答】解：（1）由x24ax+3a20，得（x3a）（xa）0又a0，所以ax3a当a=1时，1x3，即p为真时实数x的取值范围是1x3由得得2x3，即q为真时实数x的取值范围是2x3若pq为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2x3（2）p是q的充分不必要条件，即pq，且q推不出p即q是p的充分不必要条件，则，解得1a2，所以实数a的取值范围是1a2【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将p是q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，18已知双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，）（1）求双曲线方程；（2）若点m（3，m）在此双曲线上，求【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设双曲线方程为x2y2=，0，由双曲线过点（4，），能求出双曲线方程（2）由点m（3，m）在此双曲线上，得m=由此能求出的值【解答】解：（1）双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，设双曲线方程为x2y2=，0，双曲线过点（4，），1610=，即=6，双曲线方程为=1（2）点m（3，m）在此双曲线上，=1，解得m=m（3，），或m（3，），f1（2，0），当m（3，）时， =（23，），=（，），=126=0；当m（3，）时， =（23，），=（，），=126+6+9+3=0故=0【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用19abc中，d是bc上的点，ad平分bac，abd面积是adc面积的2倍（1）求；（2）若ad=1，dc=，求bd和ac的长【考点】正弦定理；三角形中的几何计算【专题】解三角形【分析】（1）如图，过a作aebc于e，由已知及面积公式可得bd=2dc，由ad平分bac及正弦定理可得sinb=，sinc=，从而得解（2）由（1）可求bd=过d作dmab于m，作dnac于n，由ad平分bac，可求ab=2ac，令ac=x，则ab=2x，利用余弦定理即可解得bd和ac的长【解答】解：（1）如图，过a作aebc于e，=2bd=2dc，ad平分bacbad=dac在abd中， =，sinb=在adc中， =，sinc=；=6分（2）由（1）知，bd=2dc=2=过d作dmab于m，作dnac于n，ad平分bac，dm=dn，=2，ab=2ac，令ac=x，则ab=2x，bad=dac，cosbad=cosdac，由余弦定理可得： =，x=1，ac=1，bd的长为，ac的长为1【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查20如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，e为pd的中点（）证明：pb平面aec；（）设二面角daec为60，ap=1，ad=，求三棱锥eacd的体积【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（）连接bd交ac于o点，连接eo，只要证明eopb，即可证明pb平面aec；（）延长ae至m连结dm，使得amdm，说明cmd=60，是二面角的平面角，求出cd，即可三棱锥eacd的体积【解答】（）证明：连接bd交ac于o点，连接eo，o为bd中点，e为pd中点，eopb，（2分）eo平面aec，pb平面aec，所以pb平面aec；（6分）（）解：延长ae至m连结dm，使得amdm，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，cd平面amd，二面角daec为60，cmd=60，ap=1，ad=，adp=30，pd=2，e为pd的中点ae=1，dm=，cd=三棱锥eacd的体积为： =【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题21设数列an的前n项和为sn，已知2sn=3n+3（）求an的通项公式；（）若数列bn，满足anbn=log3an，求bn的前n项和tn【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（）利用2sn=3n+3，可求得a1=3；当n1时，2sn1=3n1+3，两式相减2an=2sn2sn1，可求得an=3n1，从而可得an的通项公式；（）依题意，anbn=log3an，可得b1=，当n1时，bn=31nlog33n1=（n1）31n，于是可求得t1=b1=；当n1时，tn=b1+b2+bn=+（131+232+（n1）31n），利用错位相减法可求得bn的前n项和tn【解答】解：（）因为2sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，当n1时，2sn1=3n1+3，此时，2an=2sn2sn1=3n3n1=23n1，即an=3n1，所以an=（）因为anbn=log3an，所以b1=，当n1时，bn=31nlog33n1=（n1）31n，所以t1=b1=；当n1时，tn=b1+b2+bn=+（131+232+（n1）31n），所以3tn=1+（130+231+332+（n1）32n），两式相减得：2tn=+（30+31+32+32n（n1）31n）=+（n1）31n=，所以tn=，经检验，n=1时也适合，综上可得tn=【点评】本题考查数列的求和，着