概率与数理统计第3章答案.pdf

第第 3 3 3 3 章章习题答案祥解习题答案祥解 1 现有 10 件产品 其中 6 件正品 4 件次品 从中随机抽取 2 次 每次抽取 1 件 定 义两个随机变量 如下 XY 次抽到次品第 次抽到正品第 1 1 0 1 X 次抽到次品第 次抽到正品第 2 2 0 1 Y 试就下面两种情况求的联合概率分布和边缘概率分布 YX 1 第 1 次抽取后放回 2 第 1 次抽取后不放回 解解 1 依题知所有可能的取值为 因为 YX 1 1 0 1 1 0 0 0 25 4 10 4 10 4 0 0 0 0 0 1 10 1 4 1 10 1 4 C C C C XYPXPYXP 25 6 10 6 10 4 0 1 0 1 0 1 10 1 6 1 10 1 4 C C C C XYPXPYXP 25 6 10 4 10 6 1 0 1 0 1 1 10 1 4 1 10 1 6 C C C C XYPXPYXP 25 9 10 6 10 6 1 1 1 1 1 1 10 1 6 1 10 1 6 C C C C XYPXPYXP 所以的联合概率分布及关于 边缘概率分布如下表为 YXXY 2 类似于 1 可求得 15 2 9 3 10 4 0 0 0 0 0 1 9 1 3 1 10 1 4 C C C C XYPXPYXP Y X 01 i p 0 25 4 25 6 25 10 1 25 6 25 9 25 15 j p 25 10 25 15 1 Y X 01 i p 111 p 0 4 1 021 p 22 p 2 1 131 p 0 4 1 j p 2 1 2 1 1 15 4 9 6 10 4 0 1 0 1 0 1 9 1 6 1 10 1 4 C C C C XYPXPYXP 15 4 9 4 10 6 1 0 1 0 1 1 9 1 4 1 10 1 6 C C C C XYPXPYXP 15 5 9 5 10 6 1 1 1 1 1 1 9 1 5 1 10 1 6 C C C C XYPXPYXP 所以的联合概率分布及关于 边缘概率分布如下表为 YXXY 2 已知随机变量 的概率分布分别为XY 且 求1 0 YXP 1 和的联合概率分布 2 XY YXP 解解 1 因为 1 0 0 0 0 1 0 1 0 YXYX YXYXYX 所以 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 22213111 pppp YXPYXP YXPYXPYXP 又根据得 从而 于是由表1 2 1 3 1 ji ij p0 3212 pp0 3212 pp Y X 01 i p 0 15 2 15 4 15 6 1 15 4 15 5 15 9 j p 15 6 15 9 1 X P 101 4 1 2 1 4 1 Y P 01 2 1 2 1 Y X 01 i p 1 4 1 0 4 1 00 2 1 2 1 1 4 1 0 2 1 j p 2 1 2 1 1 可得 4 1 11 p 4 1 31 p 2 1 22 p0 2 1 2221 pp 故的联合概率分布为 YX 2 由 1 知 0 1 1 0 0 YXPYXPYXP 3 设二维随机向量服从矩形区域上的均匀分 YX 10 20 yxyxD 布 且 1 0 YX YX U 2 1 2 0 YX YX V 求与的联合概率分布 UV 解解依题的概率分布为 VU 4 1 2 1 2 0 0 11 0 x dydxYXPYXYXPVUP 0 2 1 0 YXYXPVUP 4 1 2 1 2 2 0 1 21 0 y y dydyYXYPYXYXPVUP 2 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 VUPVUPVUPVUP 即 Y X 01 0 4 1 0 1 4 1 2 1 4 不可以 5 设的联合分布函数为 YX 4 arctan 3 arctan y C x BAyxF 求 1 常数 CBA 2 的联合概率密度 YX 3 的边缘分布函数和边缘概率密度 YX 4 3 XP 4 YP 4 3 YXP 5 判断与的独立性 XY 解解 1 依分布函数的性质知 1 2 2 4 arctan 3 arctan limlim limlim CBA x C x BAyxFF xxxx 0 2 2 CBAF 0 2 2 0 FCABCBAF 解得 2 1 A 2 CB 2 4 1 16 1 1 3 arctan 2 1 22 2 y x xxy yxF yxf 16 9 12 222 yx 3 依联合分布函数的性质知 3 arctan 1 2 1 x xFxF XX 4 arctan 1 2 1 y yFyF YY 所以的边缘概率密度分别为 YX 9 3 22 x xfX 16 4 22 y yfY 4 4 3 3 3 X FXP 4 3 4 4 Y FYP 16 9 4 3 4 3 FYXP 5 因为 16 9 12 222 YfXf yx yxf 所以与相互独立 XY 6 设二维随机向量的联合概率密度为 YX 其它 0 0 0 2 yxAe yxf yx 试求 1 常数 A 2 关于 的边缘概率密度 YXXY 3 30 20 YXP 4 12 YXP 5 YXP 解解 1 由联合概率密度分的性质知 1 00 2 dyeAdxdxdyyxf yx 即 求得 1 00 2 dyedxeA yx 2 A 2 当时 有0 x xyx edyedyyxfxf 0 2 1 当时 有 0 x0 1 xf 所以关于的边缘概率密度为 YXX 0 0 0 1 x xe xf x 同理可得关于的边缘概率密度为 YXY 0 0 0 2 2 2 y ye yf y 3 30 20 YXP 2 0 3 0 2 2dyedx yx 2 0 3 0 2 2dyedxe yx 1 1 62 ee 4 积分区域如图阴影部分 12 YXP 1 0 2 1 0 2 2 x yx dyedx 21 1 1 0 2 1 0 2 e dxee x yx 1x o y y 0 5x 0 5 0 5 5 积分区域如图阴影部分 YXP 0 2 2 x yx dyedx 0 3 0 0 2 dxe dxee x yx 3 1 7 设二维随机向量的联合概率密度为 YX 其它 0 20 10 3 1 2 yxxyx yxf 试求 1 关于 的边缘概率密度 YXXY 2 2 1 2 1 YXP 解解 1 当时 有10 x xxdyxyxdyyxfxf 3 2 2 3 1 2 2 0 2 1 当时 有 10 xx或0 1 xf 所以关于的边缘概率密度为 YXX 其它 0 10 3 2 2 2 1 xxx xf 同理可得关于的边缘概率密度为 YXY 其它 0 20 6 1 3 1 2 yy yf 2 由条件概率的定义知 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 YP YXP YXP 而 2 1 2 1 YXP 192 5 3 1 2 1 0 2 1 0 2 dyxyxdx x o y y x 2 1 YP 48 9 3 1 1 0 2 1 0 2 dyxyxdx 于是 36 5 48 9 192 5 2 1 2 1 YXP 8 设随机变量在 1 2 3 4 四个整数中等可能地取值 另一随机变量在中等XYX 1 可能地取整数值 求条件分布率 P Yk Xi 解 随机变量在中等可能地取整数值 故YX 1 时ki 0P Yk Xi 时ki 1 P Yk Xi i 9 设的联合概率密度为 YX 301 0 0 xxyx f x y 其它 求 11 84 P YX 解 先求边缘概率密度 2 0 3013 01 0 0 x X xdyxxx fxf x y dy 其它 其它 再求条件概率密度 当时01x 0 0 Y X X yxf x y fy xx fx 1 其它 当时 1 4 x 1 4 01 4 4 0 Y X y fy 其它 1 8 0 1111 4 8442 Y X P YXfydydy 10 设的联合分布律为 X Y XY 10 11 4 1 4 21 6 a 求 1 常数 a 2 联合分布函数在点处的值 3 1 2 2 3 1 2 2 F 3 1 0 P Xy 解 1 由联合分布律的性质知1 ij ij p 111 1 446 ij ij pa 求得 1 3 a 2 的 联 合 分 布 函 数在 点处 的 值 X Y F x y 3 1 2 2 3 131 1 11 0 2 222 111 442 Fp XYP XYP XY 3 1 1 03 4 1 0 11 07 43 P XY P XY P X 解毕 技巧 求联合分布函数时 只需把取值满足的点的概率 F x y ij xx yy ij x y 找出来 然后求和就可以了 值得注意的是不要有遗漏 而求条件分布律时的关键是将其 ij p 边缘分布求出即可 而边缘分布律的求法在前节已反复强调过多次 11 设的联合概率密度为 YX 3 01 0 0 xxyx f x y 其它 求条件密度函数和 X Y fx y Y X fy x 解 先求两个边缘概率密度 2 0 3013 01 0 0 x X xdyxxx fxf x y dy 其它 其它 1 2 3 301 1 01 2 0 0 y Y xdxyyy fyf x y dx 其它其它 再求条件概率密度 当时01x 0 0 Y X X yxf x y fy xx fx 1 其它 当时01y 2 1 1 0 X Y Y x yx f x y yfx y fy 2 其它 12 设和是两个相互独立的随机变量 服从区间上的均匀分布 服从参XYX 0 1 Y 数的指数分布 求 a 的二次方程有实根的概率 1 2 2 20aXa Y 思路 方程有实根当且仅当故本题是求概率 2 20aXaY 2 440 XY 而要计算此概率必须知道与的联合密度 因此 首先必须根据题中独立性 2 P XY XY 的假定求出 f x y 解 有题设知 与的概率密度分别为XY 和 1 01 0 X x fx 其他 0 0 y0 Y x fy y 2 1 e 2 由于相互独立 故与的联合密度为 X YXY 01 0 0 XY xy f x yfxfy y 2 1 e 2 其他 又因为方程有实数当且仅当故所求概率为 2 20aXa Y 2 440 XY 22 2 2 01 0 11 000 1 0 1 11210 xyxy x y x P XYf x y dxdydxdy dxdydx dx 2 2 y 2 yx 22 x 2 1 e 2 1 ee 2 e 而 查正态分布表 故方程有实根的概率为 1 0 10 843 2 2 20aXaY 0 1448 技巧 本题是二维连续型随机变量的综合题 要求读者熟悉均匀分布 指数分布的定义 掌握独立性和概率计算的基本方法 知道怎么利用独立性构造联合分布 同时 要求大家在 计算形如的积分时 如何应用正态分布的性质和特征 这种计算技巧 在概率论 微 2 Ax e 积分中是常用的 13 设 随 机 变 量相 互 独 立 同 分 布 且 i X 4 3 2 1 i6 0 0 i XP 求行列式的分布列 4 0 1 i XP 4 3 2 1 i 43 21 XX XX X 解解 而 的概率分布分别为 3241 43 21 XXXX XX XX X 41X X 32X X 由于相互独立 所以与也独立同分布 故的概率分布 i X 4 3 2 1 i 41X X 32X XX 为 1344 0 16 0 84 0 1 0 1 0 1 32413241 XXPXXPXXXXPXP 7312 0 16 0 16 0 4 84 0 0 1 0 32413241 32413241 XXPXXPXXPXXP XXXXPXXXXPXP 1344 0 16 0 84 0 0 1 0 1 1 32413241 XXPXXPXXXXPXP 即 14 设随机变量的概率密度函数为 令X 0 0 0 x X ex fx x 1 0 ln2 1 ln2 X Y X 2 0 ln7 1 ln7 X Y X 1 求的联合分布 2 判断是否相互独立 12 Y Y 12 YY与 解解 1 由题设的全部可能取值为 0 0 0 1 1 0 1 1 其中联合 12 Y Y 分布律为 41X X 01 P 0 840 16 32X X 01 P 0 840 16 X P 101 0 13440 73120 1344 ln2 12 0 1 0 0 ln2 ln7 ln2 2 x P YYP XXP Xe dx 12 0 1 ln2 ln7 0P YYP XX ln7 12 ln2 5 1 0 ln2 ln7 14 x P YYP XXe dx 12 ln7 1 1 1 ln2 ln7 ln7 7 x P YYP XXP Xe dx 2 因 1 1 0 ln2 2 P YP X 1 1 1 ln7 7 P YP X 从而不相互独立 1112 1 010 1 14 P YP YP YY 12 YY与 15 设随机变量与相互独立 其概率密度函数分别为XY 其它 0 10 1 x xfX 0 0 0 y yAe yf y Y 求 1 常数 A 2 随机变量的概率密度函数 YXZ 2 解解 1 AdyeAdyyf y Y 0 1 2 因与相互独立 故的联合概率密度为XY YX 其他 0 0 10 yxe yxf y 于是当时 有0 z 0 2 zYXPzZPzF 当时 有20 z 2 0 22 0 2 0 1 2 z zx z xz y dxedyedxzYXPzF 当时 有2 z 1 0 2 1 0 2 0 1 2 dxedyedxzYXPzF zx xz y 利用分布函数法求得的概率密度函数为YXZ 2 2 1 2 1 20 1 2 1 0 0 2 zee ze z zf z z Z 16 的联合概率密度为 YX 其他 0 0 10 3 xyxx yxf 求概率密度函数 YXZ 解解当时 有0 z 0 zYXPzZPzF 当时 有10 z 22 3 33 3 1 00 zz xdydxxdydxzYXPzF z x zx zx 当时 有 1 z1 zF 所以的概率密度函数为YXZ 其他 0 10 1 2 3 2 zz zfz 17 设随机变量与相互独立 其概率密度函数分别为XY 和 1 01 0 X x fx 其他 0 0 y0 y Y ey fy 求随机变量的概率密度函数 2ZXY 1987 年考研题 思路 这是计算两个独立随机变量和的概率密度的典型题 可有两种解法 一是通过 的分布函数来求解 另一是利用卷积公式来计算 2ZXY 解 方法 1 分布函数法 因为相互独立 所以的联合概率密度函数为 X Y X Y 01 0 0 y XY exy f x yfx fy 其他 故的分布函数为2ZXY 2 2 Z XY Z FzPXYZf x y dxdy 记的 区 域为 积 分区 域为 0f x y 01 0Dx yxy 于是 2 Gx yXYZ y Z DG Fzedxdy 为此 考虑区域的情形 DG 1 当时 见图 3 5 1 于是 0z DG 0 Z Fz 2 当时 为图 3 5 2 中的阴影部分 于是02z DG 2 2 00 2 2 0 1 1 1 2 zx yy Z DG x z z Fzedxdydxedy edx ze 图3 5 1 图 3 5 2 3 当时 为图 3 5 3中的阴影部分 于是2z DG 12 00 2 1 11 2 zx yy Z DG z Fzedxdydxedy ee 所以 随机变量的概率密度为2ZXY 2 0 0 1 1 02 2 1 1 2 2 z zz z z fzFzez eez 图 3 5 3 方法 2 卷积公式法 若记 为求的密度函数 我们先考虑的分布函数2WX WW 2 2 2 0 0 02 2 1 2 w WX w FwP WwPXwP Xfx dx w w w w 故 W的概率密度为 1 02 2 0 W w fw 其他 因为相互独立 所以与也相互独立 从而的概率密度 X YWY2ZXYWY 可按卷积公式计算 即 zWY fzfw fzw dw 为使被积函数非零 则必须满足条件 即 02 0 w zw 02 w wz 从而 分情况讨论 1 若则于是0 z 02 wwz 0 z fz 2 若则故02 z 020 wwzwz 0 11 1 22 z z w z z fzedwe 3 若 则故2z 020 wwzwz 2 2 0 11 1 22 z w z z fzedwee 综上知 2 0 0 1 1 02 2 1 1 2 2 z z z z fzez eez 解毕 技巧 这类问题的求解 主要工作量是求分段函数的积分和积分上 下限的确定 希望 读者仔细体会此题求解的方法 得到举一反三的效果 第一种分布函数的方法是通常的方法 第二种卷积公式法仅适用随机变量和的情形 其实 对两随机变量和的线性组合 我们也有 如 下 推 广 的 卷 积 公 式 设的 联 合 概 率 密 度 为 则 X Y f x y 的概率密度为 0 0ZaXbY ab 11 z zaxzby fzfxdxfy dy bbaa 读者不妨用此公式去验证一下本题的结论 181818 18 设二维随机变量服从取区域上的均匀分布 X Y 0 0Dx yxaya 试求 1 的概率密度 X Z Y 2 的概率密度 max MX Y 思路 利用分布函数法来处理 先分别求出和的分布函数 然后再求导 ZM 解 1 由于的概率密度为 X Y 2 1 0 0 0 xaya f x ya 其他 故当时 而当时 有0z 0 Z X FzPZ Y 01z 2 00 1 2 Z x z y zya X FzPzf x y dxdy Y z dydx a 当时 有1z 2 0 11 1 2 Z x z y aa x z X FzPzf x y dxdy Y dxdy az 从而的概率密度为 X Z Y 2 0 0 1 0 z 1 2 1 1 2 ZZ z d fzFz dz z z 2 由于 2 1 0 0 0 xaya f x y a 其他 故 1 0 0 X xa fxf x y dya 其他 1 0 0 Y ya fyf x y dx a 其他 从而 与相互独立 且均服从上的均匀分布 故对的分布函数XY 0 a max MX Y 有 2 2 max 0 0 M XY FzP MzPX Yz P Xz YzP Xz P Yz Fz Fz z za a 其他 由此得的概率密度为 max MX Y 2 2 0 z a 0 MM z d fzFz a dz 其他 解毕 注 此题时考查对随机变量的商及极值函数的分布的计算 其中的关键仍然时积分区域 的确定 当然 商运算等也已有现成的公式 我们在此一并介绍给读者 若的联合密度 X Y 为 则有 f x y 11 XYXY XYX Y fzf x zx dxfzf x xz dx z fzfxdxfzf zy ydy xxy 19 对随机变量 有XY 7 3 0 0 YXP 7 4 0 0 YPXP 求 0 max YXP 0 min YXP 解解依题得 7 5 7 3 7 4 7 4 0 0 00 0 0 0 max YXPYPXP YXPYXP 7 4 0 0 1 0 min 1 0 min YXP YXPYXP 20 随机变量独立同分布 且分布密度为 321 XXX 2 301 0 xx f x 其它 设 求 max 321 XXXY 0 5 P Y 解 解 1 0 5 P X 0 5 230 5 0 0 1 3 8 x dxx 123 0 5 max 0 5 P YPXXX 123 123 123 1 max 0 5 1 0 5 0 5 0 5 1 0 5 0 5 0 5 PXXX P XXX P XP XP X 3 1511 1 8512 21 设二维随机变量的联合密度