2019_2020学年高中数学第1章不等关系与基本不等式22.2绝对值不等式的解法学案北师大版.docx

2.2绝对值不等式的解法学习目标：1.理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法(重点)2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c(c0)(重点、关键点)教材整理1含有一个绝对值不等式的解法阅读教材P8P9“思考交流”以上部分，完成下列问题1绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|axa|x|ax|xa，或xaxR，且x0R2.|axb|c与|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc；(2)|axb|caxbc或axbc.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)|x|a的解集是(a，a).()(2)不等式|x2|3的解集是(，15，).()(3)若|xa|2的解集是(1,3)时，a的值为2.()解析(1)当a0时，|x|a的解集为.(2)由|x2|3，得x23或x23，即x5或x1.(3)若|xa|1的解集为_(2)若f(x)|xa|xb|的最小值为3，当a|x1|的解集为_解析(1)|x4|x2|42|21，不等式的解集为R.(2)由条件可知，当af(x)恒成立时，af(x)min，即a(x1)2，整理得x1.答案(1)R(2)a3(3)(，1)|axb|c与|axb|c型不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)17x.精彩点拨(1)可利用公式转化为|axb|c(c0)或|axb|0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式自主解答(1)法一：原不等式等价于不等式组即解得1x1或3x5，所以原不等式的解集为x|1x1或3x5法二：原不等式可转化为：或由得3x5，由得1x1，所以原不等式的解集是x|1x1或3x5法三：原不等式的解集就是1(x2)29的解集，即解得所以1x1或3x5.所以原不等式的解集是x|1x1或37x，可得2x57x或2x52或x4.所以原不等式的解集是x|x21形如a|f(x)|a0)型不等式的简单解法是利用等价命题法，即a|f(x)|b(0ab)a|f(x)|b或bf(x)g(x)和|f(x)|g(x)或f(x)g(x)和g(x)f(x)g(x)求解3形如|f(x)|f(x)型不等式的简单解法是利用绝对值的定义，即|f(x)|f(x)f(x)0，|f(x)|f(x)x.1解不等式|x2x2|x23x4.解x2x20，|x2x2|x2x2.原不等式等价于x2x2x23x4，解得x3.原不等式的解集为x|x3.|xa|xb|c(c)型不等式的解法【例2】解不等式|x1|x1|3.精彩点拨本题考查|xa|xb|c型含两个绝对值的不等式的解法，解答此题可利用绝对值的几何意义去掉绝对值符号求解，也可用零点分区间讨论法求解，或者用图像法，利用图形分析求解自主解答法一：如图所示，设数轴上与1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间1,1上的数都不是不等式的解设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.1x1x3，得x.同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离和为3，B1对应数轴上的x，x1x(1)3.x.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.所以原不等式的解集是.法二：当x1时，原不等式可以化为(x1)(x1)3，解得x.当1x1时，原不等式可以化为x1(x1)3，即23，不成立，无解当x1时，原不等式可以化为x1x13，所以x.综上所述，原不等式的解集为.法三：将原不等式转化为|x1|x1|30.构造函数y|x1|x1|3，即y作出函数的图像，如图所示：函数的零点是，.从图像可知，当x或x时，y0，即|x1|x1|30.解得原不等式的解集为.这三种解法是解含有两个绝对值和差不等式常用的方法，解法一中关键是找到特殊点，解法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，解法三则要准确画出函数图像，并准确找出零点2解不等式|2x1|f(x)的解集为，求a的取值范围时如何转化求解，对于af(x)解集为af(x)恒成立af(x)解集为af(x)恒成立3对于af(x)有解求a的范围时，如何转化求解？af(x)有解呢？提示af(x)有解af(x)min.af(x)有解af(x)max.【例3】已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围精彩点拨(1)解f(x)3，由集合相等，求a.(2)求yf(x)f(x5)的最小值，确定m的范围自主解答(1)由f(x)3，得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)法一由(1)知a2，此时f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|，于是g(x)利用g(x)的单调性，易知g(x)的最小值为5.因此g(x)f(x)f(x5)m对xR恒成立，知实数m的取值范围是(，5法二当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|.由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.因此，若g(x)f(x)f(x5)m恒成立，应有实数m的取值范围是(，51第(2)问求解的关键是转化为求f(x)f(x5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)2将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用3若关于x的不等式|x2|x1|a的解集为，求实数a的取值范围解法一：令y1|x2|x1|，y2a.y1y1，y2的图像如图所示由图可知，当a3时，|x2|x1|a的解集为.法二：|x2|x1|表示数轴上的点A(x)到B(2)和C(1)两点的距离之和，而|BC|3，所以A到B，C两点的距离之和的最小值为3.即对一切xR，总有|x2|x1|3.因为|x2|x1|a的解集为，所以只需a3即可，所以a的取值范围是a3.1不等式|x|(12x)0的解集是()AB(，0)CD解析原不等式等价于解得x且x0，即x(，0).答案B2不等式|x2|x2的解集是()A(，2)B(，)C(2，)D(，2)(2，)解析原不等式同解于x20，即x2.答案A3已知集合AxR|x1|2，Z为整数集，则集合AZ中所有元素的和等于_解析AxR|x1|2xR|1x0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x