浙江省六校联考高考数学模拟试卷 文（含解析）.doc

浙江省六校联考2015届高考数学模拟试卷（文科） 一、选择题（本题共有8小题，每小题5分，共40分）1（5分）已知集合m=x|1，n=y|y=，则mn=（）a（0，1）b0，1c0，1）d（0，12（5分）若a是实数，则“a24”是“a2”的（）a充要条件b既不充分也不必要条件c充分不必要条件d必要不充分条件3（5分）将函数y=cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）a（0，0）b（）c（）d（，0）4（5分）下列命题中错误的是（）a如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面b如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面c如果平面平面，平面平面，=l，那么l平面d如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面5（5分）设实数列an和bn分别为等差数列与等比数列，且a1=b1=8，a4=b4=1，则以下结论正确的是（）aa2b2ba3b3ca5b5da6b66（5分）设a1，a2分别为椭圆=1（ab0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点p，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（）a（0，）b（0，）cd7（5分）定义在r上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=，则函数f（x）=f（x）的所有零点之和为（）abcd8（5分）如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，p为bc的中点，q为线段cc1上的动点，过点a，p，q的平面截该正方体所得的截面记为s 当0cq时，s为四边形截面在底面上投影面积恒为定值存在某个位置，使得截面s与平面a1bd垂直当cq=时，s与c1d1的交点r满足c1r=其中正确命题的个数为（）a1b2c3d4二、填空题（第9题至第12题，每小题6分；第13题至第15题每小题6分，共36分）9（6分）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期为，单调增区间为，=10（6分）已知点m（2，1）及圆x2+y2=4，则过m点的圆的切线方程为，若直线axy+4=0与圆相交于a、b两点，且|ab|=2，则a=11（6分）某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其体积是cm3，表面积是cm 212（6分）设实数x，y满足，则动点p（x，y）所形成区域的面积为，z=|x2y+2|的取值范围是13（4分）已知点p是双曲线y2=1上任意一点，过点p分别作两渐近线的垂线，垂足分别为a、b，则线段|ab|的最小值为14（4分）已知实数x、y满足4x2+y2xy=1，且不等式2x+y+c0恒成立，则c的取值范围是15（4分）如图，圆o为rtabc的内切圆，已ac=3，bc=4，ab=5，过圆心o的直线l交圆o于p、q两点，则的取值范围是三、解答题（第16题至第19题，每题15分；第20题14分，共74分）16（15分）如图，在abc中，d为ab边上一点，da=dc，已知b=，bc=1（）若abc是锐角三角形，dc=，求角a的大小；（）若bcd的面积为，求边ab的长17（15分）已知数列an的前n项和为sn，满足sn+2=2an（nn*）（）求数列an的通项公式；（）令bn=log2an，tn=+，求满足tn的最大正整数n的值18（15分）等腰梯形abcd，abcd，deab，cfab，ae=2，沿de，cf将梯形折叠使a，b重合于a点（如图），g为ac上一点，fg平面ace（）求证：aeaf；（）求dg与平面ace所成角的正弦值19（15分）已知抛物线c：y2=2px（p0）上的点m到直线l：y=x+1的最小距离为点n在直线l上，过点n作直线与抛物线相切，切点分别为a、b（）求抛物线方程；（）当原点o到直线ab的距离最大时，求三角形oab的面积20（14分）已知函数f（x）=x2（a+1）x4（a+5），g（x）=ax2x+5，其中ar （1）若函数f（x），g（x）存在相同的零点，求a的值（2）若存在两个正整数m，n，当x0（m，n）时，有f（x0）0与g（x0）0同时成立，求n的最大值及n取最大值时a的取值范围浙江省六校联考2015届高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共有8小题，每小题5分，共40分）1（5分）已知集合m=x|1，n=y|y=，则mn=（）a（0，1）b0，1c0，1）d（0，1考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出m中不等式的解集确定出m，求出n中y的范围确定出n，找出m与n的交集即可解答：解：由m中不等式变形得：10，即0，解得：0x1，即a=（0，1，由n中y=，得到0y1，即n=0，1，则mn=（0，1，故选：d点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）若a是实数，则“a24”是“a2”的（）a充要条件b既不充分也不必要条件c充分不必要条件d必要不充分条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分必要条件的定义进行判断即可解答：解：若“a24”，则“a2”，是充分条件，若“a2”，则推不出“a24”，不是必要条件，故选：c点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式问题，是一道基础题3（5分）将函数y=cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）a（0，0）b（）c（）d（，0）考点：余弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：根据三角函数的图象变换求出函数的解析式即可得到结论解答：解：将函数y=cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cos（x+），再向左平移个单位，得到y=cos（x+）+=cos（x+）=sinx，由x=k，解得x=2k，即函数对称中心为（2k，0），当k=0时，函数的对称中心为（0，0），故选：a点评：本题主要考查三角函数对称中心的求解，根据函数图象变换关系求出函数的解析式是解决本题的关键4（5分）下列命题中错误的是（）a如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面b如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面c如果平面平面，平面平面，=l，那么l平面d如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面考点：平面与平面垂直的性质 专题：空间位置关系与距离；简易逻辑分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题在解答时：a注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；b反证法即可获得解答；c利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；d结合实物举反例即可解答：解：由题意可知：a、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；b、假若平面内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直故此命题成立；c、结合面面垂直的性质可以分别在、内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；d、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的故此命题错误故选d点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用值得同学们体会和反思5（5分）设实数列an和bn分别为等差数列与等比数列，且a1=b1=8，a4=b4=1，则以下结论正确的是（）aa2b2ba3b3ca5b5da6b6考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得数列的公差和公比，进而可得选项中的各个值，比较可得解答：解：a1=8，a4=1，d=，b1=8，b4=1，q3=，q=，b2=4a2=，b3=2a3=，b5=a5=，b6=a6=，故选：a点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题6（5分）设a1，a2分别为椭圆=1（ab0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点p，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（）a（0，）b（0，）cd考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据题意设p（asin，bcos），所以根据条件可得到，b2换上a2c2从而可得到，再根据a，c0，即可解出离心率的取值范围解答：解：设p（asin，bcos），a1（a，0），a2（a，0）；，；，a，c0；解得；该椭圆的离心率的范围是（）故选：c点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的顶点的定义，顶点的坐标，由点的坐标求直线的斜率，以及b2=a2c2，椭圆斜率的概念及计算公式，设出p点坐标是求解本题的关键7（5分）定义在r上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=，则函数f（x）=f（x）的所有零点之和为（）abcd考点：函数零点的判定定理；分段函数的应用 专题：数形结合；函数的性质及应用分析：得出x0时，f（x）=画出r上的图象，构造f（x）与y=交点问题，利用对称性求解，注意确定交点坐标求解解答：解：定义在r上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=，x0时，f（x）=画出图象：函数f（x）=f（x），f（x）与y=交点的横坐标，根据图象可设交点的横坐标从左到右为x1，2，x3，x4，x5，根据图象的对性可知；x1+x2=6，x4+x5=6，x1+x2=x3=x4=x5=x3，=，xx=，故函数f（x）=f（x）的所有零点之和为：故选：b点评：本题考查了函数的奇偶性，图象的对称性，函数的零点与构造函数交点的问题，属于中档题，关键是确定函数解析式，画图象8（5分）如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，p为bc的中点，q为线段cc1上的动点，过点a，p，q的平面截该正方体所得的截面记为s 当0cq时，s为四边形截面在底面上投影面积恒为定值存在某个位置，使得截面s与平面a1bd垂直当cq=时，s与c1d1的交点r满足c1r=其中正确命题的个数为（）a1b2c3d4考点：棱柱的结构特征 专题：空间位置关系与距离分析：对选项逐个进行检验即可，对于：得到0dt1，可以容易得到s为四边形；对于则找其投影三角形即可；对于，则需要找线面垂直关系即可；对于，则需补图完成解答：解：设截面与dd1相交于t，则atpq，且at=2pqdt=2cq对于，当0cq时，则0dt1，所以截面s为四边形，且s为梯形，故正确；对于，截面在底面上投影为apc，其面积为，故错误；对于，存在某个位置，使得截面s与平面a1bd垂直，故正确；对于，右补充一个正方体后，得到s与c1d1的交点r满足c1r=，故正确；故选：c点评：本题重点考查了空间几何体的结构特征、空间中点线面的位置关系等知识，对于中点问题的处理思路是：无中点，取中点，相连得到中位线属于中档题二、填空题（第9题至第12题，每小题6分；第13题至第15题每小题6分，共36分）9（6分）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期为2，单调增区间为2k，2k+，=考点：正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：利用辅助角公式将三角函数进行化简即可得到结论解答：解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），则函数的周期t=2，由2kx+2k+，kz，解得2kx2k+，kz，故函数的递增区间为2k，2k+，f（）=sin（+）=sin=，故答案为：2，2k，2k+，点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键10（6分）已知点m（2，1）及圆x2+y2=4，则过m点的圆的切线方程为x=2或3x+4y10=0，若直线axy+4=0与圆相交于a、b两点，且|ab|=2，则a=考点：圆的切线方程 专题：计算题；直线与圆分析：当切线方程的斜率不存在时，显然x=2满足题意，当切线方程的斜率存在时，设斜率为k，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，根据d=r列出关于k的方程，解之即可求出所求；由题意易知圆心到直线的距离等于1（勾股定理），然后可求a的值解答：解：由圆x2+y2=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，当过p的切线方程斜率不存在时，显然x=2为圆的切线；当过p的切线方程斜率存在时，设斜率为k，p（2，1），切线方程为y1=k（x2），即kxy2k+1=0，圆心到切线的距离d=r=2，解得：k=，此时切线方程为3x+4y10=0，综上，切线方程为x=2或3x+4y10=0直线axy+4=0与圆相交于a、b两点，且|ab|=2，圆心（0，0）到直线的距离等于1，=1，a=故答案为：x=2或3x+4y10=0；点评：本题主要考查了直线圆的位置关系，以及切线的求解方法，同时考查了运算求解的能力，属于基础题11（6分）某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其体积是cm3，表面积是2cm 2考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图可得该几何体是正方体的内接正四棱锥，由三视图中的数据和间接法求出几何体的体积，再由三角形的面积公式求出表面积解答：解：由三视图可得，该几何体是棱长为1的正方体的内接正四棱锥，所以此正四棱锥的体积v=14=cm3，由图可得正四面体的棱长是，所以表面积s=4=2cm 2故答案为：；2点评：本题考查了正方体的内接正四棱锥的体积、表面积，解题的关键是由三视图正确还原几何体，并求出几何体中几何元素的长度，考查空间想象能力12（6分）设实数x，y满足，则动点p（x，y）所形成区域的面积为12，z=|x2y+2|的取值范围是0，18考点：简单线性规划 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：由题意作出其平面区域，从而利用三角形的面积公式求面积，再由z=|x2y+2|的几何意义是阴影内的点到直线x2y+2=0的距离的倍求其取值范围，从而解得解答：解：由题意作出其平面区域，可知a（4，8），b（2，2）；故动点p（x，y）所形成区域的面积s=4（4+2）=12；z=|x2y+2|的几何意义是阴影内的点到直线x2y+2=0的距离的倍；故0|x2y+2|428+2|=18；即0z18；故答案为：12，0，18点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题13（4分）已知点p是双曲线y2=1上任意一点，过点p分别作两渐近线的垂线，垂足分别为a、b，则线段|ab|的最小值为考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设p（m，n），则n2=1，求出双曲线的渐近线方程，求得p到渐近线的距离，由渐近线的倾斜角结合条件可得apb=180120=60，运用余弦定理，可得|ab|的表达式，化简整理，再由双曲线的性质，即可得到最小值解答：解：设p（m，n），则n2=1，双曲线y2=1的渐近线方程为y=x设|pa|=，|pb|=，由于aob=120，则apb=180120=60，由余弦定理可得|ab|2=|pa|2+|pb|22|pa|pb|cos60，即有|ab|2=+2=（1+m2）（当m=0时取得等号），则有|ab|的最小值为故答案为：点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式和余弦定理的运用，属于中档题14（4分）已知实数x、y满足4x2+y2xy=1，且不等式2x+y+c0恒成立，则c的取值范围是（，+）考点：一元二次不等式的解法 专题：综合题；不等式的解法及应用分析：由4x2+y2xy=1，得出2x+y=，再根据不等式2x+y+c0恒成立，得出c（2x+y）=；利用基本不等式4x2+y222xy，求出xy，代入上式，求出c的取值范围解答：解：4x2+y2xy=1，（2x+y）2=1+5xy，2x+y=；又不等式2x+y+c0恒成立，2x+yc；令c，得c；又4x2+y222xy=4xy，当且仅当2x=y时“=”成立，4xyxy1，即xy；c=；c的取值范围是（，+）故答案为：（，+）点评：本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目15（4分）如图，圆o为rtabc的内切圆，已ac=3，bc=4，ab=5，过圆心o的直线l交圆o于p、q两点，则的取值范围是7，1考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用；直线与圆分析：以o为坐标原点，与直线bc平行的直线为x轴，与直线ac平行的直线为y轴，建立直角坐标系，设abc的内切圆的半径为r，运用面积相等可得r=1，设出圆的方程，求得交点p，q，讨论直线的斜率k不存在和大于0，小于0的情况，运用向量的坐标运算，结合数量积的坐标表示和不等式的性质，计算即可得到范围解答：解：以o为坐标原点，与直线bc平行的直线为x轴，与直线ac平行的直线为y轴，建立直角坐标系，设abc的内切圆的半径为r，运用面积相等可得，=r（3+4+5），解得r=1，则b（3，1），c（1，1），即有圆o：x2+y2=1，当直线pq的斜率不存在时，即有p（0，1），q（0，1），=（3，3），=（1，0），即有=3当直线pq的斜率存在时，设直线l：y=kx，（k0），代入圆的方程可得p（，），q（，），即有=（3，1），=（1，+1），则有=（3）（1）+（1）（+1）=3+，由1+k21可得04，则有33+1同理当k0时，求得p（，），q（，），有3，可得73+3综上可得，的取值范围是7，1故答案为：7，1点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查向量的坐标运算，同时考查直线和圆联立求交点，考查不等式的性质，属于中档题三、解答题（第16题至第19题，每题15分；第20题14分，共74分）16（15分）如图，在abc中，d为ab边上一点，da=dc，已知b=，bc=1（）若abc是锐角三角形，dc=，求角a的大小；（）若bcd的面积为，求边ab的长考点：正弦定理 专题：解三角形分析：（）在bcd中，由正弦定理得到bdc，又由da=dc，即可得到a；（）由于bcd面积为 ，得到 bcbdsin =，得到bd，再由余弦定理得到cd2=bc2+bd22bcbdcos ，再由da=dc，即可得到边ab的长解答：解：（）在bcd中，b=，bc=1，dc=，由正弦定理得到：，解得sinbdc=，则bdc=或abc是锐角三角形，可得bdc=又由da=dc，则a=（）由于b=，bc=1，bcd面积为，则bcbdsin=，解得bd=再由余弦定理得到cd2=bc2+bd22bcbdcos=1+2=，故cd=，又由ab=ad+bd=cd+bd=，故边ab的长为：点评：本题考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形，属于中档题17（15分）已知数列an的前n项和为sn，满足sn+2=2an（nn*）（）求数列an的通项公式；（）令bn=log2an，tn=+，求满足tn的最大正整数n的值考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（）由数列递推式求得首项，取n=n1得另一递推式，作差后可得数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（）由bn=log2an求得bn，然后利用错位相减法求得tn，作差判断出tn为递增数列，再由数列的函数特性求得满足tn的最大正整数n的值为6解答：解：（）由sn+2=2an（nn*）当n=1时，求得a1=2，当n2时，sn1=2an12，两式作差得：an=2an2an1，即an=2an1（n2），数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，则；（）bn=log2an=，tn=+=，得：=令f（n）=，则f（n+1）f（n）=，f（n）为增函数，又f（6）=2，满足tn的最大正整数n的值为6点评：本题考查了等比关系的确定，考查了错位相减法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题18（15分）等腰梯形abcd，abcd，deab，cfab，ae=2，沿de，cf将梯形折叠使a，b重合于a点（如图），g为ac上一点，fg平面ace（）求证：aeaf；（）求dg与平面ace所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：（i）由fg平面ace，可得fgae，由cfaf，cfef，可得cf平面aef，可得cfae，ae平面acf，即可证明；（ii）如图所示，建立空间直角坐标系则e（0，0，0），a，d（0，0，2），g设平面eac的法向量为=（x，y，z），则，设dg与平面ace所成角为，利用sin=即可得出解答：（i）证明：fg平面ace，fgae，cfaf，cfef，afef=f，cf平面aef，cfae，又fgcf=f，ae平面acf，aeaf；（ii）解：如图所示，建立空间直角坐标系则e（0，0，0），a，d（0，0，2），利用三角形中位线定理与等腰直角三角形的性质可得：g=，=，=设平面eac的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，解得x=1，z=设dg与平面ace所成角为则sin=点评：本题考查了空间线面面面位置关系的判定及其性质、空间角的求法、等腰直角三角形的性质、三角形的中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（15分）已知抛物线c：y2=2px（p0）上的点m到直线l：y=x+1的最小距离为点n在直线l上，过点n作直线与抛物线相切，切点分别为a、b（）求抛物线方程；（）当原点o到直线ab的距离最大时，求三角形oab的面积考点：抛物线的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设y=x+b与抛物线y2=2px（p0）相切，且与l：y=x+1的最小距离为，求出b，再将直线方程与抛物线方程联立，利用=0，即可求抛物线方程；（）当原点o到直线ab的距离最大时，求出直线ab的方程，即可求三角形oab的面积解答：解：（）设y=x+b与抛物线y2=2px（p0）相切，且与l：y=x+1的最小距离为，则=，b=或（舍去），y=x+与抛物线y2=2px联立，可得x2+（12p）x+=0，=（12p）24=0，p=1或p=0（舍去），抛物线方程为y2=2x；（）设a（x1，y1），b（x2，y2），n（x0，y0），则过点a的切线方程为yy1=x+