对数学建模题目难度预测.doc

对数学建模题目难度预测摘要本题的目的是通过对数学建模题目难度进行预测，进而对高校数学建模培训起到一定意义上的指导作用。本题解决方案是以难度趋势为突破口，利用层次分析法评价得到相关数据，建立数学模型，定性预测未来一段时间内数学建模难度的变化。建模题难度从单方面评定不是很有意义，为此我们将数学建模的难度分解到数据量、专业度、程序量、复杂度这四个方面的指标，通过这四个方面的数据对数学建模开办20年来的难度进行间接地衡量。由于数据量庞大,我们首先对时间较早的题目的数据进行不均匀采样，对近些年的题目的数据进行全部采样，共选取1992年到2012年中17年的题目，利用层次分析法进行处理，得到的权向量即为这17年题目的数据量、专业度、程序量、复杂度等的大小。结合样本估计总体的思想，利用线性回归得到得到数学建模题目的数据量、专业度、程序量、复杂度都在不断增大的结论。其次通过查阅资料，运用统计学的，对历年题目的方法使用频率进行了统计，结果表明，优化的相关内容及方法所占比重最大，图论、概率、统计等也是主流内容。但仅凭借方法的使用频率来评价方法的重要性较为片面，故在模型改进中，我们运用模糊综合评价，从方法使用频率、难易程度、引用广度等三个方面进行评价，得到方法的重要性排序：概率微积分与差分优化统计图论评判最后，我们根据以上预测与评价结果对建模培训给出了一些建议。关键词：难度分解、不均匀采样、层次分析法、趋势评估一、问题提出：1.1 背景知识概述：近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。建模题目的难度预测，有助于提高高校人才培养的针对性与适应性，对高校建模培训具有指导意义。1.2 要解决的问题:1.2.1根据以往数学建模数据，对未来一段时间内，数学建模题目的难度趋势将进行评价和预测。1.22根据这些题目常用的建模方法统计，对常用的建模方法重要性进行排序。1.2.3对建模培训的内容给出建议报告。二、基本假设： 2.1假设1试题难度由数据量、专业度、程序量、复杂度这四个方面指标共同决定，以题目难度作为评价总指标；2.2 假设2在建模比赛中，越接近现在的试题越具有代表性;2.3假设3数学建模题目难度变化规律总体上呈线性变化，忽略“突变”因素；2.4假设4用层次分析法对历年实体的评估都是合理的2.5假设5某种方法的使用频率决定其在建模比赛中的重要程度。三、建立模型： 3.1模型数据准备对建模题目难度进行预测，需要以长期的数学建模数据做为依据。本文采集的数据主要取自数学建模官方网站以及CNKI中对数学建模研究的学报。3.2模型建立方法3.2.1利用层次分析法评价题目3.2.2统计各个方法的使用频率3.2.3使用模糊综合评价法评估重要性详细叙述模型、变量、参数代表的意义和满足的条件及建模的思想；3.3参数设定I方法重要性分解集J建模方法集A1复杂度A2专业度A3程序量A4数据量B评价矩阵R1微分法与差分R2评判R3 概率R4 优化R5 图论R6 统计四、模型求解：4.1建模难度相关数据求解4.1.1复杂度求解对1992年到2012年中所采样的17年题目复杂度数据进行处理，得到如下评价矩阵： 用Matlab处理归一化得到如下数据：0.0085 0.0131 0.0119 0.0194 0.0153 0.0387 0.0583 0.0362 0.0652 0.0388 0.0411 0.0499 0.0612 0.0914 0.1068 0.1478 0.1964将所得数据绘制成表格年份199219941996199820002001200220032004复杂度0.00850.01310.01190.01940.01530.03870.05830.03620.0652年份20052006200720082009201020112012复杂度0.03880.04110.04990.06120.09140.10680.14780.1964得到如下复杂度-年份曲线图线性拟合后得到：4.1. 2专业度求解对1992年到2012年中所采样的17年题目复杂度数据进行处理，得到如下评价矩阵用Matlab处理归一化得到如下数据：0.0126 0.0112 0.0091 0.0179 0.0216 0.0354 0.0397 0.0195 0.0438 0.0473 0.0456 0.0727 0.1004 0.1205 0.1220 0.1220 0.1588 将所得数据绘制成表格年份199219941996199820002001200220032004专业度0.01260.01120.00910.01790.02160.03540.03970.01950.0438年份20052006200720082009201020112012专业度0.04730.04560.07270.10040.12050.1220.1220.1588得到如下复杂度-年份曲线图线性拟合后得到：4.1.3程序量求解对1992年到2012年中所采样的17年题目复杂度数据进行处理，得到如下评价矩阵用Matlab处理归一化得到如下数据：0.0090 0.0130 0.0136 0.0203 0.0396 0.0795 0.0631 0.0375 0.0758 0.0619 0.0629 0.0440 0.0632 0.0791 0.0449 0.1191 0.1734将所得数据绘制成表格年份199219941996199820002001200220032004程序量0.0090.0130.01360.02030.03960.07950.06310.03750.0758年份20052006200720082009201020112012程序量0.06190.06290.0440.06320.07910.04490.11910.1734得到如下程序量-年份曲线图线性拟合后得到：4.1.4数据量求解对1992年到2012年中所采样的17年题目复杂度数据进行处理，得到如下评价矩阵用Matlab处理归一化得到如下数据：0.0086 0.0249 0.0134 0.0154 0.0463 0.0196 0.0160 0.0331 0.0285 0.0479 0.0530 0.0634 0.0669 0.0922 0.1301 0.1027 0.2380将所得数据绘制成表格年份199219941996199820002001200220032004数据量0.00860.02490.01340.01540.04630.01960.0160.03310.0285年份20052006200720082009201020112012数据量0.04790.0530.06340.06690.09220.13010.10270.238得到如下数据量-年份曲线图线性拟合后得到：4.2建模难度评价及预测将图1、图2、图3、图4叠加后得到如下曲线图。可进一步可得到结论：数学建模难度大致呈逐年上升趋势4.3统计建模方法4.3.1从题目来源上分析：为了细致的了解大学生数学建模竞赛的历年题目，我们首先对其题目的来源进行了分析我们针对从1992年到2012年所有的A、B题题目来源进行了分析与统计。从这总共44各题目的实际意义方面分析来说,大体上可以分为国际大事、国际关注、社会热点、社会问题、国家项目、工业问题、国内大事、行业问题八个大类。以下是历年题目从属于这八大类的次数统计: 序号题目来源次数序号题目来源次数1国际大事25社会热点82国际关注36社会问题53国家项目37工业问题104国内大事38行业问题10其中：在表格的左半边，这些关乎国家以及国际上大事的题目总共有11个，占到了总数的25%,而在表格的右半边，这些贴近生活，与人们的生活息息相关的问题总共达到了33个，达到了总数的75%。可见大学生数学建模竞赛的试题总体上是贴近生活的。4.3.2从问题的解决方法上分析 以下是各个赛题的解法对照表：方法相关赛题方法数使用总数优化概率模型2000a、2002b、2005b、2009b1829组合优化1992b、1998b、2000b规划1993a分步优化处理2007b数值模拟2004b、2005b、2009b混合整数规划1999b、2005b蒙特卡罗法2001a随机规划2005a、2005b、2009b单目标决策2002b动态规划1994a、1995b、2007b、2009b组合数学1994b非线性规划1995a、1996b、1997a、2000b、2001b、2002a、2004b、2006a、2010a线性规划1995a、1998a、2004a、2004b、2005b、2006a整数规划1993b、2003b、2005b、2006a、2009b、0-1规划多目标规划1998a、2001b、2006a、2007b计算机仿真优化2009b、1999a、2004a二次规划2000b评判Fisher判别2000a611综合评价方法2001b、2002b、2005a、2006b、2008b、2010b模糊数学方法2002b模糊规划1998a模式识别2000a层次分析1993b、2009b、2010bFisher判别2000a概率线性目标函数的多约束的非线性规划问题2003b57随机模拟1997b、排队论1995b、2001b、2009b随机优化1999a满意度函数2005b线性目标函数的多约束的非线性规划问题2003b图论距离矩阵2007b513最短路算法2000b、2007b网络流2005b、2006a运输问题2000b、2003b图论1993b、1994a、1994b、1995b、1997b、1998b、1999b、2004a、2007b统计回归分析1992a、2004a、2005a、2006b、2007a、2008b816数据拟合1992a、1993a、2000a、2003a、2004b、2005a、2006b、2010a数据收集处理2010b曲线拟合2001a统计分析2000a、2004a、2008b数据处理2004a、2005a、2006a、2007a插值1994a、2003a、2005a、2006b抽样分析2005b微分与差分数据拟合1992a、1993a、2000a、2003a、2004b、2005a、2006b、2010a414数据收集处理2010b曲线拟合2001a微元分析法2009a差分方程2003a、2005a、2007a微分方程1996a、2003a、2005a、2006b、2007a2002a、2009a、2010a其他时间序列分析2003a、2005a、2006b、2010b44灰色预测2003a、2005a、2006b、2008b4人工神经网络2000a、2003a2枚举法1999b1从以上分析可以看出：历年试题主要以优化，统计，评判为主，再在其中穿插一些其他运筹知识，如：图论、概率等，以及其他离散数学，组合数学等相关知识。 4.4常用的建模方法重要性排序。针对以上我们对信息的整合，我们做出了如下统计：首先我们对各个小方法数目进行了统计：方法大类数量所占比重微积分与差分48.69%评判613.04%概率510.86%优化1839.13%图论510.86%统计48.69%其他48.69%总和461在大学生数学建模竞赛中所使用的各种小方法所隶属的大方法中，优化所包含的小方法最多，占到了总数的39.13%。其次是占总数13.04%的评判，再次之则是10.86%的统计，最后是均占总数8.69%的统计、图论和微积分与差分。由此可见优化是在数学建模竞赛中所使用方法分支最多的。由此我们可以到的到方法数量从大到小的的排序：优化评判概率图论=统计=微积分与差分以下是每种大方法的使用次数统计：方法大类使用次数所占比重微积分与差分140.138614评判110.108911概率70.069307优化290.287129图论130.128713统计160.158416其他110.108911总和1011由此可见：在大学生数学建模竞赛所有方法的总共使用次数101次之中，优化所占的比重最大，达到了总数的28.71%。对所有方法的使用次数占总数的百分比进行从大到小的排序，得到以下结果（由于其他各项所占比重过小，故归为一类）：优化统计微积分与差分图论评判概率其他由于方法的使用频率的高低相对在这大学生数学建模竞赛中而言，决定着方法的重要程度。换言之，倘若一方法使用频率先比其他较高，则该方法在大学生数学建模竞赛中相比其他方法也更具有重要性。于是得到了重要性排序：优化统计微积分与差分图论评判概率其他4.3.3模型改进针对上面的模型，单纯从方法的使用频率、难易程度、方法的重要性较为片面，我们决定从方法的使用频率、难易程度、方法的重要性、引用广度这三方面对其进行模糊综合评价运用层次分析法得到评价综合矩阵计算后得权向量：对方法的使用频率综合评价后得到评价矩阵：微分与差分：评判：概率：优化：图论：统计：由于： 由归一化后得：微积分与差分：评判：概率：优化：图论：统计：由此可以得到建模方法重要性排序：概率微积分与差分优化统计图论评判4.5对建模培训的内容给出建议报告。为进一步指导数学建模培训,使数学建模教学得到更加科学高效地组织开展,我们对历年建模题目进行了评估统计,并根据结果呈现的趋势对建模难度从四个方面进行了预测,对方法的重要性进行了评价。从整体上看,数学建模的题目来源广泛,涉及社会科学、工业工程、生物医学、运输调度等多类问题。题目呈现出综合性、实用性、创新性等特点。为此，我们以层次分析法为主线，对影响实体难度的四个方面进行了分析评估。结果表明：随着时代的发展、科技的进步，数学建模的难度随数据量、专业要求程度、复杂程度、计算机程序量增加而增加。这些指标的增长顺应了时代发展的潮流，也使得数学建模的题目更加富有挑战性。建模方法主要以优化模型、概率统计模型、图论、微分方程等内容为主。针对以上对建模题目的分析，及当前数学建模培训中的现状，我们给出以下建议：1、 培训期间，应该重点对优化、统计等数学建模重点模型方法、内容的教授上来。这些模型方法使用范围较广，理论相对基础，容易在短期内激发学生建模兴趣、从而取得较好的教学效果。2、 培养学生运用计算机软件进行数据统计、数据处理的能力，使学生应对庞大的数据量能够做到心中有数，从容地去面对大量数据。同时对MATLAB、SPASS/SAS、LINGO/LINDO、MATHMATICA、MAPLE等软件，深入浅出地讲解，以引导学生较为深入地学习这些软件为目的，以提高某软件求解的能力3、 指导学生高效地进行资料的搜集、整合。推荐一些较为权威的学术资料源。4、 论文是展现学习成果的最主要方式，所以应加大对这方面的培训指导，从中发现学生存在的问题，并及时给出修改建议。5、 引导学生关注科学前沿和社会生产生活中的实际问题，让学生在扩充知识面的同时，提高学生对生疏的问题的思考能力，使学生易于接受新知识、新文化求解、算法的主要步骤；结果分析与检验：（含误差分析）；模型改进: 针对第二问，单纯从方法的使用频率、难易程度、方法的重要性较为片面，我们决定从方法的使用频率、难易程度、方法的重要性、引用广度这三方面对其进行综合评价运用层次分析法得到评价综合矩阵模型评价：我们分别通过层次分析法与模糊综合评价法对历年赛题与所用方法进行了分析，得出了将来赛题的进展趋势与方法的重要性排序，结果较为合理，有一定的参考价值。但这两种方法随力求真实客观，但受方法本身限制，结果中仍然含有一定的主观因素。参考文献： 编号(美)米尔斯切特|译者：刘来福，数学建模方法与分析(原书第4版)，北京：机械工业出版社，2013年.附件：2 （1）分工组长：梁云跃资料搜集：唐江华模型建立：梁云跃、杨东旭模型求解：梁云跃、杨东旭写作：唐江华、杨东旭（2）需把期间的计划时间安排和执行进度第一天（相当于比赛的第一天）选题：B题讨论题目思路方法，商讨建模可能涉及数据，明确分工，拟定前三天工作计划，搜集并整理高校数学建模开题报告，搜集高校数学建模培训重点内容，为第三问作准备；第二天（相当于比赛的第二天）对数据进行分类整合，完成第一题，建立模型，第三天（相当于比赛的第二天晚上）查漏补缺、攻克难点，完成第二题，讨论第三题的思路及论文拟写方法第四天（相当于比赛的第三天）对模型求解，撰写论文第五天（相当于比赛的第三天晚上）修改论文和摘要，核定数据，完成定稿，撰写总结。（3）实际所做工作以层次分析法为主线解题；搜集并整理高校数学建模开题报告，搜集高校数学建模培训重点内容；数据收集、处理、统计、归类；（4）总结整体而言，我组分工合理，配合密切，积极探索思路方法，但这期间也暴露出了一些不足，由于我们的资料整合不到位，查找到的资料未能得到有效利用，导致思维