2014-2015年高中数学选修2-1-2课时提升作业(十七) 2.4.1.docVIP

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十七)抛物线及其标准方程(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分) 1.(2014长春高二检测)抛物线y=2x2的焦点坐标是()A.(1,0)B.0,14C.14,0D.0,18【解析】选D.由y=2x2,得x2=12y,所以p=14,故焦点坐标为0,18.2.(2014重庆高二检测)抛物线y2=12x的焦点到准线的距离为()A.18B.14C.12D.1【解析】选B.由抛物线的方程y2=12x,x k b 1 . c o m故p=14,所以焦点到准线的距离为14.【变式训练】(2014太原高二检测)抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为 ()A.14B.-14C.4D.-4【解析】选B.由y=ax2,得x2=1ay,故准线方程为y=-14a,所以-14a=1,得a=-14.3.(2013四川高考)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-y23=1的渐近线的距离是 ()A.12B.32C.1D.3【解题指南】先求得抛物线的焦点坐标,然后求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点是(1,0),双曲线x2-y23=1的一条渐近线方程为3x-y=0,根据点到直线的距离公式可得d=32,故选B.【变式训练】(2013四川高考)抛物线y2=8x的焦点到直线x-3y=0的距离是 ()A.23B.2C.3D.1【解析】选D.抛物线y2=8x的焦点为(2,0),根据点到直线的距离公式可得d=2-02=1,故选D.4.在同一坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(ab0)的曲线大致是()【解析】选D.a2x2+b2y2=1,可化为x21a2+y21b2=1,因为ab0,所以1a20)上的点,若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为()A.1B.1或4C.1或5D.4或5【解析】选B.因为点M到对称轴的距离为4,所以点M的坐标可设为(x,4)(或(x,-4),又因为M到准线的距离为5,所以42=2px,x+p2=5,解得x=4,p=2或x=1,p=8.6.(2014白山高二检测)当a为任意实数时,直线(2a+3)x+y-4a+2=0恒过定点P,则过点P的抛物线的标准方程是()A.x2=32y或y2=-12xB.x2=-32y或y2=12xC.y2=32x或x2=-12yD.y2=-32x或x2=12y【解析】选C.把直线方程(2a+3)x+y-4a+2=0转化为(3x+y+2)+a(2x-4)=0,由3x+y+2=0,2x-4=0,得x=2,y=-8,所以定点P的坐标为(2,-8),所以过点P的抛物线的标准方程是y2=32x或x2=-12y.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014邯郸高二检测)在抛物线y2=2px(p0)上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值是_.【解析】由抛物线的定义知4+p2=5,所以得p=2.答案:28.(2014陕西高考)抛物线y2=4x的准线方程为.【解题指南】根据抛物线y2=2px的准线方程为x=-p2可以得到所求准线方程.【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线y2=4x的准线方程为x=-1.答案:x=-19.(2012陕西高考)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.【解析】建立适当的直角坐标系,如图所示,设抛物线方程为x2=-2py(p0),则点(2,-2)在此抛物线上,代入可求出抛物线的方程是x2=-2y,当y=-3时,x2=-2(-3)=6,所以x=6,水面宽是2米.答案:26三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过x2a2-y2b2=1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点(32,6),求抛物线和双曲线的方程.【解析】设抛物线方程为:y2=2px(p0),将点(32,6)代入方程得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.准线方程为x=-1,由此知道双曲线方程中:c=1;焦点为(-1,0),(1,0),点(32,6)到两焦点距离之差为2a=1,所以双曲线的方程为x214-y234=1.11.(2014兰州高二检测)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l,AC,已知以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点.若BFD=90,ABD的面积为42,求p的值及圆F的方程.【解析】因为以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,所以BFD为等腰直角三角形,故斜边|BD|=2p,又点A到准线l的距离d=|FA|=|FB|=2p,所以SABD=42=12|BD|d=122p2p,所以p=2. 所以圆F的圆心为(0,1),半径r=|FA|=22,圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.点P到点F(4,0)的距离比它到直线l:x=-6的距离小2,则点P的轨迹方程为 ()A.y2=16xB.y2=34xC.y2=16xD.y2=4x【解析】选C.依题意,点P到点F(4,0)的距离等于点P到x=-4的距离,故P点的轨迹是以F(4,0)为焦点,x=-4为准线的抛物线,且p2=4,焦点在x轴的正半轴上,所以方程为y2=16x.2.(2014长春高二检测)已知F是抛物线y2=8x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=12,则线段AB中点到y轴的距离为()A.16 B.6 C.8 D.4【解析】选D.设A,B到准线的距离为d1,d2,则由抛物线的定义得,d1+d2=12,所以线段AB中点到准线的距离为6,所以线段AB中点到y轴的距离为6-2=4.w w w .x k b 1.c o m3.(2013天津高考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB的面积为3,则p=()A.1B.32C.2D.3【解题指南】画出图示,确定抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标,表示出AOB的面积,然后求解.【解析】选C.如图,A,B两点是双曲线的渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线的交点,其坐标分别为A(-p2,bp2a),B(-p2,-bp2a),故AOB的面积为bp24a=3,又因为双曲线的离心率为2,即c=2a,由b2=c2-a2得b=3a,所以p=2.【变式训练】(2014重庆高二检测)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,P,Q为抛物线上两点,若PQF为边长为2的正三角形,则p的值是()A.23B.33C.31D.231【解析】选A.由题意得Fp2,0,设Py122p,y1,Qy222p,y2(y1y2).由抛物线定义及|PF|=|QF|,得y122p+p2=y222p+p2,所以y12=y22,所以y1=-y2.又|PQ|=2,因此|y1|=|y2|=1,所以点P12p,y1.http:/ww w.xkb1. com又点P在抛物线上,于是由抛物线的定义得|PF|=12p+p2=2,所以得p=23.4.(2013新课标全国卷)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为C上一点,若|PF|=42,则POF的面积为()A.2B.2C.23D.4【解析】选C.设P(x1,y1),则|PF|=x1+p2=x1+2=42,解得x1=32.因为P为C上一点,则y12=42x1=4232=24,得|y1|=26,所以SPOF=12226=23.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013江西高考)抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.来源:Z*xx*k.Com【解题指南】A,B,F三点坐标都能与p建立起联系,分析可知ABF的高为p,可构造p的方程解决.【解析】由题意知ABF的高为p,将y=-p2代入双曲线方程得A,B两点的横坐标为x=3+p24,因为ABF为等边三角形,所以p3+p24=tan60,从而解得p2=36,即p=6.答案:66.已知定点A(0,1),直线l1:y=-1,记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为.【解析】根据条件可知,动圆的圆心C到点(0,1)的距离与到直线y=-1的距离相等,所以满足抛物线的定义,这里p2=1,焦点为(0,1),所以动点C的轨迹方程为x2=4y.答案:x2=4y三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2013福建高考)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为10,0,点C的坐标为0,10,分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,A9和B1,B2,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点PiiN*,1i9.求证:点PiiN*,1i9都在同一条抛物线上,并求抛物线E的方程.【解析】依题意,过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,因为Bi(10,i),所以直线OBi的方程为y=i10x,设Pi坐标为(x,y),由x=i,y=i10x,得:y=110x2,即x2=10y,所以Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.8.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程.【解析】设抛物线的方程为y2=2px(p0),则其准线为x=-p2.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|+|BF|=8,所以x1+p2+x2+p2=8,即x1+x2