江苏省南京市江宁高级中学高三数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2012-2013学年江苏省南京市江宁高级中学高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1（5分）已知i是虚数单位，复数z=，则等于1i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念专题：计算题分析：利用两个复数代数形式的除法，求出复数z，再根据共轭复数的定义求出它的共轭复数解答：解：复数z=1+i，则复数z的共轭复数等于=1i，故答案为：1i点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（5分）“ac=b2”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”之一）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题分析：由a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2=ac；对于充分性，可以举一个反例，满足b2=ac，但a、b、c不成等比数列，从而得到正确的选项解答：解：若a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得：b2=ac；若b=0，a=2，c=0，满足b2=ac，但a、b、c显然不成等比数列，则“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件故答案为：必要非充分；点评：本题主要考查等比数列的等比中项的性质和充要条件的判断在应用a，b，c成等比数列时，一定要考虑a，b，c都等于0的特殊情况，这是解题的关键所在3（5分）已知2x1+1，2x2+1，2x3+1，2xn+1的方差是3，则x1，x2，x3，xn的标准差为考点：极差、方差与标准差专题：计算题分析：已知2x1+1，2x2+1，2x3+1，2xn+1的方差是3，根据方差的计算公式即可求得数据x1，x2，x3，xn的方差，从而得出标准差解答：解：设x1，x2，x3，xn的方差为s2，则2x1+1，2x2+1，2x3+1，2xn+1的方差为4s2=3，则标准差s=故答案为：点评：本题主要考查了方差的计算公式，是需要熟记的内容4（5分）（2012长宁区二模）从集合a=1，1，2中随机选取一个数记为k，从集合b=2，1，2中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为考点：古典概型及其概率计算公式专题：计算题；概率与统计分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件ka=1，1，2，bb=2，1，2，得到（k，b）的取值所有可能的结果有：（1，2）；（1，1）；（1，2）；（1，2）；（1，1）；（1，2）；（2，2）；（2，1）；（2，2）共9种结果而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，直线不过第四象限的概率p=，故答案为 点评：古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、体积的比值得到，属于基础题5（5分）如图程序运行结果是13考点：伪代码专题：阅读型分析：根据i的初始值为4，循环条件是i6，可知循环次数，于是可以逐步按规律计算出a的值解答：解：由题设循环体要执行二次，第一次循环结束后a=a+b=3，b=a+b=5，第二次循环结束后a=a+b=8，b=a+b=13，故答案为：13点评：本题考查循环结构，解决此题关键是理解其中的算法结构与循环体执行的次数，然后依次计算得出结果，属于基础题6（5分）已知等差数列an的公差不为零且a3，a5，a8依次成等比数列，则=2考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和专题：计算题分析：由等差数列的三项a3，a5，a8依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用等差数列的性质化简，根据d不为0，得到a1=2d，然后将所求的式子分子利用等差数列的前n项和公式化简，分母利用等差数列的通项公式化简，将a1=2d代入，整理约分后即可求出值解答：解：等差数列an的a3，a5，a8依次成等比数列，a52=a3a8，即（a1+4d）2=（a1+2d）（a1+7d），整理得：a1d=2d2，d0，a1=2d，则=2故答案为：2点评：此题考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键7（5分）（2007上海）已知l1：2x+my+1=0与l2：y=3x1，若两直线平行，则m的值为考点：两条直线平行的判定专题：计算题分析：两直线平行，则方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，接解出m的值解答：解：两直线平行，故答案为点评：两直线平行时，直线方程中，一次项的系数对应成比例，但此比例不等于对应的常数项之比8（5分）在abc中，内角a、b、c所对的边分别是a、b、c，若c=4，b=7，bc边上的中线ad的长为，则a=9考点：解三角形专题：解三角形分析：根据余弦定理分在两个三角形abd、abc中表示出角b的余弦值，将ab=4，ac=7，ad=，代入即可得到答案解答：解：由题意知，bd=bc，再由余弦定理可得 cosb=，将ab=4，ac=7，ad=，bd=bc，一并代入上式，即可求得bc=9，故答案为 9点评：本题主要考查余弦定理的应用，余弦定理在解三角形中应用非常广泛，要熟练掌握，属于中档题9（5分）已知数列an是等差数列，o为坐标原点，平面内三点a、b、c共线，且=a1006+a1007，则数列an的前2012项的和s2012=1006考点：等差数列的前n项和专题：计算题分析：由已知得a1006+a1007=1，而s2012=1006（a1+a2012）=1006（a1006+a1007），代值即可解答：解：平面内三点a、b、c共线，且=a1006+a1007，a1006+a1007=1故s2012=1006（a1+a2012）=1006（a1006+a1007）=1006故答案为：1006点评：本题为等差数列的性质和向量知识的结合，得出a1006+a1007=1是解决问题的关键，属基础题10（5分）（2012南京二模）一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点p为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器当x=6cm时，该容器的容积为48cm3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据图形，在等腰pab中算出高pe=5，再由勾股定理得出四棱锥的高po=4，最后根据锥体体积公式，算出四棱锥pabcd的体积，即为该容器的容积解答：解：等腰pab中，ab=x=6，高pe=5四棱锥的高po=4由此可得，四棱锥pabcd的体积为v=s正方形abcdpo=624=48即得该容器的容积为48cm3故答案为：48点评：本题给出平面图形，求翻折成的正四棱锥的体积，着重考查了正四棱锥的性质和锥体体积公式等知识，属于基础题11（5分）（2012洛阳模拟）abc外接圆的半径为1，圆心为o，且，则=3考点：平面向量数量积的运算；向量的模专题：计算题分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到 ，得到bc为直径，故abc为直角三角形，求出三边长可得acb 的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值解答：解：，o，b，c共线，bc为圆的直径，abac，=1，|bc|=2，|ac|=，故acb=则=2cos=3，故答案为：3点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的充要条件、圆的直径对的圆周角为直角，求出abc为直角三角形及三边长，是解题的关键12（5分）（2008江苏二模）设点f1，f2分别为椭圆的左，右两焦点，直线l为右准线若在椭圆上存在点m，使mf1，mf2，点m到直线l的距离d成等比数列，则此椭圆离心率e的取值范围是考点：椭圆的简单性质；等比数列的性质专题：计算题分析：欲求椭圆离心率e的取值范围，关键是建立a，c之间的不等关系，设m（x，y）利用mf，mf，d成等比数列，得出=，由于m在椭圆上，故axa，即有1x/a1，从而得到不等关系11；解之即可得到e的取值范围解答：解：设m（x，y）；l为右准线；故mf=r=aex； mf=r=2ar=2a（aex）=a+ex；mf，mf，d成等比数列，故有：r2=dr，即有（aex）2=（a+ex）（aex）/e，化简得e（aex）=a+ex，故=，由于m在椭圆上，故axa，即有1x/a1，11；由于e10，故只需考虑不等式的左边，即考虑1，e（e+1）e1，e2+2e10，故得e，即e的取值范围为故答案为：点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、等比数列的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于中档题13（5分）（2013徐州模拟）设曲线y=（ax1）ex在点a（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1x）ex在点b（x0，y2）处的切线为l2若存在，使得l1l2，则实数a的取值范围为考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值域；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系专题：计算题分析：根据曲线方程分别求出导函数，把a和b的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为1，列出关于等式由解出，然后根据为减函数求出其值域即可得到a的取值范围解答：解：函数y=（ax1）ex的导数为y=（ax+a1）ex，l1的斜率为，函数y=（1x）ex的导数为y=（x2）exl2的斜率为，由题设有k1k2=1从而有a（x02x02）=x03得到x02x020，所以，又，另导数大于0得1x05，故在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为=；x0=1时取得最小值为1故答案为：点评：此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系14（5分）若实数a，b，c成等差数列，点p（1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为m，已知点n（3，3），则线段mn长度的最大值是考点：等差数列的性质；与直线关于点、直线对称的直线方程专题：等差数列与等比数列分析：由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，整理后与直线方程ax+by+c=0比较发现，直线ax+by+c=0恒过q（1，2），再由点p（1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为m，得到pm与qm垂直，利用圆周角定理得到m在以pq为直径的圆上，由p和q的坐标，利用中点坐标公式求出圆心a的坐标，利用两点间的距离公式求出此圆的半径r，线段mn长度的最大值即为m与圆心a的距离与半径的和，求出即可解答：解：a，b，c成等差数列，2b=a+c，即a2b+c=0，可得方程ax+by+c=0恒过q（1，2），又点p（1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为m，pmq=90，m在以pq为直径的圆上，此圆的圆心a坐标为（，），即a（0，1），半径r=|pq|=，又n（3，3），|an|=5，则|mn|max=5+故答案为：5+点评：此题考查了等差数列的性质，恒过定点的直线方程，圆周角定理，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，利用等差数列的性质得到2b=a+c，即a2b+c=0是解本题的突破点二.解答题（本大题共6小题，共90分）15（14分）如图，三棱柱abca1b1c1中，d、e分别是棱bc、ab的中点，点f在棱cc1上，已知ab=ac，aa1=3，bc=cf=2（1）求证：c1e平面adf；（2）若点m在棱bb1上，当bm为何值时，平面cam平面adf？考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）连接ce交ad于o，连接of因为ce，ad为abc中线，所以o为abc的重心，由此能够证明c1e平面adf（2）当bm=1时，平面cam平面adf在直三棱柱abca1b1c1中，先证出ad平面b1bcc1再证明当bm=1时，平面cam平面adf解答：解：（1）连接ce交ad于o，连接of因为ce，ad为abc中线，所以o为abc的重心，从而ofc1e（3分）of面adf，c1e平面adf，所以c1e平面adf（6分）（2）当bm=1时，平面cam平面adf在直三棱柱abca1b1c1中，由于b1b平面abc，bb1平面b1bcc1，所以平面b1bcc1平面abc由于ab=ac，d是bc中点，所以adbc又平面b1bcc1平面abc=bc，所以ad平面b1bcc1而cm平面b1bcc1，于是adcm（9分）因为bm=cd=1，bc=cf=2，所以rtcbmrtfcd，所以cmdf （11分）df与ad相交，所以cm平面adfcm平面cam，所以平面cam平面adf（13分）当bm=1时，平面cam平面adf（14分）点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力16（14分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知（1）求sina的值；（2）设，求abc的面积考点：解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值专题：综合题分析：（1）利用三角形的内角和，及二倍角的余弦公式，可求sina的值；（2）求a，sinc的值，再利用三角形的面积公式，可求abc的面积解答：解：（1）ca=，c=ba2a=bcos2a=cos（b）=sinb=12sin2a=ca=，sina=（2）b=，sinb=，sina=a=3sinc=sin（a+）=cosa=sabc=absinc=点评：本题考查二倍角公式，考查三角形面积的计算，考查正弦定理的运用，属于中档题17（14分）（2012天津）已知an是等差数列，其前n项和为sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，s4b4=10（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记tn=anb1+an1b2+a1bn，nn*，证明：tn+12=2an+10bn（nn*）考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式专题：计算题；证明题分析：（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项（2）先写出tn的表达式；方法一：借助于错位相减求和；方法二：用数学归纳法证明其成立解答：解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由条件a4+b4=27，s4b4=10，得方程组，解得，故an=3n1，bn=2n，nn*（2）证明：方法一，由（1）得，tn=2an+22an1+23an2+2na1； ；2tn=22an+23an1+2na2+2n+1a1； ；由得，tn=2（3n1）+322+323+32n+2n+2=+2n+26n+2=102n6n10；而2an+10bn12=2（3n1）+102n12=102n6n10；故tn+12=2an+10bn（nn*）方法二：数学归纳法，当n=1时，t1+12=a1b1+12=16，2a1+10b1=16，故等式成立，假设当n=k时等式成立，即tk+12=2ak+10bk，则当n=k+1时有，tk+1=ak+1b1+akb2+ak1b3+a1bk+1=ak+1b1+q（akb1+ak1b2+a1bk）=ak+1b1+qtk=ak+1b1+q（2ak+10bk12）=2ak+14（ak+13）+10bk+124=2ak+1+10bk+112即tk+1+12=2ak+1+10bk+1，因此n=k+1时等式成立对任意的nn*，tn+12=2an+10bn成立点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法并考察计算能力18（16分）已知三条直线l1：2xy+a=0（a0），l2：4x+2y+1=0和l3：x+y1=0，且l1与l2的距离是；（1）求a的值；（2）能否找到一点p同时满足下列三个条件：p是第一象限的点；点p到l1的距离是点p到l2的距离的；点p到l1的距离与点p到l3的距离之比是：？若能，求点p的坐标；若不能，请说明理由考点：两条平行直线间的距离；点到直线的距离公式专题：直线与圆分析：（1）把两直线的方程的一次项系数化为相同的，再利用条件以及两平行线间的距离公式求得a的值（2）设点p的坐标为（m，n），m0，n0，由点到直线距离公式，依据条件建立方程组求得m和n的值，即可得到满足条件的点的坐标从而得出结论解答：解：（1）直线l1：4x+2y2a=0（a0），l2：4x+2y+1=0，且l1与l2的距离是，=，解得 a=3（2）设点p的坐标为（m，n），m0，n0，若p点满足条件，则点p在与l1、l2平行的直线l：2xy+c=0上，解得 c=，或 c=，故有 2mn+=0，或2mn+=0若p点满足条件，由题意及点到直线的距离公式可得，=，化简可得|2mn+3|=|m+n1|，故有2mn+3=m+n1 或2mn+3=（m+n1）即 m2n+4=0，或3m+2=0（舍去）联立 2mn+=0 和 m2n+4=0解得 ，应舍去联立2mn+=0和 m2n+4=0解得 ，故点p的坐标为（，），故能找到一点p同时满足这三个条件点评：本题主要考查两平行线间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题19（16分）已知函数f（x）=lnxax（ar）（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a0时，求函数f（x）在1，2上最小值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性专题：综合题分析：（1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减求出单调区间；（2）分类讨论，确定函数的单调性，从而可确定函数的最值解答：解：（1）当a=2时，f（x）=lnxax，函数f（x）的定义域为（0，+），求导函数可得f（x）=2由f（x）0，x0，得0x由f（x）0，x0，得x故函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调减区间是（，+）（8分）（2）当1，即a1时，函数f（x）在区间1，2上是减函数，f（x）的最小值是f（2）=ln22a（10分）当2，即a时，函数f（x）在区间1，2上是增函数，f（x）的最小值是f（1）=a（12分）当12，即时，函数f（x）在1，上是增函数，在，2上是减函数又f（2）f（1）=ln2a，当时，最小值是f（1）=a；当ln2a1时，最小值为f（2）=ln22a（15分）综上可知，当0aln2时，函数f（x）的最小值是a；当aln2时，函数f（x）的最小值是ln22a（16分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，正确求导，确定分类标准是关键20（16分）（2008