（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程 第63课 抛物线 文.docVIP

第63课 抛物线(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修1-1p48例2改编)顶点在原点、对称轴是坐标轴且过点(-1，2)的抛物线的方程是.【答案】y2=-4x或x2=y【解析】设所求抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p0)，因为抛物线过点(-1，2)，所以4=2p或1=4p，解得p=2或p=，故所求抛物线的方程为y2=-4x或x2=y.2.(选修1-1p50习题5改编)顶点在原点、对称轴为坐标轴、焦点在直线2x-y+4=0上的抛物线的标准方程为.【答案】x2=16y或y2=-8x【解析】由焦点在直线2x-y+4=0上，令x=0，得y=4；令y=0，得x=-2，所以焦点坐标为(0，4)或(-2，0)，所以所求抛物线的方程为x2=16y或y2=-8x.3.(选修1-1p50练习2改编)若p(x0，4)是抛物线y2=-32x上一点，f是抛物线的焦点，则pf=.【答案】【解析】抛物线y2=-32x的准线方程为x=8，又点p(x0，4)在抛物线上，所以16=-32x0，解得x0=-，所以pf=+8=.4.(选修1-1p50练习4改编)在平面直角坐标系xoy中，抛物线x2=2py(p0)上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为.【答案】4【解析】根据抛物线定义可知，该点到准线的距离也为3，从而由1+=3得p=4，故焦点到准线的距离为4.1.抛物线的定义：平面内到一个定点f和一条定直线l(l不经过定点f)距离相等的点的轨迹是抛物线.定点f叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线.2.抛物线的标准方程：(1)焦参数为p，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是y2=2px(p0)；(2)焦参数为p，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程是y2=-2px(p0)；(3)焦参数为p，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程是x2=2py(p0)；(4)焦参数为p，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程是x2=-2py(p0).3.抛物线的简单几何性质如下表：标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形顶点(0，0)焦点准线x=-x=y=-y=对称轴y=0y=0x=0x=0离心率e=14.直线和圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离.这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线l：ax+by+c=0，圆锥曲线c：f(x，y)=0，由即将直线l的方程与圆锥曲线c的方程联立，消去y便得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(当然，也可以消去x得到关于y的一元二次方程)，通过一元二次方程解的情况判断位置关系，见下表：方程ax2+bx+c=0的解l与c的关系a=0b=0无解(含l是双曲线的渐进线)无公共点b0有一解(含l与抛物线的对称轴或与双曲线的渐近线平行)一个交点a00两个不等的解两个交点=0两个相等的解一个交点0)，因为抛物线过点(-3，2)，所以4=-2p(-3)或9=2p2，所以p=或.所以所求的抛物线的方程为y2=-x或x2=y，其准线方程分别为x=和y=-.【精要点评】确定抛物线方程的关键是要确定焦点位置与开口方向，解题时要考虑全面，注意对两种开口方向的讨论.变式1(2015陕西卷改编)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点，则抛物线的方程为.【答案】y2=4x【解析】抛物线y2=2px(p0)的准线方程是x=-，双曲线x2-y2=1的一个焦点f1(-，0).因为抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点，所以-=-，解得p=2.所以抛物线方程为y2=4x.变式2过抛物线y2=2px(p0)的焦点f作倾斜角为45的直线交抛物线于a，b两点，若线段ab的长为8，则抛物线的方程为.【答案】y2=4x【解析】由题意可知过焦点的直线方程为y=x-，由 x2-3px+=0，所以ab=8p=2.所以抛物线方程为y2=4x.抛物线的几何性质例2(2015南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线c：x2=4y的焦点为f，定点a(2，0)，若射线fa与抛物线c相交于点m，与抛物线c的准线相交于点n，则fmmn=.【思维引导】可考虑根据条件求出各个点的坐标，然后再求解比例的值，也可以数形结合使问题直观化，然后再求解.【答案】13【解析】方法一：由题意得f(0，1)，所以直线af的方程为+=1，将它与抛物线方程联立解得或依题意知交点在第一象限，故取m.准线方程为y=-1，故易求得点n(4，-1)，所以由三角形相似性质得=.(例2)方法二：如图，设点m到准线的距离为mb，则根据条件得=1.又因为f(0，1)，所以直线fa的斜率为k=-，从而sin anb=，即=，所以=.【精要点评】方法一是利用解析法求出点m的坐标的方式来研究的值，这是研究解析几何问题的基本手段；方法二是利用抛物线的定义来解题的，有效地利用了几何图形的性质，减少了运算量，是解析几何中减少运算量的一种基本方法.例3(1)已知m为抛物线y2=4x上一动点，f为抛物线的焦点，定点p(3，1)，求mp+mf的最小值.(2)给定抛物线y2=2x，设a(a，0)，a0，p是抛物线上的一点，且pa=d，试求d的最小值.【思维引导】第(1)题建立函数后无法求解，故考虑用几何意义来解决最值.第(2)题中d的值，受到p(x0，y0)坐标的影响，故可以考虑建立关于(x0，y0)函数来求解.(例3)【解答】(1)如图，过m作mn准线l，则mp+mf=mp+mn，根据图象可知，当m，n，p在同一条直线上时，mp+mf取得最小值，此时m，所以(mp+mf)min=1+3=4.(2)设p(x0，y0)(x00)，则=2x0，所以d=pa=.因为a0，x00，因此，当0a0，此时有x0=0，dmin=a；当a1时，1-a0，此时有x0=a-1，dmin=.【精要点评】(1)由于两个定点都在抛物线内部，一个是焦点，所以考虑用定义将到焦点的距离转化为到准线的距离d，此时mp+mf即变成了mp+d，显然最小值即为点p到准线的距离4.(2)抛物线上任意一点到一个定点的距离的最值问题，可以建立一个函数d=f(x0，y0)，再将x0或y0用抛物线方程所得的x0与y0的关系代换一个变量得到函数d=f(x0)或d=f(y0)，然后用函数方法求出最值.变式1已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，那么抛物线y2=4x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是.(变式1)【答案】2【解析】如图，pml1，pnl2，连接pf，由抛物线定义知pf=pn，当f，p，n三点共线时，pm+pn最小，最小值为点f到直线l1的距离，易求得这个距离为fm=2.变式2已知p为抛物线y2=4x上一个动点，q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点，那么点p到点q的距离与点p到抛物线的准线距离之和的最小值是.【答案】-1【解析】点p到抛物线准线的距离等于点p到抛物线焦点f(1，0)的距离.圆心坐标是(0，4)，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点q到抛物线焦点的距离的最小值是-1，这个值即为所求.抛物线中的综合问题例4在平面直角坐标系xoy中，抛物线c的顶点在原点，经过点a(2，2)，其焦点f在x轴上.(1)求抛物线c的标准方程；(2)求过点f，且与直线oa垂直的直线的方程；(3)设过点m(m，0)(m0)的直线交抛物线c于d，e两点，me=2dm，记d和e两点之间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式.【思维引导】前两小题属于基础题，较为简单；对于第(3)小题，要求d和e两点间的距离可先求出d，e两点的坐标，再求距离；也可借助向量来求解.【解答】(1)由题意，可设抛物线c的标准方程为y2=2px.因为点a(2，2)在抛物线c上，所以p=1.因此抛物线c的标准方程为y2=2x.(2)由(1)可得焦点f的坐标为，又直线oa的斜率为=1，故与直线oa垂直的直线的斜率为-1，因此所求直线的方程是x+y-=0. (3)方法一：如图，设点d和e的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，直线de的方程为y=k(x-m)，k0.(例4)将x=+m代入y2=2x，有ky2-2y-2km=0，解得y1，2=.由me=2dm知1+=2(-1)，化简得k2=.因此de2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(y1-y2)2=(m2+4m)，所以f(m)=(m0).方法二：设d，e.由点m(m，0)及=2，得t2-m=2，t-0=2(0-s).因此t=-2s，m=s2.所以f(m)=de=(m0).【精要点评】抛物线的综合问题与其他圆锥曲线的综合性质类似，因此可同其他圆锥曲线一样类似的处理抛物线中的一些问题.1.(2014镇江一模)如果双曲线-=1的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为.【答案】【解析】以双曲线的渐近线y=x为例.若与抛物线y=x2+1相切，联立方程组得x=x2+1，即x2-x+1=0，令=0，得=4，所以e=.2.若抛物线y2=2px(p0)的焦点与双曲线x2-y2=2的右焦点重合，则p=.【答案】4【解析】双曲线x2-y2=2的右焦点为(2，0)，所以=2，解得p=4.3.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点弦ab的两端点坐标分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则的值一定为.【答案】-4【解析】当abx轴时，a，b.所以=-4，当ab与x轴不垂直时，设ab的斜率为k，则lab：y=k，代入y2=2px，得k2x2-(k2p+2p)x+=0，所以x1x2=，x1+x2=，所以=k2-+=k2-+k2=2k2-2(k2+2)=-4.综上，=-4.4.已知以f为焦点的抛物线y2=4x上的两点a，b满足af=3fb，则弦ab的中点到准线的距离为.【答案】(第4题)【解析】如图，设bf=m，由抛物线的定义知aa1=3m，bb1=m，在abc中，ac=2m，ab=4m，kab=，则直线的ab方程为y=(x-1)，与抛物线方程联立消去y，得3x2-10x+3=0，所以ab的中点到准线的距离为+1=+1=.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第125126页.【检测与评估】第63课抛物线一、 填空题1.抛物线y2=-8x的焦点坐标是.2.抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是.3.若抛物线x2=4y上一点a的横坐标为2，则点a到该抛物线焦点的距离为.4.(2014南京三模)若抛物线y2=2px过点m(2，2)，则点m到该抛物线焦点的距离为.5.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点m(2，y0).若点m到该抛物线焦点的距离为3，则om=.6.已知抛物线y2=2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是.7.已知直线y=k(x-2)(k0)与抛物线c：y2=8x相交于a，b两点，f为抛物线c的焦点.若fa=2fb，则实数k=.8.(2014芜湖期末)如图，过抛物线y2=2px(p0)的焦点f作倾斜角为60的直线与抛物线交于a，b两点，则afbf=.(第8题)二、 解答题 9.已知rtaob的三个顶点都在抛物线y2=2px上，其中直角顶点o为原点，oa所在直线的方程为y=x，aob的面积为6，求该抛物线的方程.10.已知拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线-=1(a0，b0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，且拋物线与双曲线的一个交点为，求拋物线与双曲线的方程.11.已知定点f(0，1)和直线l1：y=-1，过定点f与直线l1相切的动圆圆心为点c.(1)求动点c的轨迹方程；(2)过点f的直线l2交动点c的轨迹于点p，q两点，交直线l1于点r，求的最小值.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是.13.已知抛物线c的顶点在坐标原点，焦点为f(1，0)，直线l与抛物线c相交于a，b两点.若ab的中点为(2，2)，则直线l的方程为.【检测与评估答案】第63课抛物线1.(-2，0)【解析】由y2=-8x，易知焦点坐标是，即(-2，0).2.2【解析】焦点为f(1，0)，准线方程为x=-1，所以焦点到准线的距离是2.3. 2【解析】方法一：抛物线x2=4y的焦点为f(0，1)，a(2，1)，所以fa=2.方法二：抛物线准线方程为y=-1，a(2，1)，则fa=1+1=2.4.【解析】方法一：因为抛物线过点m(2，2)，所以4p=4，从而p=1.根据抛物线的定义得点m到焦点的距离为+2=.方法二：因为抛物线过点m(2，2)，所以4p=4，从而p=1，故抛物线的方程为y2=2x，焦点坐标为f，从而mf=.5.2【解析】依题意，设抛物线方程为y2=2px(p0)，则有2+=3，得p=2，故抛物线方程是y2=4x，点m的坐标是(2，2)，om=2.6.相切【解析】设抛物线焦点弦为ab，中点为m，准线为l，a1，b1分别为a，b在直线l上的射影，则aa1=af，bb1=bf，于是m到l的距离d=(aa1+bb1)=(af+bf)=ab=半径，故相切.7.2【解析】如图，由题意知直线y=k(x-2)经过抛物线的焦点f(2，0)，过点a，b分别向准线l作垂线交l于m，n两点，过点b作beam于点e.设bf=m，则fa=2m，又bn=bf=m，af=am=2m，所以ae=m，be=2m，所以k=2.(第7题)8. 31【解析】由题意可知直线ab：y=，联立y2=2px，得3x2-5px+p2=0.设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，得x1+x2=，x1x2=，可得x1=，x2=，则=3.9.因为 oaob，且oa所在直线的方程为y=x，所以ob所在直线的方程为y=-x，由 得点a的坐标为，由得点b的坐标为(6p，-2p)，所以oa=|p|，ob=