重言式和真值表.pdf

重言式 重言式与矛盾式 一个公式如果不论不论其中的命题变元取何真 值 这个公式本身都为真 那么就称这个 公式为重言式 tautology 或恒真式 一个公式如果不论不论其中的命题变元取何真 值 这个公式本身都为假 那么就称这个 公式为矛盾式 contradiction 或恒 假式 例子 重言式 p p p p 矛盾式 p p p p 常见重言式 p q p q p q p q p q p q p p 常见重言式 p q p q p q p q p q p q p q p q 用真值表判定重言式 真值表判定任一命题形式是否是重言式 例1 p q p q pq pp q p q p p q p q T T FTFT T F FTFT F T TTTT F F TFFT 例2 p q p q p q q p q p q p p q p q T T FTTF T F TTTT F T FTFT F F TFFT 真值表判定任意两个复合命题之间 是否具有等值关系等值关系 例1 p q p q 由真值表可知这两个命题之间具有等值关 系 pq p q p q p q p q T T FFTFF T F FTFTT F T TFFTT F F TTFTT 例2 p q p q p q p q p q p q p q T T FFTFF T F FTTFT F T TFTFT F F TTFTT 三 真值表帮助解决一些推理问题 例 列出A B C三命题的真值表 并回 答当A B C三命题恰有一个为真时 甲 是否是木工 A 如果甲不是木工 则乙是泥工 B 如果乙不是泥工 则甲不是木工 C 甲不是木工 且乙不是泥工 解 设p表示 甲是木工 q表示 乙是 泥工 A p q B q p C p q pq p q p q q p p q T T FFTTF T F FTTFF F T TFTTF F F TTFTT 练习题 一 用真值表判定下列真值形式是否是 重言式 1 P q p q 2 P q q P 二 请用真值表判定下列各组命题形式之 间是否具有等值关系 1 P q P q 2 P q P q 三 列出A B两命题的真值表 并回答A B恰有一个为假时 王军是否考上了大学 A 如果王军考上了大学 那么李伟就没有 考上大学 B 王军没有考上大学 四 列出A B C三命题的真值表 并回答 当A B C三命题恰有一真时 是否甲村所 有人家都有彩电 A 甲村所有人家都有彩电 并且乙村所有 人家都有彩电 B 或者甲村所有人家都有彩电 或者乙村 所有人家都有彩电 C 如果乙村所有人家都有彩电 那么甲村 有些人家没有彩电 归谬赋值法判定重言式 归谬赋值法的思想 真值表判定法是直接去 看 公式在命题变元的各种 取值情况下 原公式的真值是否都为真 反其道而行 我们可以去寻找命题变元的某种取值 使得原公式在 这种取值情况下为假 若实际找到命题变元的这种取值 则原公式不是 重言式 若能证明命题变元的这种取值不存在 则原公式 是重言式 这就是归谬赋值法的思想 归谬赋值法的思想示例 pq p q p q TTT TFF FTT FFT 公式的主联接词 公式的主联接词 公式形成过程中使用到的 最后一个联接词 例如 公式 p q p q 的主联接词是 左起第一个 公式 p q r p r q的主联接 词是右起第一个 归谬赋值法的施行 以 p q p q 的判定为例子 假定 p q p q 为假 在这个公式的主联 接词下标F以表明这一点 p q p q F 根据 的意义 可知原公式的前件p q为真 后件p q为假 在p q的主联接词下方标T 在p q的主联接 词下方标F 以表明上述推断 p q p q T F F 继续上一过程 直至 p q p q FT FTF TF 通过以上推导 可见当p为T q为F时 原公 式的取值为F 因而 可判定原公式不是重 言式 归谬赋值法的施行 以 p q p q 的判定为例子 假定 p q p q 为假 在这个公式的主 联接词下标F以表明这一点 p q p q F 根据 的意义 可知原公式的前件 p q为真 后件p q为假 在 p q的主联接词下方标T 在p q的主联 接词下方标F 以表明上述推断 p q p q T F F 继续上一过程 直至 p q p q FT FTF TFFF 以上推导表明 假设存在p q的一种取值使 得原公式为假 那么在p q的这种取值下 p q 既为T又为F 但这是不可能的 故不 存在p q的取值使原公式为假 因而原公式 必是重言式 例子 判定 p q r p r q r 是否 是重言式 以下 必须分情况进行讨论 p q r p r q r FTF p q r p r q r FTFF 在第一种情况下 子公式p q r既为T又为F p q r p r q r FTFFTF TFTF TF TFTF 在第二种情况下 子公式p q r既为T又为F 综上所述 在两种情况下都有一个子公式都既为T 又为F 故可判定原公式是重言式 例子 判定 p q r p q p r 是否 是重言式 在假定公式 p q r p q p r 为假时 则可知或者其中 子公式p q为假 或者其中子公式p