江苏省射阳县初中数学教学素材（四） 新人教版.doc

数学教学素材（四）悲情英雄阿贝尔 阿贝尔（niels henrik abel.1802-1829)，一位充满悲情色彩的挪威数学家，一位贡献卓著却过早辞世的数学天才翻开数学的历史和现在，还很少有几个数学家能和那么多的数学概念，定理联系起来，而阿贝尔积分，阿贝尔积分方程，阿贝尔函数，阿贝尔群，阿贝尔级数，阿贝尔部分和公式，阿贝尔收敛判别法，阿贝尔可和性就可以告诉我们，要是阿贝尔活到正常寿命那该有多大的贡献！阿贝尔年月日生于芬岛克里斯蒂安尼亚的一个穷牧师家里，即使作为个孩子之一，家里贫穷，阿贝尔仍然得以进入克里斯蒂安尼亚的一所中学就读在阿贝尔岁时优秀的数学教师bernt michael holmbo,(1795-1850),发现了阿贝尔的数学天赋并对他给予了特殊指导，介绍他阅读了牛顿，欧拉，拉格朗日，高斯等人的著作，这也使得阿贝尔对数学产生了浓厚的兴趣并一生钟爱数学岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文，丹麦数学家carl ferdinand degen看过后十分惊讶阿贝尔的数学才华，并回信诚挚的指导阿贝尔：与其着手解决被认为非常难解的问题，不如把精力和时间投入到对解析学和力学的研究上，例如，椭圆积分就是很好的研究方向，我相信你会成功于是阿贝尔开始对椭圆函数的研究年，holmbo老师及几位好友的帮助下，阿贝尔进入了克里斯蒂安尼亚大学学习年，阿贝尔发表了第一篇论文，他用积分方程解决了古老的等时线问题，由此也开启了研究积分方程的先河一年以后即年，阿贝尔解决了求解五次方程的不可能性问题阿贝尔把自己的研究成果寄给了高斯，遗憾的是高斯连信都未开封幸运的是阿贝尔结识了业余数学爱好者克莱尔（augste leopold crelle,1780-1856).1825年，阿贝尔去柏林，建议克莱尔创办了著名的数学刊物纯粹与应用数学杂志这个杂志的头三期发表了阿贝尔的篇关于方程，无穷级数，椭圆函数论等方面的文章，这从另一方面也提高并扩大了该杂志的声誉阿贝尔一生工作的最重要时期是年年，关于椭圆函数论的广泛研究就完成在这一时期果壳里的数学 诺贝尔文学奖得主加西亚马尔克斯在回答“应该从什么意义上理解家长的没落是一部自传性小说”时说：“我可以用一句话回答，只要一句话就够了：没有什么比名声的孤独更像权力的孤独了。”如果借用马尔克斯这番“夫子自道”，也不妨说，没有什么比数学的孤独更像思想的孤独了即使数学和数学家今天正被闪烁不定的镁光和好莱坞影片环绕着。 数学的这种孤独似乎是与生俱来的。作为人类性灵最优雅的产物之一(另一种也许是音乐)，数学最本质的特征在于它的抽象性。虽然东西方早期的数学都是从丈量土地和测量容积，从计算时间和制造器皿等“具体而微”的事件中萌芽的，但是，真正意义上的数学观念的瓜熟蒂落，却最终取决于人类理性能否从实有的风火炉中炼出抽象的金丹来。 其实，当数学家们只需挥动轻巧的鹅毛笔，就能在薄薄的稿纸上，像将军一样驱策着数字、线条与公式的千军万马的时候，他们的行为实际上也印证了数学这种最本质的特点。那就是，当我们面对纯粹数学的时候，我们事实上是可以完全摆脱特殊性的事例，甚至可以摆脱任何一类特殊的实有。换言之，数学家倾向于认为，任何实有如果具备满足某一纯抽象条件的关系，就必然也具有能满足另一纯抽象条件的关系。这有些类似于宋代理学家领悟到的“月印万川”的道理：天地之间，月亮只有一个，但“千江水有千江月”；而同样，任何理性秩序都无法回避数学思想“大象无形”却又如影随形的观照。 不过，与哲学的抽象性引导人穷究天人之理、宗教的抽象性让人仰望星空稍有不同的是，数学的抽象性总是执拗地相信，只要有统一体存在的地方，它所牵涉的普遍条件之间，便存在着审美的关系。也就是说，在数学抽象性的斗篷下，还躲藏着美的精灵。而这种审美属性，更多地体现在“檐牙高啄，廊腰缦回”的数学模式所包含的逻辑谐和之中。因此，数学家也许比任何一类学者都更加坚信，事物在一起存在时，都是由理性的粘合剂拼接的。那么，任何一种事物所牵涉的逻辑谐和，必须排斥一切非谐和的东西而包含一切谐和的东西。而由数学开启的这种逻辑谐和真正成熟之时，也就标志着，逻辑谐和不仅是数学的独家专利，而将成为君临物理学、天文学乃至人类时空观之上的帝王。于是，在理性的分光镜下，自然世界与心灵世界深处最美丽的色调，得到了清晰的呈现。 可以说，由于纯粹数学的高度抽象性与审美性，所以，爱因斯坦说：“纯粹数学成为逻辑思想的诗篇。” 第一个真正意义上自由呼吸着数学的抽象性与审美性的人，应当是毕达哥拉斯。他是一个饶有情趣的古典嬉皮士组织即毕达哥拉斯学派的领导人。他们不喝酒，不穿毛皮制品，并且食素。他的学派将“万物皆为数”奉为圭臬，并以一种哲学家和教徒的虔诚，将研究数学作为净化灵魂的手段，将数字、图案与公式当成心中的十字、新月与菩提树。他们甚至根据对声学和行星轨道运行时间的数学知识，认为天空具有音乐的韵律，即所谓天球音乐。 不过，真正被厚厚薄薄的数学史记住的，是毕达哥拉斯以简洁的方式证明了勾股定理，惊异地发现了2开12次方根的结果是个无理数，这一发现同时也点燃了数学史上“第一次危机”的导火线。而最值得关注的是毕达哥拉斯在数学观念与方法论上开天辟地的功绩。那就是他赋予了数学演绎的特点。这种对推理中普遍性孜孜不倦地探求，不但拨动了数学的琴弦，也引起了人类早期哲学观念的共振。 之后的柏拉图准确地把握了从历史回音壁上传来的风雷激荡之声。他在雅典这个美丽的城邦中建立起了“柏拉图学园”，校门口高悬“不懂几何，禁止人内”。可以说，西方科学界尊重数学乃至尊重理性的传统，就是以这个学园为闪光的起点。柏拉图笃信数与几何是打开宇宙之谜的钥匙，因此，柏拉图的的哲学，被后人称为“数学的哲学”。 而柏拉图学派也成了毕达哥拉斯学派演绎逻辑方法的燃灯传薪者。他们系统整理零散数学知识的思想，不但直接影响了欧几里德几何原本的写作，更在知识上、方法上、思想上打开了后世数学家的视野。所以，哲学家怀特海(anwhitehead)说：“对欧洲哲学传统最可靠的描述是，它是一连串对柏拉图的注解。”撇开这句话中令哲学家沮丧的一面看，也许正是数学蕴涵的这种无边的理性，打造了柏拉图思想的金刚不坏之身，使之成为后世众多思想家心悦诚服的不祧之祖。 而同时代的中国的数学思想的长卷，在周髀算经、十进制和“礼乐射御书数”的“六艺”中缓缓展开。与欧几里德的几何原本对西方数学传统的影响相呼应的是，成书于公元一世纪的九章算术，对于中国古代数学传统的形成同样起到了奠基石的作用。但是，从宏观上看，中国古代的数学思想，更多地沉溺在实际问题的解答技巧之中，而极少见到西方数学思想中包孕的那种超验传统和终极关怀意识。因此，在如何自觉地将数学与哲学观念的发展结合起来上，中国古代的数学思想显得力不从心、乏善可陈。所以，尽管祖冲之率先将圆周率推到了小数点后第七位，“杨辉三角形”把西方“帕斯卡三角形”抛在身后达四百年，朱世杰娴熟地运用“四元术”求解四元方程，但是，这些光环并不能掩饰中国数学家通过计数、度量、几何关系与秩序形态，把数学观念与自然界联系起来的能力的缺乏。因此，在中国的数学家那里，理性的思维似乎无法脱离那种牵涉到一定种与属的不完整的抽象境界，登堂人室进入完整的数学抽象领域。所以，在宋元数学辉煌的一页翻过以后，中国的数学思想似乎陷入了笨拙的泥淖之中。 就在中国古代数学沉沦的时候，崎岖而行的西方科学却赢来了新的发展空间。这一重大转折发生在1453年。这是明朝景泰四年，用历史学家黄仁宇形容万历十五年的话说，似乎同样属于“a year of n。significance”(无关紧要的一年)。但在西方，就在这一年，幕天席地的土耳其骑兵，挥动马刀，攻占并洗劫了东罗马(拜占廷)帝国的首都君士坦丁堡(伊斯坦布尔)。于是，大批东罗马帝国的知识分子携带着古希腊的文化典籍负笈西行，在客观上为欧洲文艺复兴、工业革命和宗教改革准备了火种。原先罗马共和国秉承的是希腊语文化，后来西罗马帝国改弦更张为拉丁语文化。在西罗马帝国丧钟敲响后，希腊文化却又一次回到西方，同时还带来了阿拉伯语文化与希伯来文化。地中海区域的欧亚非大陆的结合部，重新成为不同文化的竞技场。 而数学作为科学的源泉，作为文化思想的缩影，无疑见证了这一因东西文化碰撞，引起“惊涛裂岸，卷起千堆雪”的壮阔画面。这一时期，欧洲人普遍应用了阿拉伯人的记数法与代数学。而现代高等数学公式中的希腊字母、拉丁字母、阿拉伯字母合用，也鲜明地折射出政治地图变迁对文化版图重组的不可忽略的影响。这也许是1543年西罗马帝国灭亡的意义之一。 如果说，从毕达哥拉斯、柏拉图直至进入现代世界的十七世纪前，数学的观念还没有跳出亚里士多德描绘的思维框架，那么，在天才的十七世纪里，伽利略、笛卡儿、斯宾诺莎、牛顿、莱布尼兹这些声名显赫的人物，似乎是不约而同地，在盛大的数学酒会上举起了高脚杯。解析几何、微积分从费马、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹们高速运转的大脑中脱颖而出。在这个世纪里，数学的抽象性、普遍性与和谐性，绽放了茂盛的理论之花。它似乎是先声夺人地对哲学观念的形成和其他学科的纵深挺进，产生了巨大而深远的影响。虽然这以前很长一段时间，数学家的理性像欧洲灰蒙蒙的天空一样，还只是教堂傲慢尖顶的忠实陪衬，但到了十七世纪，可以说，数学家的心中已经无一例外地涌动着一种“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”的情感。 十七世纪数学的伟大成就，为后世数学的辉煌铺平下了一条金光大道。之后，数学理论、数学分支、数学观念，像斐波那契数列揭示的兔子繁殖速度一样，不绝如缕地涌现。由于数学与哲学的联姻，数学也成为人类头脑所能达到的最完美的抽象境界。1899年，希尔伯特改进了公理方法。他认为：“点、线、面可以换成桌子、椅子、啤酒杯。”1900年，他在国际数学家大会上提出了23个问题，揭开了二十世纪数学发展的序幕。哲学家罗素则以著名的“理发师悖论”，引发了数学基础的危机，形成了逻辑主义、直觉主义与形式主义三大学派。哥德尔不完全性定理的提出，对数学的完备性提出了挑战。而建立在数学基础上的计算机的问世，托起了新一轮技术革命的太阳。使得统治世界数百年的蒸汽机与电器时代从此成为远去的背影。 仔细反思数学发展的千年历程，的确让人回味无穷。如果说，古典数学还只是浸淫于宗教热忱的浪潮中，为奥秘的事物寻找某种神启与暗示的话，那么它同时也唤醒了从事物内部探求其终极意义的理性思想。这两种方法看似背道而驰，但它们最大的意义是重建了人类的好奇心，使得人们愿意对终极的概念探赜索隐，洞幽烛微。而这一切，只有在一个宽容自由、思想开放的时代里，才能最大程度地得到实现比如希腊的雅典、文艺复兴时期的意大利，当然还有春秋时期与唐宋时代的中国。 相反的例子是，当中国古代的专制社会不但自我封闭、禁锢思想，而且将灰色的长城压在众多穷究天人之理的学者的心头时，短暂的数学灵光之中终于没能升起科学的太阳。也许，这可以作为对李约瑟在中国科学技术史中不止一次提到的问题为什么中国科技本来胜于欧洲，但在十五世纪后就不如欧洲了呢的一种回答吧。 记得物理学家霍金曾用“果壳中的宇宙”(the universe in a nutshell)为他的新作命名。这个典故出自莎士比亚的名剧哈姆雷特。在剧中，这位忧郁的王子说，即使把他关在果壳里，仍然自以为是宇宙之王。而哲学家怀特海在科学与近代世界中也说，编著一部思想史而不深刻研究每一个时代的数学观念，就等于是在哈姆雷特这一剧本中去掉了哈姆雷特这一角色。其实哈姆雷特这种独步天下的感觉，移植到数学身上，同样贴切。果壳中的哈姆雷特与果壳中的数学和宇宙一样，既张扬了理性的力量，也暗示了理性的局限和对超验世界的无能为力。也就是说，对于浩瀚的人类思想而言，理性需要新的跃迁与超越。这一内在的紧张被法国作家雨果窥破了：“科学到了最后，就遇上了想象。在圆锥曲线中、在对数中、在概率计算中、在微积分计算中、在声波计算中、在运用于几何的代数中，想象都是计算的系数，于是数学也就成了诗。” 于是，我们终于可以说，数学的全部抽象性与审美性所提供的，正是一种建立在完美的假定之上的乌托邦。它超越了一切政治与宗教、国界与肤色。冰冷的铁窗与专制社会的判决书，都无法阻挡自由的思想通往林中空地上的那个美丽新世界。就像罗马士兵的刀锋，无法阻挡阿基米德临终前高贵的沉思一样。这也许是数学以及一切与自由思想有关的东西一一本身所能揭示的全部寓意，尽管这种寓意“只有生活在有限和自由的刀口上的人才会理解”(丹尼尔贝尔语)。 歌德巴赫猜想世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如633，1257等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(euler)，提出了以下的想法:(a) 任何一个=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从费马提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理(chens theorem) “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。1920年，挪威的布朗(brun)证明了 “9 + 9 ”。 1924年，德国的拉特马赫(rademacher)证明了“7 + 7 ”。1932年，英国的埃斯特曼(estermann)证明了 “6 + 6 ”。1937年，意大利的蕾西(ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。1938年，苏联的布赫 夕太勃(byxwrao)证明了“5 + 5 ”。1940年，苏联的布赫 夕太勃(byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。1948年，匈牙利的瑞尼(renyi)证明了“1 + c ”，其中c是一很大的自然数。1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。1957年，中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(bapoah)证明了 “1 + 5 ”， 中国的王元证明了“1 + 4 ”。1965年，苏联的布赫 夕太勃(byxwrao)和小维诺格拉多夫(bhhopappb)，及 意大利的朋比利(bombieri)证明了“1 + 3 ”。1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。韦达韦达，(fran?ois vite,1540-1603) 1540年生于法国普瓦图地区poitou,今旺代省的丰特奈-勒孔特(fontenay.-le-comte);1603年12月13日卒于巴黎。 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。 应用于三角形的数学定律是韦达最早的数学专著之一，也是早期系统论述平面和球面三角学的著作之一。韦达还专门写了一篇论文截角术，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将cos(nx)表示成cos(x)的函数并给出当n11等于任意正整数的倍角表达式了。 分析方法入门是韦达最重要的代数著作，也是最早的符号代数专著，书中第1章应用了两种希腊文献：帕波斯的数学文集第7篇和丢番图著作中的解题步骤结合起来，认为代数是一种由已知结果求条件的逻辑分析技巧，并自信希腊数学家已经应用了这种分析术，他只不过将这种分析方法重新组织。韦达不满足于丢番图对每一问题都用特殊解法的思想，试图创立一般的符号代数。他引入字母来表示量，用辅音字母b，c，d等表示已知量，用元音字母a（后来用过n）等表示未知量x，而用a quadratus,a cubus 表示 x2、x3 ，并将这种代数称为本类的运算以此区别于用来确定数目的数的运算。当韦达提出类的运算与数的运算的区别时，就已规定了代数与算术的分界。这样，代数就成为研究一般的类和方程的学问，这种革新被认为是数学史上的重要进步，它为代数学的发展开辟了道路，因此韦达被西方称?quot;代数学之父。1593年，韦达又出版了另一部代数学专著-分析五篇（5卷，约1591年完成）；论方程的识别与订正是韦达逝世后由他的朋友a.安德森在巴黎出版的，但早在1591年业已完成。其中得到一系列有关方程变换的公式，给出了g.卡尔达诺三次方程和l.费拉里四次方程解法改进后的求解公式。而另一成就是记载了著名的韦达定理，即方程的根与系数的关系式。韦达还探讨了代数方程数值解的问题，1591年已有纲要，1600年以幂的数值解法为题出版。1593年韦达在分析五篇中曾说明怎样用直尺和圆规作出导致某些二次方程的几何问题的解。同年他的几何补篇（supplementum geometriae）在图尔出版了，其中给尺规作图问题所涉及的一些代数方程知识。此外，韦达最早明确给出有关圆周率值的无穷运算式,而且创造了一套10进分数表示法，促进了记数法的改革。之后，韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡儿继承，发展成为解析几何学。 欧拉欧拉(euler，17071783)，瑞士数学家及自然科学家。在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国的彼得堡去逝。 欧拉出生於牧师家庭，自幼已受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。 欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学。在上大学时，他已受到约翰第一伯努利的特别指导，专心 研究数学，直至18岁，他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学，於19岁时（1726年）开始创作文章，并获得巴黎科学院奖金。1727年，在丹尼尔伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作。并在1731年接替丹尼尔第一伯努利 ，成为物理学教授。在俄国的14年中，他努力不懈地投入研究，在分析学、数论及力学方面均有出色的表现。此外，欧拉还应俄国政府 的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题。1735年，他因工作过度以致右眼失明。在1741年，他受到普鲁士 腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职。他在柏林期间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着。与此同时，他在微分方程、曲面微分几何 及其他数学领域均有开创性的发现。 1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在 1771年，一场重病使他的左眼亦完全失明。但他以其惊人的 记忆力和心算技巧继续从事科学创作。他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学着作，直至生命的最後一刻。 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他 是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，无穷小分析引论（1748），微分学原理（1755），以及积分学原理（1768-1770)都成为数学中的经典着作。 欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷级数、微分方程等）的产生 与发展奠定了基础。 欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目。他计算出函数在偶数点的值： 。他证明了a2k是有理数，而且可以伯努利数来表示。 此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计算出欧拉常数的值，其值近似为 0.57721566490153286060651209. 在18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理方面的问过程中，创立了微分方程学。当中，在常微分方程方面，他 完整地解决了n阶常系数线性齐次方程的问题，对於非齐次方程，他提出了一种降低方程阶的解法；而在偏微分方程方面，欧拉将二维物体振动的问题，归结出了一、二、三维波动方程的解法。欧拉所写的方程的积分法研究更是 偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文。 在微分几何方面（微分几何是研究曲线、曲面逐点变化性质的数学分支），欧拉引入了空间曲线的参数方程，给 出了空间曲线曲率半径的解析表达方式。在1766年，他出版了关於曲面上曲线的研究，这是欧拉对微分几何最重要的贡献，更是微分几何发展史上一个里程碑。他将曲面表为 z=f(x,y)，并引入一系列标准符号以表示z对x，y的偏导数 ，这些符号至今仍通用。此外，在该着作中，他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式。 欧拉在分析学上的贡献不胜枚举，如他引入了g函数和b 函数，这证明了椭圆积分的加法定理，以及最早引入二重积 分等等。在代数学方面，他发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之积，即a+bi的形式。欧拉还给出了费马小定 理的三个证明，并引入了数论中重要的欧拉函数(n)，他研究数论的一系列成果奠定了数论成为数学中的一个独立分支。欧拉又用解析方法讨论数论问题，发现了函数所满足的函数方程，并引入欧拉乘积。而且还解决了着名的柯尼斯 堡七桥问题。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 经典数学问题-konigsberg七桥问题（一笔画问题）当euler在1736年访问konigsberg, prussia(now kaliningrad russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。konigsberg城中有一条名叫pregel的河流横经其中，在河上建有七座桥如图所示:这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。後来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶.七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务是不可能实现的。高斯高斯(gauss 17771855)生於brunswick，位於现在德国中北部。他的祖父是农民，父亲是泥水匠，母亲是一个石匠的女儿，有一个很聪明的弟弟，高斯这位舅舅，对小高斯很照顾，偶而会给他一些指导，而父亲可以说是一名大老粗，认为只有力气能挣钱，学问这种劳什子对穷人是没有用的。 高斯很早就展现过人才华，三岁时就能指出父亲帐册上的错误。七岁时进了小学，在破旧的教室里上课，老师对学生并不好，常认为自己在穷乡僻壤教书是怀才不遇。高斯十岁时，老师考了那道著名的从一加到一百，终於发现了高斯的才华，他知道自己的能力不足以教高斯，就从汉堡买了一本较深的数学书给高斯读。同时，高斯和大他差不多十岁的助教bartels变得很熟，而bartels的能力也比老师高得多，後来成为大学教授，他教了高斯更多更深的数学。 老师和助教去拜访高斯的父亲，要他让高斯接受更高的教育，但高斯的父亲认为儿子应该像他一样，作个泥水匠，而且也没有钱让高斯继续读书，最後的结论是去找有钱有势的人当高斯的赞助人，虽然他们不知道要到哪里找。经过这次的访问，高斯免除了每天晚上织布的工作，每天和bartels讨论数学，但不久之後，bartels也没有什麽东西可以教高斯了。 1788年高斯不顾父亲的反对进了高等学校。数学老师看了高斯的作业後就要他不必再上数学课，而他的拉丁文不久也凌驾全班之上。 1791年高斯终於找到了资助人布伦斯维克公爵费迪南(braunschweig)，答应尽一切可能帮助他，高斯的父亲再也没有反对的理由。隔年，高斯进入braunschweig学院。这年，高斯十五岁。在那里，高斯开始对高等数学作研究。并且独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的二次互逆定理(law of quadratic reciprocity)、质数分布定理(prime numer theorem)、及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)。 1795年高斯进入哥廷根(g?ttingen)大学，因为他在语言和数学上都极有天分，为了将来是要专攻古典语文或数学苦恼了一阵子。到了1796年，十七岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果。最为人所知，也使得他走上数学之路的，就是正十七边形尺规作图之理论与方法。 希腊时代的数学家已经知道如何用尺规作出正 2m3n5p 边形，其中 m 是正整数，而 n 和 p 只能是0或1。但是对於正七、九、十一边形的尺规作图法，两千年来都没有人知道。而高斯证明了： 一个正 n 边形可以尺规作图若且唯若 n 是以下两种形式之一：1、n = 2k，k = 2, 3, 2、n = 2k (几个不同费马质数的乘积)，k = 0,1,2, 费马质数是形如 fk = 22k 的质数。像 f0 = 3，f1 = 5，f2 = 17，f3 = 257， f4 = 65537，都是质数。高斯用代数的方法解决二千多年来的几何难题，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但後来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。 1799年高斯提出了他的博士论文，这论文证明了代数一个重要的定理：任一多项式都有（复数）根。这结果称为代数学基本定理(fundamental theorem of algebra)。事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来，然後提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明。 在1801年，高斯二十四岁时出版了算学研究(disquesitiones arithmeticae)，这本书以拉丁文写成，原来有八章，由於钱不够，只好印七章。 这本书除了第七章介绍代数基本定理外，其余都是数论，可以说是数论第一本有系统的着作，高斯第一次介绍同余(congruent)的概念。二次互逆定理也在其中。二十四岁开始，高斯放弃在纯数学的研究，作了几年天文学的研究。 当时的天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和木星间应该还有行星未被发现。在1801年，意大利的天文学家piazzi，发现在火星和木星间有一颗新星。它被命名为谷神星(cere)。现在我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个，但当时天文学界争论不休，有人说这是行星，有人说这是彗星。必须继续观察才能判决，但是piazzi只能观察到它9度的轨道，再来，它便隐身到太阳後面去了。因此无法知道它的轨道，也无法判定它是行星或彗星。 高斯这时对这个问是产生兴趣，他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题。高斯自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道的方法。他可以极准确地预测行星的位置。果然，谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现。这个方法虽然他当时没有公布就是最小平方法(method of least square)。 1802年，他又准确预测了小行星二号智神星(pallas)的位置，这时他的声名远播，荣誉滚滚而来，俄国圣彼得堡科学院选他为会员，发现pallas的天文学家olbers请他当哥廷根天文台主任，他没有立刻答应，到了1807年才前往哥廷根就任。 1809年他写了天体运动理论二册，第一册包含了微分方程、圆椎截痕和椭圆轨道，第二册他展示了如何估计行星的轨道。高斯在天文学上的贡献大多在1817年以前，但他仍一直做着观察的工作到他七十岁为止。虽然做着天文台的工作，他仍抽空做其他研究。为了用积分解天体运动的微分力程，他考虑无穷级数，并研究级数的收敛问题，在1812年，他研究了超几何级数(hypergeometric series)，并且把研究结果写成专题论文，呈给哥廷根皇家科学院。 1820到1830年间，高斯为了测绘汗诺华(hanover)公国（高斯住的地方）的地图，开始做测地的工作，他写了关於测地学的书，由於测地上的需要，他发明了日观测仪(heliotrope)。为了要对地球表面作研究，他开始对一些曲面的几何性质作研究。 1827年他发表了曲面的一般研究 (disquisitiones generales circa superficies curva)，涵盖一部分现在大学念的微分几何 在1830到1840年间，高斯和一个比他小廿七岁的年轻物理学家韦伯(withelm weber) 一起从事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题，影响韦伯的思考工作方法。 1833年高斯从他的天文台拉了一条长八千尺的电线，跨过许多人家的屋顶，一直到韦伯的实验室，以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机。 1835年高斯在天文台里设立磁观测站，并且组织磁协会发表研究结果，引起世界广大地区对地磁作研究和测量。 高斯已经得到了地磁的准确理，他为了要获得实验数据的证明，他的书地磁的一般理论拖到1839年才发表。 1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。1841年美国科学家证实了高斯的理论，找到了磁南极和磁北极的确实位置。 高斯对自己的工作态度是精益求精，非常严格地要求自己的研究成果。他自己曾说：宁可发表少，但发表的东西是成熟的成果。许多当代的数学家要求他，不要太认真，把结果写出来发表，这对数学的发展是很有帮助的。其中一个有名的例子是关於非欧几何的发展。非欧几何的的开山祖师有三人，高斯、 lobatchevsky（罗巴切乌斯基，17931856）， bolyai（波埃伊，18021860）。其中bolyai的父亲是高斯大学的同学，他曾想试着证明平行公理，虽然父亲反对他继续从事这种看起来毫无希望的研究，小bolyai还是沉溺於平行公理。最後发展出了非欧几何，并且在18321833年发表了研究结果，老bolyai把儿子的成果寄给老同学高斯，想不到高斯却回信道： to preise it would mean to praise myself. 我无法夸赞他，因为夸赞他就等於夸奖我自己。 早在几十年前，高斯就已经得到了相同的结果，只是怕不能为世人所接受而没有公布而已。美国的着名数学家贝尔(e.t.bell)，在他着的数学工作者(men of mathematics)一书里曾经这样批评高斯： 在高斯死後，人们才知道他早就预见一些十九世的数学，而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏，很可能现在数学早比目前还要先进半个世纪或更多的时间。阿贝尔(abel)和雅可比(jacobi)可以从高斯所停留的地方开始工作，而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西。而那些非欧几何学的创造者，可以把他们的天才用到其他力面去。 在1855年二月23日清晨，高斯在他的睡梦中安详的去世了。高斯的故事高斯有许多有趣的故事，故事的第一手资料常来自高斯本人，因为他在晚年时总喜欢谈他小时後的事，我们也许会怀疑故事的真实性，但许多人都证实了他所谈的故事。 高斯的父亲作泥瓦厂的工头，每星期六他总是要发薪水给工人。在高斯三岁夏天时，有一次当他正要发薪水的时候，小高斯站了起来说：爸爸，你弄错了。然後他说了另外一个数目。原来三岁的小高斯趴在地板上，一直暗地里跟着他爸爸计算该给谁多少工钱。重算的结果证明小高斯是对的，这把站在那里的大人都吓的目瞪口呆.高斯常常带笑说，他在学讲话之前就已经学会计算了，还常说他问了大人字母如何发音後，就自己学着读起书来。 七岁时高斯进了 st. catherine小学。大约在十岁时，老师在算数课上出了一道难题：把 1到 100的整数写下来，然後把它们加起来！每当有考试时他们有如下的习惯：第一个做完的就把石板当时通行，写字用面朝下地放在老师的桌子上，第二个做完的就把石板摆在第一张石板上，就这样一个一个落起来。这个难题当然难不倒学过算数级数的人，但这些孩子才刚开始学算数呢！老师心想他可以休息一下了。但他错了，因为还不到几秒钟，高斯已经把石板放在讲桌上了，同时说道：答案在这儿！其他的学生把数字一个个加起来，额头都出了汗水，但高斯却静静坐着，对老师投来的，轻蔑的、怀疑的眼光毫不在意。考完後，老师一张张地检查着石板。大部分都做错了，学生就吃了一顿鞭打。最後，高斯的石板被翻了过来，只见上面只有一个数字：5050（用不着说，这是正确的答案。）老师吃了一惊，高斯就解释他如何找到答案：1100101，299101，398101，4952101，5051101，一共有50对和为101的数目，所以答案是 501015050。由此可见高斯找到了算术级数的对称性，然後就像求得一般算术级数合的过程一样，把数目一对对地凑在一起。刘徽刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位他的杰作九章算术注和海岛算经，是我国最宝贵的数学遗产 九章算术约成书于东汉之初，共有246个问题的解法在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法 比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明在这些证明中，显示了他在多 方面的创造性的贡献他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数 的立方根在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方 程组的解法在几何方面，提出了割圆术，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求 圆面积和圆周长的方法他利用割圆术科学地求出了圆周率=3.14的结果刘徽在割圆术中 提出的割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣，这可视为 中国古代极限观念的佳作.海岛算经一书中， 刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和 富有代表性，都在当时为西方所瞩目刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观他是我国最早明确主张用逻辑推理 的方式来论证数学命题的人刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生他虽然地位低下，但人格高尚他不是沽名钓誉 的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富祖冲之祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家 祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算秦汉以前，人们以径一周三做为圆周率，这就是古率后来发现古率误差太大，圆周率应是圆径一而周三有余，不过究竟余多少，意见不一直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法-割圆术，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长刘徽计算到圆内接96边形， 求得=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的值越精确祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出在3.1415926与3.1415927之间并得出了分数形式的近似值，取为约率 ，取为密率，其中取六位小数是3.141929，它是分子分母在1000以内最接近值的分数祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查若设想他按刘徽的割圆术方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的祖冲之计算得出的密率， 外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把=叫做祖率祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了大明历，开辟了历法史的新纪元祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算他们当时采用的一条原理是：幂势既同，则积不容异意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为祖暅原理世界中小学数学改革趋势 1、教材的改革更加突出基础性、多样性和教育性。教材选配的内容是公民必备的数学基础，是学生终生受用的知识；教材更加适应不同地方的特点，满足本地区科技、经济和社会发展的需要。2、教学方法的改革更加强调发展思维，培养能力。世界上许多国家都把培养数学思维能力作为教学目的之一和教法改革的重点。3、教学更加强调联系实际，使学生能用所学的知识解决实际问题。 在亚太地区数学教育规划讨论会上；大多数国家把培养解决日常生活中的实际问题的能力作为教学的重要目标。4、更加重视数学游戏，培养学生学习数学的兴趣。国外许多发达国家，根据学生的年龄特点，重视数学游戏，让儿童在游戏中学习数学。日本有的课本叫“快乐的算术”，美国的hsm教科书也有许多游戏内容。5、更强调提高课堂教学效率。美国全国数学教师联合会制订的八十年代行动计划中指出，必须既讲效果，又讲效率的严格标准应用于数学教学。6、教学更加强调通过多种途径学习。第三届国际数学教育会曾提出，在教学中，要通过各种活动如画图、制做、操作、调查、收集周围环境的数学材料等来组织教学。7、教学更注重教给学生正确的学习方法。中学数学教学要教给学生的学习方法：一是认真读书的习惯，二是能够运用已知去学习新知；三是懂得抓住要点、重点，概括要领；四是懂得对自己的学习进行自我测试的查缺、查漏；五是善于发现问题，质难问题。8、测试的标准化。标准化考试是按照系统的科学程序组织，具有统一的标准，并对误差作了严格控制的考试，这种测试方法在国外数学教学中早已运用。近几年我国也采用了这种方法。9、教学改革朝着整体性改革方向发展。近几年来，一些国家已开始进行数学教学整体改革，既把数学作为一个整体，把社会对数学知识的需要，少年儿童的生理心理特征、数学教学的目标作为一个整体，确定其内容、方法、手段，使数学教学效果达到最佳。10、教学更加注重全面发挥数学的教育功能。未来的数学教育将发挥它的德育功能、智育功能和美育功能。华罗庚华罗庚(19101985),数学家，中国科学院院士。1910年11月12日生于江苏金坛，1985年6月12日卒于日本东京。华罗庚原来也是个调皮、贪玩的孩子，但他很有数学才能。有一次，数学老师出了一个中国古代有名的算题有一样东西，不知是多少。3个3个地数，还余2；5个5个地数，还余3；7个7个的数，还余2。问这样东西是多少？题目出来后，同学们议论开了，谁也说不出得数。老师刚要张口，华罗庚举手说：“我算出来了，是23。”他不但正确地说出了得数，而且算法也很特别。这使老师大为惊诧。可是，这位聪明的孩子，在读完中学后，因为家里贫穷，从此失学了。他回到家里，在自家的小杂货店做生意，卖点香烟、针线之类的东西，替父亲挑起了养活全家的担子。然而，华罗庚仍然酷爱数学。不能上学，就自己想办法学。一次，他向一位老师借来了几本数学书，看，便着了魔。从此，他一边做生意、算帐，一边学数学。有时看书入了神，人家买东西他也忘了招呼。傍晚，店铺关门以后，他更是一心一意地在数学王国里尽情漫游。一年到头，差不多每天都要花十几个小时，钻研那些借来的数学书。有时睡到半夜，想起一道数学难题的解法，他准会翻身起床，点亮小油灯，把解法记下来。 正在这时，他却得了伤寒病，躺在床上半年，总算捡回了一条命，但左脚却落下了终身残疾。在贫病交加中，华罗庚仍然把全部心血用在数学研究上，接连发表了好几篇重要论文，引起清华大学熊庆来教授的注意。 1932年在熊庆来教授的帮助下，华罗庚到了清华大学数学系，当一名管理员。他一人要干几个人的事，仍继续自学课程，还自修了英文、德文，能用英文写论文。1936年赴英国剑桥大学访问、学习。1938年回国后任西南联合大学教授。1946年赴美国，任普林斯顿数学研究所研究员、普林斯顿大学和伊利诺斯大学教授，1950年回国。历任清华大学教授，中国科学院数学研究所、应用数学研究所所长、名誉所长，中国数学学会理事长、名誉理事长，全国数学竞赛委员会主任，美国国家科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士，中国科学院物理学数学化学部副主任、副院长、主席团成员，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科协副主席，国务院学位委员会委员等职。曾任一至六届全国人大常务委员，六届全国政协副主席。曾被授予法国南锡大学、香港中文大学和美国伊利诺斯大学荣誉博士学位。主要从事解析