江苏省常州市溧阳市戴埠高中高二数学上学期第二次段考试卷（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省常州市溧阳市戴埠高中高二（上）第二次段考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分.）只需直接写出结果.1命题“xr，lgx=x2”的否定是2已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=3“p且q”为真是“p或q”为真的条件（填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也必要条件”）4已知函数y=f（x）的图象在m（1，f（1）处的切线方程是+2，f（1）+f（1）=5已知abc的顶点b、c在椭圆+y2=1上，顶点a是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在bc边上，则abc的周长是6函数f（x）=的单调递增区间是7如图是一个算法的流程图，则最后输出的s是8已知p：|x3|2，q：（xm+1）（xm1）0，若p是q的充分而不必要条件，则实数m的取值范围为9观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第n个等式为10已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=3x2+2xf（2），则f（4）=11已知三棱锥pabc中，pa=pb=pc=4，且pa、pb、pc两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在球面上，则这个球的体积为cm312如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是13将边长为1的正方形abcd沿对角线ac折起，使得平面adc平面abc，在折起后形成的三棱锥dabc中，给出下列三个命题：dbc是等边三角形； acbd； 三棱锥dabc的体积是其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）14已知f（x）=x3+x，xr，若至少存在一个实数x使得f（ax）+f（ax21）0成立，a的范围为二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.15已知命题p：实数m满足：方程+=1（a0）表示双曲线；命题q：实数m满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围16（2011乐陵市校级模拟）如图所示，四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，m、n分别是ab、pc的中点，pa=ad=a（1）求证：mn平面pad；（2）求证：平面pmc平面pcd17如图，已知圆o：x2+y2=1，直线l：y=kx+b（k0，b0）是圆的一条切线，且l与椭圆+y2=1交于不同的两点a，b （1）求k与b的关系；（2）若弦ab的长为，求直线l的方程18已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产一千件，需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为r（x）万元，且r（x）=（1）写出年利润w（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？（注：年利润=年销售收入年总成本）19已知函数f（x）=x2+（a+2）x+b，f（1）=2，对于xr，f（x）2x恒成立（）求函数f（x）的解析式（）设函数g（x）=4证明：函数g（x）在区间1，上是增函数；是否存在正实数mn，当mxn时函数g（x）的值域为m+2，n+2，若存求在出m，n的值，若不存在，则说明理由20已知点是离心率为的椭圆c：上的一点斜率为的直线bd交椭圆c于b、d两点，且a、b、d三点不重合（）求椭圆c的方程；（）abd的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（）求证：直线ab、ad的斜率之和为定值2015-2016学年江苏省常州市溧阳市戴埠高中高二（上）第二次段考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分.）只需直接写出结果.1命题“xr，lgx=x2”的否定是xr，lgxx2【考点】命题的否定【专题】计算题；规律型；对应思想；简易逻辑【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“xr，lgx=x2”的否定是：xr，lgxx2故答案为：xr，lgxx2【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，考查计算能力2已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=2i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：复数z满足（1+2i）z=4+3i，化为（12i）（1+2i）z=（12i）（4+3i），5z=105i，化为z=2i故答案为：2i【点评】本题考查了复数的御书房在，属于基础题3“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件条件（填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也必要条件”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】应用题【分析】由“p且q”为真可知命题p，q都为真命题；由“p或q”为真可知命题p，q至少一个为真命题，从而可判断【解答】解：由“p且q”为真可知命题p，q都为真命题由“p或q”为真可知命题p，q至少一个为真命题当“p且q”为真时“p或q”一定为真，但“p或q”为真是“p且q”不一定为真故“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件故答案为充分不必要条件【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是由复合命题的真假判断命题p，q的真假4已知函数y=f（x）的图象在m（1，f（1）处的切线方程是+2，f（1）+f（1）=3【考点】导数的运算【分析】先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f（1）的值，最后相加即可【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f（1）=3故答案为：3【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率5已知abc的顶点b、c在椭圆+y2=1上，顶点a是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在bc边上，则abc的周长是4【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设另一个焦点为f，根据椭圆的定义可知|ab|+|bf|=2a，|ac|+|fc|=2a最后把这四段线段相加求得abc的周长【解答】解：椭圆+y2=1的a=设另一个焦点为f，则根据椭圆的定义可知|ab|+|bf|=2a=2，|ac|+|fc|=2a=2三角形的周长为：|ab|+|bf|+|ac|+|fc|=4故答案为：4【点评】本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，解题的关键是利用椭圆的第一定义6函数f（x）=的单调递增区间是（0，e）【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】函数的性质及应用【分析】求出函数的导数为y的解析式，令y0 求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间【解答】解：由于函数的导数为y=，令y0 可得 lnx1，解得0xe，故函数的单调递增区间是 （0，e），故答案为：（0，e）【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题7如图是一个算法的流程图，则最后输出的s是9【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，当n=7时不满足条件n6，退出循环，输出s的值为9【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=1满足条件n6，s=1，n=3满足条件n6，s=4，n=5满足条件n6，s=9，n=7不满足条件n6，退出循环，输出s的值为9故答案为：9【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题8已知p：|x3|2，q：（xm+1）（xm1）0，若p是q的充分而不必要条件，则实数m的取值范围为2，4【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】先求出命题p，q的等价条件，然后利用p是q的必要非充分条件，建立条件关系即可求出m的取值范围【解答】解：log2|1|1；：|x3|2，即2x32，1x5，设a=1，5，由：（xm+1）（xm1）0，得m1xm+1，设b=m1，m+1，p是q的充分而不必要条件，q是p的充分而不必要条件，则b是a的真子集，即，即2m4，故答案为：2，4【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键9观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2【考点】归纳推理【专题】计算题【分析】观察所给的等式，等号右边是12，32，52，72第n个应该是（2n1）2，左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，写出结果【解答】解：观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49等号右边是12，32，52，72第n个应该是（2n1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题10已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=3x2+2xf（2），则f（4）=0【考点】导数的运算【专题】导数的概念及应用【分析】对已知等式两边求导，令x=2求出f（2），得到f（x），代入x=4计算即可【解答】解：由已知f（x）=3x2+2xf（2），两边求导得f（x）=6x+2f（2），令x=2，得f（2）=62+2f（2），到f（2）=12，所以f（x）=6x24，所以f（4）=0；故答案为：0【点评】本题考查了导数的运算；关键是求出f（2）的值，从而知道导数解析式11已知三棱锥pabc中，pa=pb=pc=4，且pa、pb、pc两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在球面上，则这个球的体积为32cm3【考点】球的体积和表面积【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】设过a，b，c的截面圆的圆心为o，半径为r，球心o到该截面的距离为d，利用pa，pb，pc两两垂直，o为abc的中心，求出截面圆的半径，通过球的半径截面圆的半径球心与截面的距离，求出球的半径，即可求出球的体积【解答】解：如图，设过a，b，c的截面圆的圆心为o，半径为r，球心o到该截面的距离为d，pa，pb，pc两两垂直，且pa=pb=pc=4，ab=bc=ca=4，且o为abc的中心，于是=2r，得r=，又po=oo=r=d=，解得r=2，故v球=r3=32故答案为：32【点评】本题是中档题，考查球的体积的求法，球的截面圆的有关性质，考查空间想象能力，计算能力12如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是x+2y8=0【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题【分析】若设弦的端点为a（x1，y1）、b（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=369，9x22+36y22=369；作差，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程【解答】解：设弦的端点为a（x1，y1）、b（x2，y2），代入椭圆方程，得9x12+36y12=369，9x22+36y22=369；得9（x1+x2）（x1x2）+36（y1+y2）（y1y2）=0；由中点坐标=4， =2，代入上式，得36（x1x2）+72（y1y2）=0，直线斜率为k=，所求弦的直线方程为：y2=（x4），即x+2y8=0故答案为：x+2y8=0【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目13将边长为1的正方形abcd沿对角线ac折起，使得平面adc平面abc，在折起后形成的三棱锥dabc中，给出下列三个命题：dbc是等边三角形； acbd； 三棱锥dabc的体积是其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）【考点】棱锥的结构特征；平面的基本性质及推论【专题】作图题【分析】先作出图来，根据图可知bd=，再由bc=dc=1，可知面dbc是等边三角形由acdo，acbo，可得ac平面dob，从而有acbd三棱锥dabc的体积=【解答】解：如图所示：bd=又bc=dc=1面dbc是等边三角形正确acdo，acboac平面dobacbd正确三棱锥dabc的体积=不正确故答案为：【点评】本题主要考查折叠问题，要注意折叠前后的改变的量和位置，不变的量和位置，属中档题14已知f（x）=x3+x，xr，若至少存在一个实数x使得f（ax）+f（ax21）0成立，a的范围为（，）【考点】特称命题【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据f（x）=x3+x，xr为奇函数，且在r上单调递增，由题意可得ax2x+a10有解分类讨论，求得a的范围【解答】解：f（x）=x3+x，xr为奇函数，且在r上单调递增，至少存在一个实数x使得f（ax）+f（ax21）0成立，即不等式f（ax）f（ax21）=f（1ax2）有解，ax1ax2有解，即ax2x+a10有解显然，a=0满足条件当a0时，由=14a（a1）0，即4a24a10，求得a，0a当a0时，不等式ax2x+a10一定有解故答案为：（，）【点评】本题主要考查特称命题，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.15已知命题p：实数m满足：方程+=1（a0）表示双曲线；命题q：实数m满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】对应思想；转化法；简易逻辑【分析】求出命题p、q是真命题时m的取值范围，再根据p是q的必要不充分条件得出q是p的充分不必要条件，从而求出a的取值范围【解答】解：若方程+=1（a0）表示双曲线，则有（m3a）（m4a）0（a0），解得3am4a；由方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则有2mm10，解得1m；由p是q的必要不充分条件，可知q是p的充分不必要条件，即，从而解得a【点评】本题利用充分、必要条件考查了椭圆与双曲线的标准方程的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目16（2011乐陵市校级模拟）如图所示，四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，m、n分别是ab、pc的中点，pa=ad=a（1）求证：mn平面pad；（2）求证：平面pmc平面pcd【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【专题】证明题【分析】（1）欲证mn平面pad，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证mn与平面pad内一直线平行即可，设pd的中点为e，连接ae、ne，易证amne是平行四边形，则mnae，而ae平面pad，nm平面pad，满足定理所需条件；（2）欲证平面pmc平面pcd，根据面面垂直的判定定理可知在平面pmc内一直线与平面pcd垂直，而aepd，cdae，pdcd=d，根据线面垂直的判定定理可知ae平面pcd，而mnae，则mn平面pcd，又mn平面pmc，满足定理所需条件【解答】证明：（1）设pd的中点为e，连接ae、ne，由n为pc的中点知endc，又abcd是矩形，dcab，enab又m是ab的中点，enam，amne是平行四边形mnae，而ae平面pad，nm平面padmn平面pad证明：（2）pa=ad，aepd，又pa平面abcd，cd平面abcd，cdpa，而cdad，cd平面padcdae，pdcd=d，ae平面pcd，mnae，mn平面pcd，又mn平面pmc，平面pmc平面pcd【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及线面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于基础题17如图，已知圆o：x2+y2=1，直线l：y=kx+b（k0，b0）是圆的一条切线，且l与椭圆+y2=1交于不同的两点a，b （1）求k与b的关系；（2）若弦ab的长为，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）直接由圆心到切线的距离等于圆的半径求得k与b的关系；（2）联立直线方程与圆锥曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求得k的值，进一步得到b的值，则直线l的方程可求【解答】解：（1）直线l：y=kx+b（k0，b0）是圆圆o：x2+y2=1的一条切线，即b2=k2+1 ；（2）联立，得（2k2+1）x2+4kbx+2b22=0设a（x1，y1），b（x2，y2），则，|ab|= ，联立解得：k=1或k=1（舍）则b=直线l的方程为y=x+【点评】本题考查圆锥曲线和直线的位置关系，考查了弦长公式的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线方程，运用一元二次方程的根与系数的关系求解，属中档题18已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产一千件，需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为r（x）万元，且r（x）=（1）写出年利润w（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？（注：年利润=年销售收入年总成本）【考点】分段函数的应用；函数模型的选择与应用【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（1）当0x10时，w=xr（x）（10+2.7x）=8.1x10，当x10时，w=xr（x）（10+2.7x）=982.7x，由此能求出年利润w（万元）关于该特许商品x（千件）的函数解析式；（2）当0x10时，由w=8.1=0，得x=9，推导出当x=9时，w取最大值，且wmax=38.6；当x10时，w38由此得到当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大【解答】解：（1）当0x10时，w=xr（x）（10+2.7x）=8.1x10，当x10时，w=xr（x）（10+2.7x）=982.7x，w=；（2）当0x10时，由w=8.1=0，得x=9，且当x（0，9）时，w0，当x（9，10）时，w0当x=9时，w取最大值，且wmax=8.199310=38.6当x10时，w=98（+2.7x）982 =38，当且仅当=2.7x，即x=时，wmax=38综合、知x=9时，w取最大值所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查运用导数求年利润的最大值，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用19已知函数f（x）=x2+（a+2）x+b，f（1）=2，对于xr，f（x）2x恒成立（）求函数f（x）的解析式（）设函数g（x）=4证明：函数g（x）在区间1，上是增函数；是否存在正实数mn，当mxn时函数g（x）的值域为m+2，n+2，若存求在出m，n的值，若不存在，则说明理由【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法【专题】分类讨论；函数的性质及应用【分析】（）由条件可得b=a1，x2+ax+b0恒成立，即有=a24b0，即可求得a=2，b=1，可得f（x）的解析式；（）求得g（x）的解析式，运用单调性定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；假设存在正实数mn，当mxn时函数g（x）的值域为m+2，n+2对m，n讨论，结合单调性和最值，得到方程，解方程即可判断【解答】解：（）f（1）=2，可得1（a+2）+b=2，即有b=a1，对于xr，f（x）2x恒成立，即为x2+ax+b0恒成立，即有=a24b0，即为a24（a1）0，可得a=2，b=1则f（x）=x2+4x+1；（）设函数g（x）=4=x+，证明：设1x1