高中数学 第一章 三角函数 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性课件 北师大版必修4.ppt

4 1单位圆与任意角的正弦函数 余弦函数的定义4 2单位圆与周期性 学习目标1 理解任意角的正弦函数 余弦函数的定义及其应用 2 掌握同角的正弦 余弦函数值间的关系 3 理解周期函数的定义 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一任意角的正弦函数和余弦函数 使锐角 的顶点与原点o重合 始边与x轴的非负半轴重合 在终边上任取一点p pm x轴于m 设p x y op r 思考1 角 的正弦 余弦分别等于什么 答案 思考2 对确定的锐角 sin cos 的值是否随p点在终边上的位置的改变而改变 答案 答案不会 思考3 若取 op 1时 sin cos 的值怎样表示 答案 答案sin y cos x 1 对于任意角 使角 的顶点与原点重合 始边与x轴的非负半轴重合 终边与单位圆交于唯一的点p u v 那么点p的定义为角 的正弦函数 记作 点p的定义为角 的余弦函数 记作 2 对于给定的角 点p的纵坐标v 横坐标u都是唯一确定的 所以正弦函数 余弦函数都是以角为自变量 以单位圆上点的坐标为函数值的函数 梳理 纵坐标v v sin 横坐标u u cos 思考 知识点二正弦 余弦函数的定义域 对于任意角 sin cos 都有意义吗 答案 答案由三角函数的定义可知 对于任意角 sin cos 都有意义 梳理 正弦函数 余弦函数的定义域 思考 知识点三正弦 余弦函数值在各象限的符号 根据三角函数的定义 你能判断正弦 余弦函数的值在各象限的符号吗 答案 答案由三角函数定义可知 在平面直角坐标系中 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点p u v 则sin v cos u 当 为第一象限角时 v 0 u 0 故sin 0 cos 0 同理可得 在其他象限时三角函数值的符号 梳理 正弦 余弦函数在各象限的符号 思考 知识点四周期函数 由sin x 2k sinx k z 可知函数值随着角的变化呈周期性变化 你能说一下函数的变化周期吗 答案 答案2 4 6 2 等都是函数的周期 梳理 一般地 对于函数f x 如果存在 对定义域内的 x值 都有 我们就把f x 称为周期函数 称为这个函数的周期 特别地 正弦函数 余弦函数是周期函数 称2k k z k 0 为正弦函数 余弦函数的周期 其中2 是正弦函数 余弦函数正周期中的一个 称为 简称为周期 非零实数t 任意一个 f x t f x t 最小 最小正周期 题型探究 命题角度1已知角 终边上一点坐标求三角函数值例1已知 终边上一点p x 3 x 0 且cos x 求sin 的值 解答 类型一正弦函数 余弦函数定义的应用 x 0 x 1 当x 1时 p 1 3 当x 1时 p 1 3 1 已知角 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 先利用直线与单位圆相交 求出交点坐标 然后再利用正 余弦函数的定义求出相应的三角函数值 在 的终边上任选一点p x y 设p到原点的距离为r r 0 则sin cos 当已知 的终边上一点求 的三角函数值时 用该方法更方便 2 当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时 要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论 反思与感悟 跟踪训练1已知角 的终边过点p 3a 4a a 0 求2sin cos 的值 解答 若a 0 则r 5a 角 在第二象限 若a 0 则r 5a 角 在第四象限 命题角度2已知角 终边所在直线求三角函数值例2已知角 的终边在直线y 3x上 求10sin 的值 解答 解由题意知 cos 0 设角 的终边上任一点为p k 3k k 0 则 在解决有关角的终边在直线上的问题时 应注意到角的终边为射线 所以应分两种情况处理 取射线上异于原点的任意一点的坐标的 a b 则对应角的三角函数值分别为sin cos 反思与感悟 跟踪训练2已知角 的终边在直线y x上 求sin cos 的值 解答 若a 0 则 为第一象限角 r 2a 若a 0 则 为第三象限角 r 2a 例3 1 若 是第二象限角 则点p sin cos 在a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 类型二正弦 余弦函数值符号的判断 答案 解析 解析 为第二象限角 sin 0 cos 0 点p在第四象限 故选d 2 判断下列各式的符号 sin145 cos 210 解答 解 145 是第二象限角 sin145 0 210 360 150 210 是第二象限角 cos 210 0 sin145 cos 210 0 sin3 cos4 解答 sin3 0 cos4 0 sin3 cos4 0 准确确定正弦函数 余弦函数值中角所在象限是基础 准确记忆正弦函数 余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键 反思与感悟 跟踪训练3若三角形的两内角a b 满足sinacosb 0 则此三角形必为a 锐角三角形b 钝角三角形c 直角三角形d 以上三种情况都有可能 解析由题意知 a b 0 sina 0 cosb 0 b为钝角 故选b 答案 解析 例4 1 已知函数f x 在其定义域上都满足f x 2 f x 求证 函数f x 是以4为周期的周期函数 类型三周期性 证明 证明 f x 4 f x 2 2 f x 2 f x f x 由周期函数定义知 函数f x 是以4为周期的周期函数 2 已知函数f x 在其定义域上都满足f x 2 求证 函数f x 以4为周期的周期函数 证明 由周期函数定义知 函数f x 是以4为周期的周期函数 1 证明函数是周期函数 只需根据定义 存在非零常数t 对任意定义域内实数x 都有f x t f x 2 一般地 如果f x a f x 那么f x 的周期为2a a 0 如果f x a 那么f x 的周期也为2a a 0 反思与感悟 跟踪训练4若函数y f x x r 满足f x f x a f x a a 0 f 2a 1 求f 14a 的值 解由f x f x a f x a 得f x a f x f x 2a 得f x a f x 2a 0 即f x a f x 2a f x f x 3a 即f x 3a f x f x 6a f x 3a f x t 6a为函数y f x 的一个周期 f 14a f 6a 2 2a f 2a 1 解答 当堂训练 1 已知角 的终边经过点 4 3 则cos 等于 2 3 4 5 1 答案 解析 解析由题意可知x 4 y 3 r 5 2 当 为第二象限角时 的值是a 1b 0c 2d 2 答案 2 3 4 5 1 解析 为第二象限角 sin 0 cos 0 解析 3 设f x 是以1为一个周期的函数 且当x 1 0 时 f x 2x 1 则f 的值为a 2b 0c 1d 3 答案 解析 f x 是以1为一个周期的函数 k z也是f x 的周期 解析 又当x 1 0 时 f x 2x 1 2 3 4 5 1 4 点p sin2016 cos2016 位于第象限 答案 解析 解析 2016 5 360 216 2016 是第三象限角 则sin2016 0 cos2016 0 2 3 4 5 1 三 5 已知角 的终边在直线y 2x上 求sin cos 的值 解答 2 3 4 5 1 解在直线y 2x上任取一点p x 2x x 0 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 规律与方法 1 三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础 要充分理解其内涵 把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关 与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点 2 三角函数值的符