高中数学 第二章 函数 5 简单的幂函数（二）课件 北师大版必修1.pptVIP

5简单的幂函数 二 第二章函数 学习目标1 理解函数奇偶性的定义 2 掌握函数奇偶性的判断和证明方法 3 会应用奇 偶函数图像的对称性解决简单问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 答案 关于y轴对称 关于原点对称 思考 知识点一函数奇偶性的几何特征 下列函数图像中 关于y轴对称的有哪些 关于原点对称的呢 答案 一般地 图像关于y轴对称的函数叫作函数 图像关于原点对称的函数叫作函数 梳理 偶 奇 思考1 知识点二函数奇偶性的定义 为什么不直接用图像关于y轴 原点 对称来定义函数的奇偶性 答案 答案因为很多函数图像我们不知道 即使画出来 细微之处是否对称也难以精确判断 思考2 利用点对称来刻画图像对称有什么好处 答案 答案好处有两点 1 等价 只要所有点均关于y轴 原点 对称 则图像关于y轴 原点 对称 反之亦然 2 可操作 要判断点是否关于y轴 原点 对称 只要代入解析式验证即可 不知道函数图像也能操作 梳理 函数奇偶性的概念 1 偶函数 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫作偶函数 其实质是函数f x 上任一点 x f x 关于y轴的对称点 x f x 也在f x 图像上 2 奇函数 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫作奇函数 其实质是函数f x 上任一点 x f x 关于原点的对称点 x f x 也在f x 图像上 f x f x f x f x 3 由函数奇偶性定义 对于定义域内任一元素x 其相反数 x必须也在定义域内 所以判断函数奇偶性要注意定义域优先原则 即首先要看定义域是否关于原点对称 思考 知识点三奇偶性与单调性 观察偶函数y x2与奇函数y 在 0 和 0 上的单调性 你有何猜想 答案 答案偶函数y x2在 0 和 0 上的单调性相反 奇函数y 在 0 和 0 上的单调性相同 1 若奇函数f x 在 a b 上是增函数 且有最大值m 则f x 在 b a 上是函数 且有最小值 2 若偶函数f x 在 0 上是减函数 则f x 在 0 上是 3 知道了函数的奇偶性 我们可以先研究函数的一半 再利用对称性了解其另一半 从而减少工作量 梳理 增 m 增函数 题型探究 例1判断并证明下列函数的奇偶性 证明 类型一判断函数的奇偶性 证明因为函数的定义域为 x x r且x 1 对于定义域内的 1 其相反数1不在定义域内 故f x 既非奇函数又非偶函数 2 f x x 1 x 1 证明 证明函数的定义域为r 因为函数f x x 1 x 1 x2 1 又f x x 2 1 x2 1 f x 所以函数为偶函数 证明 证明函数的定义域为 1 1 因为对定义域内的每一个x 都有f x 0 所以f x f x 即该函数既是奇函数又是偶函数 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时 首先应看函数定义域是否关于原点对称 即对于定义域内的任意一个x 则 x也一定属于定义域 反思与感悟 跟踪训练1判断并证明下列函数的奇偶性 1 f x x 2 证明 解由 0 得定义域为 2 2 关于原点不对称 故f x 为非奇非偶函数 2 f x x x 证明 解函数的定义域为r 因为f x x x x x f x 所以函数为奇函数 3 f x g x 是定义在r上的奇函数 试判断y f x g x y f x g x y f g x 的奇偶性 证明 解 f x g x 是定义在r上的奇函数 f x g x f x g x f x g x y f x g x 是奇函数 f x g x f x g x f x g x y f x g x 是偶函数 f g x f g x f g x y f g x 是奇函数 命题角度1奇 偶 函数图像的对称性的应用例2定义在r上的奇函数f x 在 0 上的图像如图所示 类型二奇偶性的应用 解答 1 画出f x 的图像 解先描出 1 1 2 0 关于原点的对称点 1 1 2 0 连线可得f x 的图像如图 2 解不等式xf x 0 解答 解xf x 0即图像上横坐标 纵坐标同号 结合图像可知 xf x 0的解集是 2 0 0 2 引申探究把例2中的 奇函数 改为 偶函数 重做该题 解答 解 1 f x 的图像如图所示 2 xf x 0的解集是 2 0 2 鉴于奇 偶 函数图像关于原点 y轴 对称 可以用这一特性去画图 求值 求解析式 研究单调性 反思与感悟 跟踪训练2已知奇函数f x 的定义域为 5 5 且在区间 0 5 上的图像如图所示 解答 1 画出在区间 5 0 上的图像 解 1 如图 在 0 5 上的图像上选取5个关键点o a b c d 分别描出它们关于原点的对称点o a b c d 再用光滑曲线连接即得 2 写出使f x 0的x的取值集合 解答 解由 1 图可知 当且仅当x 2 0 2 5 时 f x 0 使f x 0的x的取值集合为 2 0 2 5 命题角度2应用函数奇偶性求解析式例3函数f x 是定义域为r的奇函数 当x 0时 f x x 1 求当x 0时 f x 的解析式 解设x0 f x x 1 x 1 又 函数f x 是定义域为r的奇函数 f x f x x 1 当x 0时 f x x 1 解答 利用函数的奇偶性求函数解析式已知函数f x 在区间 a b 上的解析式 求函数f x 在区间 b a 上的解析式的一般方法 1 设 设 b x a 则a x b 2 求f x 根据已知条件f x 在区间 a b 上的解析式可求得f x 的解析式 3 求f x 根据函数f x 的奇偶性来实现函数的解析式在f x 与f x 之间的相互转化 反思与感悟 跟踪训练3已知y f x 是定义在r上的奇函数 且当x 0时 f x 2x x2 求y f x 的解析式 解答 解设x0 因为f x 是奇函数 所以f x f x 2 x x 2 2x x2 因为y f x 是r上的奇函数 所以f 0 0 命题角度3奇偶性对单调性的影响例4设f x 是偶函数 在区间 a b 上是减函数 试证f x 在区间 b a 上是增函数 证明 证明设x1 x2是区间 b a 上任意两个值 且有x1 x2 b x1 x2 a a x2 x1 b f x 在 a b 上是减函数 f x2 f x1 f x 为偶函数 即f x f x f x2 f x2 f x1 f x1 f x2 f x1 即f x1 f x2 函数f x 在区间 b a 上是增函数 与求解析式一样 证哪个区间上的单调性 设x1 x2属于哪个区间 同样 求哪个区间上的最值 也设x属于哪个区间 反思与感悟 跟踪训练4已知偶函数f x 在 0 上单调递减 f 2 0 若f x 1 0 则x的取值范围是 1 3 答案 解析 解析 f x 为偶函数 f x 1 f x 1 又f 2 0 f x 1 0 即f x 1 f 2 x 1 2 0 且f x 在 0 上单调递减 x 1 2 即 2 x 1 2 x的取值范围为 1 3 当堂训练 1 下列函数为偶函数的是a f x x 1b f x x2 xc f x 2x 2 xd f x 2x 2 x 答案 2 3 4 5 1 解析 解析d中 f x 2 x 2x f x f x 为偶函数 2 函数f x x 1 x 1 的奇偶性是a 奇函数b 偶函数c 非奇非偶函数d 既是奇函数又是偶函数 答案 2 3 4 5 1 3 已知函数y f x x是偶函数 且f 2 1 则f 2 等于a 1b 1c 5d 5 答案 2 3 4 5 1 解析 解析函数y f x x是偶函数 x 2时函数值相等 f 2 2 f 2 2 f 2 5 故选d 4 已知f x 是奇函数 且x 0时 f x x 1 则x 0时f x 等于a x 1b x 1c x 1d x 1 答案 2 3 4 5 1 5 定义在r上的偶函数f x 在 0 上是增函数 若f a bc a b 0 2 3 4 5 1 答案 规律与方法 1 两个定义 对于f x 定义域内的任意一个x 如果都有f x f x f x f x 0 f x 为奇函数 如果都有f x f x f x f x 0 f x 为偶函数 2 两个性质 函数为奇函数 它的图像关于原点对称 函数为偶函数 它的图像关于y轴对称 3 证明一个函数是奇函数 必须对f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 而证明一个函数不是奇函数 只要能举出一个反例就可以了 4