高中数学 第四章 导数应用 2.2 最大值、最小值问题（二）课件 北师大版选修11.ppt

第四章 2导数在实际问题中的应用 2 2最大值 最小值问题 二 学习目标1 了解导数在解决实际问题中的作用 2 会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点生活中的优化问题 1 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为 2 利用导数解决优化问题的实质是求函数最值 3 解决优化问题的基本思路 上述解决优化问题的过程是一个典型的过程 优化问题 数学建模 题型探究 命题角度1平面几何中的最值问题例1如图 要设计一张矩形广告 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 即图中阴影部分 这两栏的面积之和为18000cm2 四周空白的宽度为10cm 两栏之间的中缝空白的宽度为5cm 怎样确定广告的高与宽的尺寸 单位 cm 能使矩形广告面积最小 类型一几何中的最值问题 解答 设广告的高和宽分别为xcm ycm 令s 0得x 140 令s 0得20 x 140 函数在 140 上是增加的 在 20 140 上是减少的 s x 的最小值为s 140 当x 140时 y 175 即当x 140 y 175时 s取得最小值24500 故当广告的高为140cm 宽为175cm时 可使广告的面积最小 平面图形中的最值问题一般涉及线段 三角形 四边形等图形 主要研究与面积相关的最值问题 一般将面积用变量表示出来后求导数 求极值 从而求最值 反思与感悟 跟踪训练1如图所示 在二次函数f x 4x x2的图像与x轴所围成图形中有一个内接矩形abcd 求这个矩形面积的最大值 解答 设点b的坐标为 x 0 且0 x 2 f x 4x x2图像的对称轴为x 2 点c的坐标为 4 x 0 bc 4 2x ba f x 4x x2 矩形面积为y 4 2x 4x x2 16x 12x2 2x3 y 16 24x 6x2 2 3x2 12x 8 命题角度2立体几何中的最值问题例2请你设计一个包装盒如图所示 abcd是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得abcd四个点重合于图中的点p 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 e f在ab上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点 设ae fb xcm 1 若广告商要求包装盒侧面积s最大 则x应取何值 解答 当且仅当x 30 x 即x 15时 等号成立 所以若广告商要求包装盒侧面积s最大 则x 15 2 若广告商要求包装盒容积v最大 则x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 解答 令v 0 得0 x 20 令v 0 得20 x 30 1 立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积 体积 并在此基础上解决与实际相关的问题 2 解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式 如果已知图形是由简单几何体组合而成 则要分析其组合关系 将图形进行拆分或组合 以便简化求值过程 反思与感悟 跟踪训练2把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个无盖的正三角形铁皮箱 当箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 解答 这个极大值就是函数v x 的最大值 命题角度1利润最大问题例3某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 类型二实际生活中的最值问题 解答 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解答 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 从而f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可得 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 即当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 解决此类有关利润的实际应用题 应灵活运用题设条件 建立利润的函数关系 常见的基本等量关系有 1 利润 收入 成本 2 利润 每件产品的利润 销售件数 反思与感悟 跟踪训练3某产品每件成本9元 售价30元 每星期卖出432件 如果降低价格 销售量可以增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x 单位 元 0 x 21 的平方成正比 已知商品单价降低2元时 每星期多卖出24件 1 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数 解答 若商品降低x元 则一个星期多卖的商品为kx2件 由已知条件 得k 22 24 解得k 6 若记一个星期的商品销售利润为f x 则有f x 30 x 9 432 6x2 6x3 126x2 432x 9072 x 0 21 2 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 解答 由 1 知 f x 18x2 252x 432 x 0 21 令f x 0 则x1 2 x2 12 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 12时 f x 取得极大值 f 0 9072 f 12 11664 定价为30 12 18 元 能使一个星期的商品销售利润最大 命题角度2费用 用材 最省问题例4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元 该建筑物每年的能源消耗费用c 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 c x 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 设f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 解答 而建造费用为c1 x 6x 因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 解答 当00 故x 5为f x 的最小值点 对应的最小值为 即当隔热层修建5cm厚时 总费用达到最小值为70万元 1 用料最省 成本最低问题是日常生活中常见的问题之一 解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象 正确书写函数表达式 准确求导 结合实际作答 2 利用导数的方法解决实际问题 当在定义区间内只有一个点使f x 0时 如果函数在这点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道在这个点取得最大 小 值 反思与感悟 跟踪训练4据统计 某种型号的汽车在匀速行驶时 每小时的耗油量y 升 关于行驶速度x 千米 时 的函数解析式可以表示为y 8 0 x 120 已知甲 乙两地相距100千米 1 当汽车以40千米 时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 解答 即当汽车以40千米 时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油17 5升 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少耗油多少升 解答 设耗油量为h x 升 依题意得 令h x 0 得x 80 当x 0 80 时 h x 0 h x 是增加的 所以当x 80时 h x 取到极小值为h 80 11 25 因为h x 在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 故当汽车以80千米 时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为11 25升 当堂训练 1 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为y x3 81x 234 则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为a 13万件b 11万件c 9万件d 7万件 2 3 4 5 1 x 0 y x2 81 9 x 9 x 令y 0 解得x 9 x 0 9 时 y 0 x 9 时 y 0 y先增后减 当x 9时函数取最大值 故选c 答案 解析 2 在某城市的发展过程中 交通状况逐渐受到更多的关注 据有关统计数据显示 从上午6时到9时 车辆通过该市某一路段的用时y 分钟 与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y 则在这段时间内 通过该路段用时最多的时刻是a 6时b 7时c 8时d 9时 2 3 4 5 1 答案 解析 当t 6 8 时 y 0 当t 8 9 时 y 0 故t 8时 y取最大值 2 3 4 5 1 3 某公司生产某种产品 固定成本为20000元 每生产1件产品 成本增加100元 已知总收益r 元 与年产量x 件 的关系是r x 则总利润p x 最大时 每年生产的产品是a 100件b 150件c 200件d 300件 答案 解析 2 3 4 5 1 令p x 0 得x 300 易知当x 300时 总利润最大 2x3 2 2x2 1 6x x 0 1 6 所以v 6x2 4 4x 1 6 当0 x 1时 v 0 当1 x 1 6时 v 0 所以当x 1时 容器的容积取得最大值 2 3 4 5 1 4 用总长为14 8m的钢条制作一个长方体容器的框架 若该容器的底面一边比高长出0 5m 则当高为 m时 容器的容积最大 答案 解析 1 2 3 4 5 1 令y 0