江西师大附中高三数学上学期期中考试试题 理（含解析）新人教A版.doc

江西师大附中2013届高三上学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确.1（5分）已知集合，则mn=（）a0，+）b2，2c0，2d考点：交集及其运算.分析：先化简集合m、n，再根据交集的定义求出结果即可解答：解：集合m=x|=2，2集合n=y|y=lg（x2+1）=0，+）mn=0，2故选：c点评：本题将圆锥曲线与集合巧妙地交汇在一起，联想起其图象与性质（范围）即可快速作答2（5分）已知复数z1=1i，z2=2+i，则复数对应的点位于复平面内的（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义.专题：计算题分析：由题意化简z可得z=24i，可得对应的点位于复平面内的第四象限解答：解：z1=1i，z2=2+i，=（1i）2（2+i）=（12i+i2）（2+i）=24i，因为点（2，4）位于第四象限，故对应的点位于复平面内的第四象限，故选d点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算及几何意义，属基础题3（5分）下列说法中，不正确的是（）a命题p：xr，sinx1，则p：xr，sinx1b在abc中，“a30”是“sina”的必要不充分条件c命题p：点为函数的一个对称中心命题q：如果，那么在方向上的投影为1则（p）（q）为真命题d命题“在abc中，若sina=sinb，则abc为等腰三角形”的否命题为真命题考点：命题的真假判断与应用.专题：三角函数的图像与性质分析：根据全称命题的否定方法写出原命题的否定命题可判断a的真假；根据正弦函数的图象和性质，结合三角形内角的范围及充要条件的定义，可判断b的真假；根据正切函数的图象和性质及投影的定义，可判断命题p与命题q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可判断c的真假；根据四种命题的定义，写出原命题的否命题，可判断d的真假解答：解：命题p：xr，sinx1的否定是：xr，sinx1，故a正确；在abc中，若a150此时sina，故“a30”是“sina”的不充分条件，但“sina”时，30a150，故“a30”是“sina”的必要条件，故b正确；函数的对称中心坐标为（+，0），kz，令+=，则k=z，故命题p为假命题；，则那么在方向上的投影为2cos120=1，故命题q为假命题；则（p）（q）为真命题，故c正确；命题“在abc中，若sina=sinb，则abc为等腰三角形”的否命题为“在abc中，若sinasinb，则abc为不等腰三角形”，当a=c=45时，sinasinb，但三角形为等腰三角形，故为假命题，故d错误故选d点评：本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的图象和性质熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键4（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面、，有下列命题：若mn，m，则n； 若m，n，mn，则； 若m、n是两条异面直线，m，n，m，n，则； 若，=m，n，nm，则n其中正确命题的个数是（）a1b2c3d4考点：平面与平面之间的位置关系.专题：证明题分析：直线与平面的位置关系有三种：平行，相交，在平面内，此命题中n可能在平面内，故错误；利用“垂直于同一条直线的两平面平行即可判断正确；利用线面垂直的判定定理，先证明平面内有两条相交直线与平面平行，再由面面平行的判定定理证明两面平行，正确；若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，由此性质定理即可判断正确解答：解：若mn，m，则n可能在平面内，故错误m，mn，n，又n，故正确过直线m作平面交平面与直线c，m、n是两条异面直线，设nc=o，m，m，=cmc，m，c，c，n，c，nc=o，c，n；故正确由面面垂直的性质定理：，=m，n，nm，n故正确故正确命题有三个，故选c点评：本题综合考查了直线与平面的位置关系，面面平行的判定定理及结论，面面垂直的性质定理等基础知识5（5分）（2010茂名二模）如图，在abc中，ab=bc=4，abc=30，ad是边bc上的高，则的值等于（）a0b4c8d4考点：平面向量数量积的运算.专题：数形结合分析：通过解直角三角形求出边ad，利用向量的运算法则、向量垂直的充要条件、向量的数量积公式求出解答：解：因为ab=bc=4，abc=30，ad是边bc上的高，所以ad=4sin30=2所以=（+）=+=24=4，故选b点评：本题考查向量的运算法则、向量垂直的充要条件、向量的数量积公式6（5分）若不等式a|t1|t2|对任意tr恒成立，则函数的单调递减区间为（）ab（3，+）cd（，2）考点：函数恒成立问题；复合函数的单调性.专题：综合题；函数的性质及应用分析：由不等式a|t1|t2|对任意tr恒成立，知a1从而得到01由此能求出函数的单调递减区间解答：解：设y=|t1|t2|，由t1=0，得t=1；由t2=0，得t=2当t2时，y=t1t+2=1；当1t2时，y=t12+t=2t31，1）；当t1时，y=1t2+t=1y=|t1|t2|的值域是1，1不等式a|t1|t2|对任意tr恒成立，a101函数，x25x+60，解得x3，或x2m=x25x+6是开口向上，对称轴为x=的抛物线，函数的单调递减区间为（3，+）故选b点评：本题考查函数的单调减区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意绝对值的性质、对数函数性质和复合函数的单调等知识点的灵活运用7（5分）设f（x）为函数f（x）的导函数，且，则与的大小关系是（）abcd不能确定考点：不等关系与不等式；导数的运算.专题：计算题；导数的概念及应用分析：由f（x）为函数f（x）的导函数，且，知f（x）=cosx+2f（），把x=代入解得f（x）=cosx1由此能比较与的大小关系解答：解：f（x）为函数f（x）的导函数，且，f（x）=cosx+2f（），=cos+2，解得=f（x）=cosx1由f（x）=cosx1=0，得x=0+2k，kz当x（0，）时，f（x）0，当x（0，）时，f（x）是减函数，故选c点评：本题考查导数的性质和应用，解题的关键是推导出=解题时要注意三角函数性质的合理运用8（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则a+b的最小值为（）abcd4考点：基本不等式；简单线性规划的应用.专题：数形结合分析：画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数的最大值为2，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值解答：解：满足约束条件的区域是一个四边形，如图，4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（1，4），由图易得目标函数在（1，4）取最大值2，即，a+b=（a+b）（）=（5+）a0，b0，=4当且仅当时，的最小值问4a+b的最小值为故选a点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解9（5分）如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为v1，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为v2，则v1：v2=（）abcd考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题；空间位置关系与距离分析：判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，由此能求出结果解答：解：三视图复原的几何体如图，它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是2，该几何体的外接球的体积v1=（）3=v2=2（）=，v1：v2=：=4故选d点评：本题考查三视图求几何体的外接球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题10（5分）若数列an满足（p为常数，n2，nn*），则称数列an为等方差数列，p为公方差，已知正数等方差数列an的首项a1=1，且a1，a2，a5成等比数列，a1a2，设集合，取a的非空子集b，若b的元素都是整数，则b为“完美子集”，那么集合a中的完美子集的个数为（）a64b63c32d31考点：等比关系的确定；子集与真子集.专题：新定义；等差数列与等比数列分析：根据正数等方差数列an的首项a1=1，且a1，a2，a5成等比数列，a1a2，确定数列的通项，利用裂项法求和，可得a中的整数元素为1，2，3，4，5，6，即可求得结论解答：解：设数列an为正数等方差数列，p为公方差，则，a1=1，a2=，a5=a1，a2，a5成等比数列，1+p=p=0或p=2a1a2，p=2an=（）=（1）a中的整数元素为1，2，3，4，5，6a的非空子集b，若b的元素都是整数，集合a中的完美子集的个数为261=63故选b点评：本题考查新定义，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.11（5分）（2010上饶模拟）a（，0），总x0使得acosx+a0成立，则的值为考点：两角和与差的正弦函数.专题：计算题分析：先根据已知条件可知cosx01求得x0的值，代入即可解答：解：a（，0），acosx0+a0cosx01x0=2k+=sin（4k+2）=sin=故答案为点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值属基础题12（5分）已知，且关于x的方程有实根，则与的夹角的取值范围是 考点：数量积表示两个向量的夹角.专题：计算题分析：利用二次方程有实根的充要条件列出方程，利用向量的数量积公式及已知条件求出夹角解答：解：设两向量的夹角为有实根即故答案为：点评：本题考查二次方程有实根的充要条件：0；向量的数量积公式13（5分）（2011陕西）设f（x）=若f（f（1）=1，则a=1考点：函数的值.专题：计算题分析：先根据分段函数求出f（1）的值，然后将0代入x0的解析式，最后根据定积分的定义建立等式关系，解之即可解答：解：f（x）=f（1）=0，则f（f（1）=f（0）=1即0a3t2dt=1=t3|0a=a3解得：a=1故答案为：1点评：本题主要考查了分段函数的应用，以及定积分的求解，同时考查了计算能力，属于基础题14（5分）已知f（x）是定义在r上连续的偶函数，f（x）的图象向右平移一个单位长度又得到一个奇函数，且f（2）=1则f（8）+f（9）+f（10）+f（2012）=1考点：函数奇偶性的性质.专题：函数的性质及应用分析：由题意知偶函数f（x）的关系式f（x）=f（x），又得f（x+1）=f（x1），f（x）在右移之前有对称中心（1，0），故函数f（x）存在周期t=4，在利用题中的条件得到函数在一个周期内的数值，利用周期性即可求解解答：解：f（x）是r上的偶函数，f（x）=f（x） 用x+1换x，即f（x+1）=f（x1）将f（x）的图象向右平移一个单位后，得到一个奇函数的图象，函数f（x）的图象的对称中心（1，0），有f（1）=0，且f（1x）=f（1+x） 由得f（x+1）=f（1+x），可得f（x+2）=f（x），得到f（x+4）=f（x），函数f（x）存在周期t=4，f（2）=1，f（1）=0，利用条件可以推得：f（1）=f（1）=0，f（2）=1=f（0），f（3）=f（41）=0，f（3）=f（3）=0，f（4）=f（0）=1，所以在一个周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，f（8）+f（9）+f（10）+f（2012）=f（8）=f（4）=1故答案为：1点评：此题考查了利用函数的对称性及奇偶性找到函数的周期，深刻理解以上性质是解决问题的关键，再利用已知的条件求出一个周期内的函数值15（5分）（2013杨浦区一模）在平面直角坐标系xoy中，设直线和圆x2+y2=n2相切，其中m，nn，0|mn|1，若函数f（x）=mx+1n的零点x0（k，k+1）kz，则k=0考点：直线与圆的位置关系；函数的零点.专题：计算题分析：根据直线和圆相切知圆心到直线的距离等于半径，得到关于m和n的一个关系，又有m，nn，0|mn|1，得到m和n的值，代入所给的函数式，那么本题就变化为求一个函数的零点的范围，两边取对数，写出x的表示式，根据对数的图象得到范围解答：解：直线和圆x2+y2=n2相切，圆心到直线的距离是半径n，2m=2n，m，nn，0|mn|1，m=3，n=4，函数f（x）=mx+1n=3x+14，要求函数的零点所在的区间，令f（x）=0，即3x+14=0，3x+1=4，x+1=log34，x=log341log34（1，2）x（0，1）k=0故答案为：0点评：本题考查直线和圆的位置关系，考查函数的零点，解决本题还要有归纳整理的能力，本题是一个综合题，运算量不大但是解题时技巧性比较强，是一个好题三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）在abc中，角a，b，c的对边为a，b，c，点（a，b）在直线x（sinasinb）+ysinb=csinc上（i）求角c的值；（ii）若a2+b2=6（a+b）18，求abc的面积考点：正弦定理的应用；余弦定理.专题：计算题分析：（i）由正弦定理，将已知等式的正弦转化成边，可得a（ab）+b2=c2，即a2+b2c2=ab再用余弦定理可以算出c的余弦值，从而得到角c的值；（ii）将a2+b2=6（a+b）18化简整理，得a=b=3，结合c=可得abc是边长为3的等边三角形，由此不难用等边三角形的面积计算公式求出abc的面积s解答：解：（i）由题得a（sinasinb）+bsinb=csinc，由正弦定理得a（ab）+b2=c2，即a2+b2c2=ab余弦定理得cosc=，c（0，），c=（6分）（ii）a2+b2=6（a+b）18，（a3）2+（b3）2=0，从而a=b=3c=，abc是边长为3的等边三角形，可得abc的面积s=32=（12分）点评：本题在abc中给出边与角的正弦的等式，要我们求角的大小并且由此求三角形的面积，着重考查了正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于基础题17（12分）一盒中装有分别标记着1，2，3，4的4个小球，每次从袋中取出一只球，设每只小球被取出的可能性相同（1）若每次取出的球不放回盒中，现连续取三次球，求恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球的概率；（2）若每次取出的球放回盒中，然后再取出一只球，现连续取三次球，这三次取出的球中标号最大数字为，求的分布列与数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列.专题：计算题分析：（1）四个球中取三个，由于小球编号不同，故取法共有a43，若第三次取出的标号为最大数字，此数字可能是3或4，分别求出符合题意的种数即可；（2）的取值为1、2、3、4，然后根据 求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式进行求解即可解答：解：（1）当恰好第三次取出的球的标号为最大数字时，则第三次取出的球可能是3或4得p=（2）的可能取值为1，2，3，4，的分布列为：1234p故 点评：本题考查概率的性质和应用、离散型随机变量及其分布列，解题时要认真审题，仔细解答，注意离散型随机变量概率分布列的求法，属于中档题18（12分）如图（甲），在直角梯形abed中，abde，abbe，abcd，且bc=cd，ab=2，f、h、g分别为ac，ad，de的中点，现将acd沿cd折起，使平面acd平面cbed，如图（乙）（1）求证：平面fhg平面abe；（2）记bc=x，v（x）表示三棱锥bace的体积，求v（x）的最大值；（3）当v（x）取得最大值时，求二面角dabc的余弦值pn（xn，yn）考点：平面与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题.专题：计算题分析：（1）欲证平面fhg平面abe，只需证明线面平行，故只需要在平面fhg中寻找两条相交直线与平面平行；（2）由于平面acd平面cbed 且accd，所以ac平面cbed，故可表示三棱锥bace的体积，利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件；（3）求解二面角dabc的余弦值，建立空间直角坐标系，利用向量法求解，分别求出平面acb的法向量，平面abd的法向量，利用可以求解解答：解：（1）证明：由图（甲）结合已知条件知四边形cbed为正方形如图（乙）f、h、g分别为ac，ad，de的中点fhcd，hgae（1分）cdbefhbebe面abe，fh面abefh面abe（3分）同理可得hg面abe又fhhg=h平面fhg平面abe（4分）（2）平面acd平面cbed 且accdac平面cbed（5分）v（x）=vabce=bc=xac=2x（0x2）v（x）=（7分）v（x）当且仅当x=42x即时取“=”v（x）的最大值为（9分）（3）以点c为坐标原点，cb为x轴建立空间直角坐标系如右图示：由（2）知当v（x）取得最大值时，即bc=这时ac=，b，（10分）平面acb的法向量设平面abd的法向量为，（11分）由，得，令c=1得（12分）设二面角dabc为，则（14分）点评：本题的考点是面面平行的判断，主要考查证明面面平行，考查几何体的体积，考查二面角的平面角，关键是正确运用面面平行的判定，利用向量法求面面角，关键是求出相应的法向量19（12分）等差数列an的各项均为正数，a1=3，前n项和为sn，bn为等比数列，b1=1，且b2s2=64，b3s3=960（1）求an与bn；（2）若不等式对nn*成立，求最小正整数m的值考点：等差数列与等比数列的综合.专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）设an的公差为d，bn的公比为q，结合b2s2=64，b3s3=960，求出公差与公比，即可求an与bn；（2）利用裂项法求和，从而可得不等式，即可求最小正整数m的值解答：解：（1）设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正整数，an=3+（n1）d，依题意，b2s2=64，b3s3=960，解得，或（舍去） 故（2）sn=3+5+（2n+1）=n（n+2）=m2012，所以所求m的最小正整数是2012点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（13分）（2011万州区一模）已知动圆c过点a（2，0），且与圆m：（x2）2+y2=64相内切（1）求动圆c的圆心的轨迹方程；（2）设直线l：y=kx+m（其中k，mz）与（1）所求轨迹交于不同两点b，d，与双曲线交于不同两点e，f，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程.专题：综合题；压轴题分析：（1）由|am|=4r得点a（2，0）在圆m内，设动圆c的半径为r，依题意得r=|ca|，且|cm|=rr，|cm+|ca|=8|am|，由定义得圆心c的轨迹是中心在原点，以a，m两点为焦点，长轴长为8的椭圆，再根据a，b，c的关系解答即可（2）直线l：y=kx+m与交于不同两点b，d，即x1+x2=同理得x3+x4=又因为所以（x4x2 ）+（x3x1）=0即x1+x2=x3+x4，2km=0或又其中k，mz即可求出k，m的数值解答：解：（1）圆m：（x2）2+x2=64，圆心m的坐标为（2，0），半径r=8|am|=4r，点a（2，0）在圆m内，设动圆c的半径为r，圆心为c，依题意得r=|ca|，且|cm|=rr，即圆心c的轨迹是中心在原点，以a，m两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为（ab0），则a=4，c=2，b2=a2c2=12，所求动圆c的圆心的轨迹方程为（2）由消去y 化简整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m248=0，设b（x1，y1），d（x2，y2），则x1+x2=1=（8km）24（3+4k2） （4m248）0由消去y 化简整理得：（3k2）x22kmxm212=0，设e（x3，y3），f（x4，y4），则x3+x4=2=（2km）2+4（34k2） （m2+12）0，（x4x2 ）+（x3x1）=0，即x1+x2=x3+x4，2km=0或，解得k=0或m=0，当k=0时，由、得，mz，m的值为3，2，1，0，1，2，3；当m=0时，由、得，kz，k=1，0，1满足条件的直线共有9条点评：本题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、类与整的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识21（14分）设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a0）（1）若f（1）=g（1），f（1）=g（1），求g（x）的解析式；（2）在（1）的结论下，是否存在实常数k和m，使得f（x）kx+m和g（x）kx+m？若存在，求出k和m的值若不存在，