江苏省扬州市高考数学考前指导 函数题.doc

江苏省扬州市2015年高考数学考前指导 函数题三道函数题1. 设函数f（x）=x3+ax2a2x+m（a0）（1）若函数f（x）在x1，1内没有极值点，求实数a的取值范围；（2）a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；（3）若对任意的a3，6，不等式f（x）1在x2，2上恒成立，求实数m的取值范围解题分析（1）要使函数f（x）在x1，1内没有极值点，只需f（x）=0在1，1上没有实根即可，即f（x）=0的两根x=a或x=不在区间1，1上；（2）a=1时，f（x）=x3+x2x+m，f（x）有三个互不相同的零点，即m=x3x2+x有三个互不相同的实数根，构造函数确定函数的单调性，求函数的极值，从而确定m的取值范围；（3）求导函数，来确定极值点，利用a的取值范围，求出f（x）在x2，2上的最大值，再求满足f（x）1时m的取值范围解：（1）f（x）=x3+ax2a2x+m（a0），f（x）=3x2+2axa2，f（x）在x1，1内没有极值点，方程f（x）=3x2+2axa2=0在1，1上没有实数根，由=4a212（a2）=16a20，二次函数对称轴x=0，当f（x）=0时，即（3xa）（x+a）=0，解得x=a或x=，或1（a3不合题意，舍去），解得a3，a的取值范围是a|a3；（2）当a=1时，f（x）=x3+x2x+m，f（x）有三个互不相同的零点，f（x）=x3+x2x+m=0，即m=x3x2+x有三个互不相同的实数根令g（x）=x3x2+x，则g（x）=（3x1）（x+1）令g（x）0，解得1x；令g（x）0，解得x1或x，g（x）在（，1）和（ ，+）上为减函数，在（1，）上为增函数，g（x）极小=g（1）=1，g（x）极大=g（ ）=；m的取值范围是（1， ）；（3）f（x）=0时，x=a或x=，且a3，6时，1，2，a（，3；又x2，2，f（x）在2，）上小于0，f（x）是减函数；f（x）在（，2上大于0，f（x）是增函数；f（x）max=maxf（2），f（2），而f（2）f（2）=164a20，f（x）max=f（2）=8+4a+2a2+m，又f（x）1在2，2上恒成立，f（x）max1，即8+4a+2a2+m1，即m94a2a2，在a3，6上恒成立94a2a2在a3，6上是减函数，最小值为87m87，m的取值范围是m|m872、已知函数f（x）=cos（x），g（x）=exf（x），其中e为自然对数的底数（）求曲线y=g（x）在点（0，g（0）处的切线方程；（）若对任意x，0，不等式g（x）xf（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；（）试探究当x，时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由解题分析:（）化简f（x）=sinx，g（x）=excosx，g（0）=e0cos0=1；从而由导数的几何意义写出切线方程；（）对任意x，0，不等式g（x）xf（x）+m恒成立可化为mg（x）xf（x）min，x，0，从而设h（x）=g（x）xf（x），x，0，转化为函数的最值问题求解（）设h（x）=g（x）xf（x），x，；从而由函数的单调性及函数零点的判定定理求解函数的零点的个数解：（）由题意得，f（x）=sinx，g（x）=excosx，g（0）=e0cos0=1；g（x）=ex（cosxsinx），g（0）=1；故曲线y=g（x）在点（0，g（0）处的切线方程为y=x+1；（）对任意x，0，不等式g（x）xf（x）+m恒成立可化为mg（x）xf（x）min，x，0，设h（x）=g（x）xf（x），x，0，则h（x）=ex（cosxsinx）sinxxcosx=（exx）cosx（ex+1）sinx，x，0，（exx）cosx0，（ex+1）sinx0；故h（x）0，故h（x）在，0上单调递增，故当x=时，hmin（x）=h（）=；故m；（）设h（x）=g（x）xf（x），x，；则当x，时，h（x）=ex（cosxsinx）sinxxcosx=（exx）cosx（ex+1）sinx0，故h（x）在，上单调递减，故函数h（x）在，上至多有一个零点；又h（）=（）0，h（）=0；且h（x）在，上是连续不断的，故函数h（x）在，上有且只有一个零点3.已知函数（i）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（ii）当m=1，且1ab0时，证明：解：（i）， 2分对，故不存在实数m，使对恒成立， 由对恒成立得，对恒成立而0，故m0经