4.2二元方差分析.doc

4.2 二元方差分析非重复试验的二元方差分析 问题：已知有因子,影响试验指标，其水平分别取种，在每一种水平组合下只做了1次试验（非重复试验），结果数据（试验指标）记为, ,，如下表因子因子 其中所有相互独立，且设. 考察因子,分别对试验指标的影响是否显著？注意：一元方差分析中是因子取水平时的第次试验值；而这里是因子取水平、因子取水平时的试验值，因此上表同一行的并不具有相同分布.（1） 在母体上作假设对的分解因子因子 上表中，总平均值；因子取水平时对试验指标的效应，表示水平在母体平均数上引起的偏差；因子取水平时对试验指标的效应，表示水平在母体平均数上引起的偏差。效应间有如下关系：；. （事实上，类似可证.）记为 (4.2.1)其中，表示水平组合对试验指标的总效应减去因子的效应，再减去因子的效应的所得对试验指标的交互效应；且 (4.2.2)（事实上，类似可证得.）特别，如果在实际问题中已知不存在交互作用，或交互作用对试验指标的影响很小，则可以不考虑交互作用，即认为. 此时(4.2.1)式简化为 (4.2.3)不考虑交互作用时的数学模型： (4.2.4)在上述母体上作假设 (4.2.5)由(4.2.3)式知，当成立时， 与无关，表明因子的影响不显著；当成立时，与无关，表明因子的影响不显著.（2）找检验统计量平方和分解令：总离差平方和 则：（可以证明三个交叉乘积项的和为零）记：因子引起的离差平方和；因子引起的离差平方和； 误差平方和.于是有平方和分解 (4.2.6)即：总离差平方和可以分解为因子引起的离差平方和、因子引起的离差平方和、以及误差平方和之和。检验统计量由分解定理可得，当、均成立时：，；且它们相互独立。于是 (4.2.7)以为检验时的检验统计量；以为检验时的检验统计量。 其中：称为因子引起的均方离差； 称为因子引起的均方离差；称为均方误差。（3）写出拒绝域的拒绝域：的拒绝域： (4)使用计算器进行二元方差分析的计算步骤由试验数据填写下表因子因子 ,为求，可借助于以下辅助表1212将上表红框中的数据求平方和即可（可用计算器的统计功能完成）.列出方差分析表：来 源平方和自由度均方离差值临界值因子因子误差总和Tr-1s-1(r-1)(s-1)rs-1写出关于因子,对试验指标影响显著与否的判断。例4.2.1（P170Ex8） 在,四台不同的纺织机器中，采用不同的加压水平,，在每种加压水平和每台机器中各取一个试样测量，得到纱支强度如下表： 机器加压157715351592169216401652180017831810164216211663问：不同加压水平、不同机器之间的差异是否显著（）？解：试验指标纱支强度；因子加压水平，；因子机器，由已知数据填写下表机器加压1577153515921692164016521800178318101642162116631677.751644.751679.2510.522.51215681661.331797.67164299.255.92130.1225.25123411.520.178.1710.5210.51.177.831.531221.330.339于是 .给定，列方差分析表：来源平方和自由度均方离差值临界值显著性因子因子误差总和304282597.661437.987078.25152127532.55239.656.35114.8810.929.78不显著显著结论：加压水平因素对纱支强度无显著影响；机器因素对纱支强度有显著影响。例4.2.2（P170Ex7） 为了对非重复试验的二元方差分析作简化计算，做变换. 这里是常数，且. 试用表示与的值。解：由，得，于是，故；.从而； ；.所以，.亦即：利用变换后的数据进行方差分析中的显著性检验，所得结果将与利用原数据的完全相同。在例4.2.1中，令，则已知数据化为 机器加压773592192140152300283310142121163利用上表中的数据进行计算将更简便。等重复试验的二元方差分析 问题：已知有因子,，其水平分别取种，在每一种组合下均做了次试验，试验结果服从正态分布且方差相同。问：因子,分别对试验结果有无显著影响？因子间的组合对试验结果有无显著影响（即两因子间有无显著交互作用）？（1）在母体上作假设数学模型设水平组合下第次试验的指标值，（ ）且所有相互独立。记：，则有 (4.2.8) 在上述母体上作如下假设 (4.2.9)当成立时，意味着因子对试验指标无显著影响；当成立时，意味着因子对试验指标无显著影响；当成立时，意味着因子,对试验指标无显著交互作用。（3）找出检验统计量：平方和分解由试验值构造下表因子因子令：总离差平方和；因子引起的离差平方和；因子引起的离差平方和；交互作用的离差平方和；误差平方和，则有平方和分解 (4.2.10)检验统计量及其分布当均成立时，由分解定理可证：，且相互独立。于是 (4.2.11)分别作为检验时的检验统计量，其中： 因子引起的均方离差；因子引起的均方离差；交互作用的均方离差；均方误差。（4）给定时的拒绝域：的拒绝域的拒绝域的拒绝域（5）方差分析表：来源平方和自由度均方离差值临界值因子因子交互误差总和r-1s-1(r-1)(s-1)rs(c-1)rsc-1例4.2.2 下表记录了三位操作工分别在四台不同机器上各操作三天的日产量.工人机器甲乙丙15 15 1717 17 1715 17 1618 20 2219 19 1615 15 1518 17 1615 16 1716 18 2119 22 2218 18 1817 17 17试在显著水平下检验工人之间、机器之间的差异以及交互作用的影响是否显著？解：，由已知数据的下表15.671818.33170.4217152117.670.35161718170.4220161717.670.3517.1716.518.580.250.921.161.081.920.170.421.752.170.750.920.162.580.751.830.67,0.67,1.331,1,22.33,0.33,2.670,0,0,0,0,02,1,11,1,01,0,10,0,02,0,21,0,10,0,0， 给定，有临界值；.于是有方差分析表：来源离差平方和自由度均方离差值临界值显著性因子因子误差总和3.1327.466.9247