江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高三数学 椭圆离心率（一）综合训练（教师版）.doc

1 江苏省无锡新领航教育咨询有限公司江苏省无锡新领航教育咨询有限公司 20132013 届高三数学 综合训练届高三数学 综合训练 椭椭 圆离心率 一 圆离心率 一 课前巩固 1 已知函数 且函数在区间 0 1 内取得 32 11 2 32 f xxaxbxc a b cr f x 极大值 在区间 1 2 内取得极小值 则的取值范围为 22 3 zab 解析 试题分析 2 2 fxxaxb 因为函数在区间 0 1 内取得极大值 f x 在区间 1 2 内取得极小值 所以 0 0 1 0 2 0 f f f 即画出可行域如图所示 为可行域内的点到的距离 0 210 20 b ab ab 22 3 zab 3 0 的平方 由图可知 距离的最小值为距离的最大值为 所以 3022 22 2 的取值范围为 22 3 zab 1 4 2 a ox y 210ab 20ab b 考点 本小题主要考查导数与极值的关系以及线性规划的应用 点评 对于此类问题 必须牢固掌握导数的运算 利用导数求单调性以及极值和最值 本题 2 导数与线性规划结合 学生必须熟练应用多个知识点 准确分析问题考查的实质 正确答题 2 已知函数在上是增函数 在上是减函数 22 1ln1xaxxf 1 2 2 1 求函数的解析式 xf 2 若时 恒成立 求实数的取值范围 1 1 1 e e x mxf m 3 是否存在实数 使得方程在区间上恰有两个相异实数根 若b bxxxf 2 2 0 存在 求出的范围 若不存在说明理由 b 答案 1 22 1ln1 xxxf 2 21 2 eefm 3 3ln232ln22 b 解析 试题分析 1 2 12 1 12 22 2 x a x x ax xxf 依题意得 所以 0222 af1 a 从而 4 分 22 1ln1 xxxf 1 22 1 212 2 x xx x x xf 令 得或 舍去 0 x f0 x2 x 因为在递减 在递增 且 xf 1 1 0 e 0 1e 1 1 1 ff e e 所以 8 分 21 2 eefm 设 bxxxxxf 2 22 1ln1 即 bxxxf 11ln 2 2 0 x 又 1 1 1 2 1 x x x xf 令 得 令 得 0 x f21 x 0 x f10 x 所以函数的增区间为 减区间为 xf 2 1 1 0 要使方程有两个相异实根 则有 3 b bf bf bf 03ln232 02ln221 010 解得 12 分3ln232ln22 b 考点 本小题主要考查利用导数求函数的单调区间 利用导数判断函数的单调性 解决有关 方程的综合问题 点评 纵观历年高考试题 利用导数讨论函数单调区间是函数考查的主要形式 是高考热点 是解答题中的必考题目 在复习中必须加强研究 进行专题训练 熟练掌握利用导数判断函 数单调区间的方法 总结函数单调性应用的题型 解法 并通过加大训练强度提高解题能力 3 12 分 在中 角的对边分别为 且abc cba cba bcbacbcoscos3cos 求的值 bcos 若 且 求的值 2 bcba22 bca和 答案 3 1 cos b 6 ca 解析 试题分析 1 第一问中根据正弦定理 化边为角 结合内角和定理 得到 cosb 2 由于利用数量积公式 那么根据第一问的角 b 的余弦值 2cos 2 bacbcba 结合余弦定理得到关于 a c 的方程得到求解 解 由正弦定理得 crcbrbarasin2 sin2 sin2 0sin cossin3sin cossin3 sin cossin3cossincossin cossincossin3cossin cossin2cossin6cossin2 abaabacb babccbbcbacb bcrbarcbr 因此 6 分 3 1 cos b 解 由 2cos 2 bacbcba 0 12 cos2 6 3 1 cos 222 222 cacaca baccabacb 所以 12 分 6 ca 考点 本试题主要是考查了解三角形中正弦定理和余弦定理的运用 点评 解决该试题的关键是合理使用正弦定理化边为角 得到三角函数关系式 然后得到结 论 也可以通过余弦定理化角为边 得到三边的平方关系式 得到角 b 的余弦值 4 考点一离心率求值策略 3 在中 若以为焦点的椭圆经过点 则abc 3 2 300 abc sabaab c 该椭圆的离心率 e 解题思路 由条件知三角形可解 然后用定义即可求出离心率 解析 3sin 2 1 aacabs abc 32 ac2cos 2 22 aacabacabbc 2 13 232 2 bcac ab e 名师指引 1 离心率是刻画椭圆 圆扁 程度的量 决定了椭圆的形状 反之 形状确 定 离心率也随之确定 2 只要列出的齐次关系式 就能求出离心率 或范围 cba 3 焦点三角形 应给予足够关注 4 2009 江西卷理 过椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点 1 f作x轴的垂线交椭圆于点p 2 f为右焦点 若 12 60fpf 则椭圆的离心率为 解析 因为 2 b pc a 再由 12 60fpf 有 2 3 2 b a a 从而可得 3 3 c e a 5 已知f是椭圆c的一个焦点 b是短轴的一个端点 线段bf的延长线交c于点d 且 bf2fd uu ruur 则c的离心率为 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程与几何性质 第二定义 平面向量知识 考查了数 形结合思想 方程思想 本题凸显解析几何的特点 数研究形 形助数 利用几何性质可 寻求到简化问题的捷径 解析 如图 22 bfbca 作 1 ddy 轴于点 d1 则由bf2fd uu ruur 得 1 2 3 ofbf ddbd 所以 1 33 22 ddofc 即 3 2 d c x 由椭圆的第二定义得 22 33 22 acc fdea ca xo y b f 1 d d 5 又由 2 bffd 得 2 3 2 c ca a 整理得 22 320caac 两边都除以 2 a 得 2 320ee 解得1 e 舍去 或 2 3 e 5 已知是椭圆 22 22 1 xy c ab 0 ab 的右焦点 点p在椭圆c上 线段与圆fpf 相切于点q 且 则椭圆c的离心率为 222 1 4 xyb qfpq 答 3 5 提示 设左焦点 e 连接 pe 由圆的切线可得 oqpf 而 oq pf 故 pfpe 222 4 2 cbab 3 5 e 6 2009 全国卷 理 已知双曲线 22 22 10 0 xy cab ab 的右焦点为f 过f且斜率为 3的直线交c于ab 两点 若4affb 则c的离心率为 6 5 解析 设双曲线 22 22 1 xy c ab 的右准线为l 过ab 分 别作aml 于m bnl 于 n bdamd 于 由直线ab的斜率为3 知直线ab的倾斜角 1 6060 2 badadab 由双曲线的第二定义有 1 ambnadaffb e 11 22 abaffb 又 156 43 25 affbfbfbe e 7 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右顶点a作斜率为1 的直线 该直线与双曲线的两 条渐近线的交点分别为 b c 若 1 2 abbc 则双曲线的离心率是 5 解析 对于 0a a 则直线方程为0 xya 直线与两渐近线的交点为b c 22 aabaab bc ab ababab 则有 6 22 2222 22 a ba babab bcab ababab ab 因 22 2 4 5abbcabe 8 如图所示 椭圆中心在原点 f 是左焦点 直线与 bf 交于 d 1 ab 且 则椭圆的离心率为 90 1 bdb 解析 b eacca c b a b 22 1 2 15 9 在中 若以为焦点的椭圆经过点 则该椭圆的abc 90a 3 tan 4 b ab c 离心率 e 解析 bcac ab ekbckackab 5 3 4 1 2 10 设圆锥曲线 i 的两个焦点分别为 f1 f2 若曲线 i 上存在点 p 满足 1 pf 12 ff 4 3 2 则曲线 i 的离心率等于 2 pf 解析 由 4 3 2 可设 若圆锥 1 pf 12 ff 2 pf 1 4pfk 12 3ffk 2 2pfk 曲线为椭圆 则 若圆锥曲线为双曲线 则 26ak 23ck 1 2 e 22ak 23ck 3 2 e 11 2008 江苏 在平面直角坐标系中 椭圆1 0 的焦距为 2 以 o 为圆心 22 22 xy ab ab 为半径的圆 过点作圆的两切线互相垂直 则离心率 a 2 0 a c e 解析 ea c a 2 2 2 2 12 双曲线的渐近线为 则离心率为 xy 2 3 点拨 当焦点在 x 轴上时 当焦点在 y 轴上时 2 3 a b 2 13 e 2 3 b a 3 13 e 13 已知双曲线的一条渐近线方程为 则该双曲线的离心率为 22 1 xy mn 4 3 yx e 解析 当时 当时 0 0 nm 16 9 n m 9 25 2 m nm e0 0 nm 9 16 n m 或 16 25 2 n nm e e 5 3 5 4 14 2008 届华南师范大学附属中学 广东省实验中学 广雅中学 深圳中学四校联考 7 已知双曲线的右顶点为 e 双曲线的左准线与该双曲线的两渐近 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 线的交点分别为a b两点 若 aeb 60 则该双曲线的离心率e是 解析 设双曲线的左准线与 x 轴交于点 d 则 c ab ad c a aed 2 c a a 2 c ab 32 e 15 设 分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率 为两曲线的一个公共 1 e 2 e 1 f 2 fp 点 且满足 则的值为 20 21 pfpf 2 21 2 2 2 1 ee ee 解析 设 apfpf2 21 mpfpf2 21 mapf 1 mapf 2 222 4 cmama 2 11 2 2 2 2 1 222 ee cma 考点二离心率范围策略 16 已知双曲线的左 右焦点分别为 点p在双曲线的右支 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 f f 上 且 则此双曲线的离心率e的最大值为 12 4 pfpf 解题思路 这是一个存在性问题 可转化为最值问题来解决 解析 方法 1 由定义知 又已知 解得 12 2pfpfa 12 4 pfpf 1 8 3 pfa 在中 由余弦定理 得 2 2 3 pfa 12 pff 2 222 21 8 9 8 17 3 2 3 8 2 4 9 4 9 64 cose aa caa pff 要求的最大值 即求的最小值 当时 解得 即的e 21 cospff 1cos 21 pff 5 3 e e 最大值为 5 3 方法 2 ac a pf a pf pfa pf pf 2 1 2 1 2 22 2 2 1 双曲线上存在一点 p 使 等价于 12 4 pfpf 3 5 4 2 1 e ac a 方法 3 设 由焦半径公式得 yxpaexpfaexpf 21 的最大值 21 4pfpf 4 aexaex x a e 3 5 ax 3 5 ee 为 5 3 名师指引 1 解法 1 用余弦定理转化 解法 2 用定义转化 解法 3 用焦半径转化 8 2 点 p 在变化过程中 的范围变化值得探究 2 1 pf pf 3 运用不等式知识转化为的齐次式是关键cba 17 2008 珠海质检 已知 f1 f2分别是双曲线的左 右焦点 过 f1 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 且垂直于x轴的直线与双曲线交于a b两点 若 abf2是锐角三角形 则该双曲线离心率 的取值范围是 解析 2101221 2 222 2 eeeacac c a b 椭圆 22 22 1 xy ab ab 的右焦点f 其右准线与x轴的交点为a 在椭圆上存在点p满 足线段ap的垂直平分线过点f 则椭圆离心率的取值范围是 1 1 2 解析 由题意 椭圆上存在点p 使得线段ap的垂直平分线过点f 即f点到p点与a点的 距离相等 而 fa 22 ab c cc pf a c a c 于是 2 b c a c a c 即ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 w 又e 0 1 故e 1 1 2 18 2009 重庆卷文 理 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 fcf c 若椭圆上存在一点p使 1221 sinsin ac pffpf f 则该椭圆的离心率的 取值范围为 解析 1 因为在 12 pff 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin pfpf pffpf f 则由已知 得 1211 ac pfpf 即 12 apfcpf 设点 00 xy由焦点半径公式 得 1020 pfaex pfaex 则 00 a aexc aex 记得 0 1 1 a caa e x e cae e 由椭圆的几何性质知 0 1 1 a e xaa e e 则 整理得 9 2 210 ee 解得2121 0 1 eee 或 又 故椭圆的离心率 21 1 e 解析 2 由解析 1 知 12 c pfpf a 由椭圆的定义知 2 12222 2 22 ca pfpfapfpfapf aca 则即 由椭圆的几何性质知 2 22 2 2 20 a pfacaccca ca 则既所以 2 210 ee 以下同解析 1 19 2008 珠海质检 已知 f1 f2分别是双曲线的左 右焦点 过 f1 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 且垂直于x轴的直线与双曲线交于a b两点 若 abf2是锐角三角形 则该双曲线离心率 的取值范围是 21 1 解析 2101221 2 222 2 eeeacac c a b 19 设分别是椭圆 的左 右焦点 若在其右准线上存在 12 ff 22 22 1 xy ab 0ab 使线段的中垂线过点 则椭圆离心率的取值范围是 p 1 pf 2 f 分析 通过题设条件可得 求离心率的取值范围需建立不等关系 如何建立 2 2pfc 解析 线段的中垂线过点 又点 p 在右准线上 1 pf 2 f 2 2pfc 2 2 a pfc c 即 2 2 a cc c 3 3 c a 3 1 3 e 点评 建立不等关系是解决问题的难点 而借助平面几何知识相对来说比较简便 20 双曲线 a 0 b 0 的两个焦点为 f1 f2 若 p 为其上一点 且 pf1 2 pf2 则 22 22 1 xy ab 双曲线离心率的取值范围为 分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系 题设是双曲线一点与两焦点之间关系应 想到用双曲线第一定义 如何找不等关系呢 解析 pf1 2 pf2 pf1 pf2 pf2 pf2 即 2aca 2aca 3