高中数学 第一单元 基本初等函数（Ⅱ）1.3.1 正弦函数的图象与性质（二）课件 新人教B版必修4.ppt

1 3 1正弦函数的图象与性质 二 第一章 1 3三角函数的图象与性质 学习目标1 了解周期函数 周期 最小正周期的定义 2 会求函数y asin x 的周期 3 掌握函数y sinx的奇偶性 会判断简单三角函数的奇偶性 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一函数的周期性 如果函数f x 满足f x 3 f x 那么3是f x 的周期吗 答案 答案不一定 必须满足当x取定义域内的每一个值时 都有f x 3 f x 才可以说3是f x 的周期 思考2 所有的函数都具有周期性吗 答案不是 只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性 思考3 周期函数都有最小正周期吗 答案 答案周期函数不一定存在最小正周期 例如 对于常数函数f x c c为常数 x r 所有非零实数t都是它的周期 而最小正周期是不存在的 所以常数函数没有最小正周期 函数的周期性 1 对于函数f x 如果存在一个 使得定义域内的值 都满足 那么函数f x 就叫做周期函数 叫做这个函数的周期 2 对于一个周期函数f x 如果在它的所有周期中存在一个 那么这个最小正数就叫做它的最小正周期 梳理 非零常数t 每一个x f x t f x 非零常数t 最小的正数 思考1 知识点二正弦函数的周期性 证明函数y sinx是周期函数 答案 sin x 2 sinx y sinx都是周期函数 且2 就是它们的一个周期 答案 思考2 证明函数f x asin x a 0 是周期函数 答案 答案由诱导公式一知 对任意x r 都有asin x 2 asin x 梳理 由sin x 2k k z 知 y sinx是函数 是它的周期 且它的最小正周期是 sinx 周期 2k k z且k 0 2 思考1 知识点三正弦函数的奇偶性 观察正弦曲线的对称性 你有什么发现 答案 正弦曲线 答案正弦函数y sinx的图象关于原点对称 思考2 上述对称性反映出正弦函数有什么性质 如何从理论上加以验证 答案 答案正弦函数是r上的奇函数 根据诱导公式 得sin x sinx 对一切x r恒成立 梳理 对于y sinx x r恒有sin x sinx 所以正弦函数y sinx是函数 正弦曲线关于对称 奇 原点 题型探究 解答 类型一三角函数的周期性 例1求下列函数的最小正周期 函数f x sinz的最小正周期是2 即变量z只要且至少要增加到z 2 函数f x sinz z r 的值才能重复取得 所以自变量x只要且至少要增加到x 函数值才能重复取得 解答 2 y sinx x r 其图象如图所示 所以该函数的最小正周期为 反思与感悟 对于形如函数y asin x a 0时的最小正周期的求法常直接利用t 来求解 对于y asin x 的周期情况常结合图象法来求解 解答 跟踪训练1求下列函数的周期 2 y sin2x 解答 类型二三角函数的奇偶性 例2判断下列函数的奇偶性 f x 是偶函数 解答 2 f x lg 1 sinx lg 1 sinx f x 的定义域关于原点对称 又 f x lg 1 sinx lg 1 sinx f x lg 1 sin x lg 1 sin x lg 1 sinx lg 1 sinx f x f x 为奇函数 解答 解 1 sinx 0 sinx 1 定义域不关于原点对称 该函数是非奇非偶函数 反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点 关键点一 看函数的定义域是否关于原点对称 关键点二 看f x 与f x 的关系 对于三角函数奇偶性的判断 有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断 解答 跟踪训练2判断下列函数的奇偶性 解f x sin2x x2sinx x r f x sin 2x x 2sin x sin2x x2sinx f x f x 是奇函数 解答 f x 的定义域不关于原点对称 f x 是非奇非偶函数 解答 类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 例3定义在r上的函数f x 既是偶函数又是周期函数 若f x 的最小正周期是 且当x 时 f x sinx 求f的值 解 f x 的最小正周期是 f x 是r上的偶函数 反思与感悟 解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性 把自变量x的值转化到可求值区间内 解答 解答 类型四函数周期性的综合应用 例4已知函数f x cosx 求f 1 f 2 f 3 f 2020 的值 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 0 同理 可得每连续六项的和均为0 f 1 f 2 f 3 f 2020 f 2017 f 2018 f 2019 f 2020 反思与感悟 当函数值的出现具有一定的周期性时 可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况 再给予推广求值 跟踪训练4设函数f x sinx 则f 1 f 2 f 3 f 2015 0 答案 解析 f 1 f 2 f 3 f 2015 335 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 2011 f 2012 f 2013 f 2014 f 2015 f 335 6 1 f 335 6 2 f 335 6 3 f 335 6 4 f 335 6 5 335 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 当堂训练 2 3 4 5 1 答案 2 下列函数中 周期为 的偶函数是 答案 2 3 4 5 1 解析 2 3 4 5 1 a 最小正周期为 的奇函数b 最小正周期为 的偶函数c 最小正周期为的奇函数d 最小正周期为的偶函数 答案 解析 f x cos2x 又f x cos 2x cos2x f x f x 是最小正周期为 的偶函数 答案 2 3 4 5 1 解析 4 函数y sin x 的最小正周期为2 则 的值为 2 3 4 5 1 答案 解析 规律与方法 1 求函数的最小正周期的常用方法 1 定义法 即观察出周期 再用定义来验证 也可由函数所具有的某些性质推出使f x t f x 成立的t 2 图象法 即作出y f x 的图象 观察图象可求出t 如y sinx 3 结